1.1 菱形的性质与判定 第1课时 数学北师大版九年级上册学案

第一章 特殊平行四边形

1　菱形的性质与判定

第1课时

【旧知再现】

平行四边形的对边__平行且相等__，对角线__互相平分__．

【新知初探】

阅读教材P2—P3完成下面问题：

1．菱形的定义：有一组__邻边__相等的__平行__四边形．

2．菱形的性质：

(1)一般性质：菱形具有__一般平行四边形__的所有性质．

(2)特殊性质

【图表导思】

如图，将菱形ABCD沿对角线AC，BD连续对折两次．

1．你能得到哪些相等的线段？

【解析】AB＝BC＝CD＝AD；OA＝OC；OB＝OD.

2．①菱形的任意一组邻边有什么关系？

②折痕AC，BD有怎样的位置关系？

【解析】①菱形的任意一组邻边相等．②AC⊥BD.

【质疑判断】

1．菱形的两组对边平行且相等(　√　)

2．菱形和平行四边形都是轴对称图形(　×　)

　菱形的性质的应用

【P3定理的应用】——菱形的四条边相等

　(2020·福建中考)如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF.求证：∠BAE＝∠DAF.

【思路点拨】菱形的性质→∠B＝∠D，AB＝AD→证△ABE≌△ADF→∠BAE＝∠DAF.

【自主解答】∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B＝∠D，AB＝AD，

在△ABE和△ADF中，

∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴∠BAE＝∠DAF.

【归纳提升】

菱形的边和对角线的应用

1．菱形“边”的应用：菱形的四条边相等，可以知一边求菱形的周长，也可以求证线段相等．

2．菱形“对角线”的应用：菱形对角线互相垂直，可求证垂直(直角三角形等)，可计算菱形的边长、周长、对角线的长，以及面积问题．

变式一：巩固 如图，四边形ABCD是菱形，点E是对角线BD上一点，求证：AE＝CE.

【解析】见全解全析

变式二：提升  (2021·河南期中)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，EF为过点O的一条直线，则图中阴影部分的面积为(B)

A．4    B．6    C．8    D．12

　特殊菱形的性质

【P3例1补充】——菱形性质的灵活运用

如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，求△OCE的面积．

【完善解答】∵菱形ABCD的周长为16，

∴菱形ABCD的边长为AB＝AD＝CD＝BC＝__4__．

∵∠BAD＝60°，

∴△ABD是__等边__三角形．

∴BD＝AD＝4.

又∵O是菱形对角线AC，BD的交点，

∴AC__⊥__BD，DO＝__BD__＝2.

∴在Rt△COD中，

CO＝____＝____＝__2__，

∴S△COD＝CO×DO＝__2__．

又∵点E为边CD的中点，∴OE为△COD的中线，

∴S△COE＝____．

【归纳提升】

一个内角是60°的菱形的性质

如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝a.

(1)△ABD，△BCD都是__等边__三角形．

(2)BD＝a，AC＝__a__(较长对角线).

(3)菱形的面积为__a2__．

变式一：巩固

 如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB.则∠ABC的度数是__120°__．

变式二：提升 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，若AF＝1，则AB＝____．

【火眼金睛】

如图,已知在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点E在边BC上,∠BAE=25°.把线段AE绕点A按逆时针方向旋转,使点E落在边DC上,求旋转角α的度数.

【正解】第一种情况同错解．第二种情况：将△ABE绕点A逆时针旋转，使点B落到点C处，点E落在CD上的点E2处，此时△ABE≌△ACE2，AE＝AE2，旋转角α＝∠BAC＝60°，综上，旋转角α的度数是60°或70°．

【一题多变】如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是(B)

A．    B．1    C．    D．2

【母题变式】

 (变换条件)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，点E是AB的中点，点P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值是____．

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