2.5 一元二次方程的根与系数的关系 数学北师大版九年级上册学案

*5　一元二次方程的根与系数的关系【旧知再现】一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根【新知初探】阅读教材P49—P50完成下面问题：1．完成下面的表格方程一般形式x1x2x1＋x2x1·x2(x－3)(x＋1)＝0x2－2x－3＝03__－1____2____－3__(x＋2)(x＋3)＝0x2＋5x＋6＝0__－2__－3__－5____6__2(x＋1)(x＋2)＝02x2＋6x＋4＝0－1__－2____－3____2__若x1，x2是方程x2＋px＋q＝0的两根，则x1＋x2＝__－p__，x1·x2＝__q__．2．完成下面的推导过程方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，方程的两根是：x1＝____，x2＝____，x1＋x2＝__－__，x1·x2＝____．归纳：根与系数的关系(1)语言叙述：两根之和等于__一次项__系数与__二次项__系数比的__相反数__，两根之积等于__常数项__与__二次项系数__的比．(2)字母表示：若x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则x1＋x2＝__－__，x1·x2＝____．【质疑判断】1．一元二次方程的根与系数的关系适用于所有的一元二次方程．(　×　)2．一元二次方程的两根之和一定是正数．(　×　)3．一元二次方程x2＋2x＋3＝0的两根之和等于－2.(　×　)4．一元二次方程－3x2＋x＋9＝0的两根之积等于3.(　×　)　由根与系数的关系求代数式的值【教材P50例题拓展】——由根与系数的关系求代数式的值的通性通法　(10分)(2021·双鸭山期中)已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值．(1)x＋x；(2)＋.【归纳提升】根与系数关系常见的六种变形1．x ＋ x ＝ (x1＋x2)2－__2x1x2__．2.＋＝____．3．(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－__4x1x2__．4．|x1－x2|＝＝.5．(x1＋a)(x2＋a)＝__x1x2__＋a(x1＋x2)＋a2.6．x＋x1x2＋x＝__(x1＋x2)2__－__x1x2__．变式一：巩固 (2020·遵义中考)已知x1，x2是方程x2－3x－2＝0的两根，则x＋x的值为(D)A．5    B．10    C．11    D．13变式二：提升 若一元二次方程x2－x－2＝0的两根为x1，x2，则(1＋x1)＋x2(1－x1)的值是(A)A．4    B．2    C．1    D．－2　利用根与系数的关系求未知系数【教材P51习题拓展】——利用根与系数的关系求未知字母的值　(2020·十堰中考)已知关于x的一元二次方程x2－4x－2k＋8＝0有两个实数根x1，x2.(1)求k的取值范围．(2)若xx2＋x1x＝24，求k的值．【思路点拨】(1)根据Δ≥0建立不等式即可求解；(2)先提取公因式对等式变形为x1x2[(x1＋x2)2－2x1x2]＝24，再结合根与系数的关系求解即可．【自主解答】(1)由题意可知，Δ＝(－4)2－4×1×(－2k＋8)≥0，整理得：16＋8k－32≥0，解得：k≥2，∴k的取值范围是：k≥2.(2)由题意得：xx2＋x1x＝x1x2[(x1＋x2)2－2x1x2]＝24，由根与系数的关系可知：x1＋x2＝4，x1x2＝－2k＋8，故有：(－2k＋8)[42－2(－2k＋8)]＝24，整理得：k2－4k＋3＝0，解得：k1＝3，k2＝1，又由(1)中可知k≥2，∴k的值为3.【归纳提升】求一元二次方程的另一根及未知字母的方法1．已知一次项系数：先利用两根的和求另一个根，再利用两根的积求常数项．2．已知常数项：先利用两根的积求另一个根，再利用两根的和求一次项系数．变式一：巩固 (2021·西安月考)已知关于x的一元二次方程x2－2(1－m)x＋m2＝0的两实数根为x1，x2，若x1·x2＝1，则m的值为(A)A．－1    B．1    C．1或－1    D．变式二：提升 (2020·南充中考)已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根．(1)求k的取值范围．(2)是否存在实数k，使得等式＋＝k－2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．【解析】见全解全析【火眼金睛】已知方程2x2＋3x＋1＝0的两个根是x1，x2，不解方程，求x＋x的值．【正解】由根与系数的关系得：x1＋x2＝－，x1·x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－2×＝.【一题多变】　(2020·孝感中考)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0.(1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根．(2)若方程的两个实数根x1，x2满足x1－x2＝3，求k的值．【解析】见全解全析 【母题变式】　【变式一】(变换条件及问法)已知关于x的方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x＋x＝2，求实数m的值．【解析】由一元二次方程根与系数的关系可知：x1＋x2＝2，x1·x2＝m，又∵x＋x＝2，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝2，∴4－2m＝2，∴m＝1.【变式二】(变换条件及问法)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0的两个实数根满足x1x2＋x1＋x2>0，求a的取值范围．【解析】因为原方程有两个实根，所以Δ＝4－4a≥0，解得a≤1；由一元二次方程根与系数的关系可知：x1x2＝a，x1＋x2＝2，原不等式即为a＋2＞0，解得a＞－2，故a的取值范围为－2＜a≤1.关闭Word文档返回原板块