1.2 矩形的性质与判定 第1课时 数学北师大版九年级上册学案

2　矩形的性质与判定

第1课时

   【旧知再现】

长方形的对边平行且__相等__．

   【新知初探】

阅读教材P11—P12完成下面问题：

1．矩形的定义：有一个角是__直角__的平行四边形是矩形．

2．矩形的性质：

(1)一般性质：矩形具有__平行四边形__的一切性质：

对边__平行且相等__、对角__相等__、对角线__互相平分__．

(2)特殊性质

3.直角三角形斜边中线定理

   【图表导思】

　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线．

(1)线段AD与BD的长与CD有什么关系？

(2)线段AB的长与CD有什么关系？

【解析】(1)AD＝BD＝CD.

(2)CD＝AB.

   【质疑判断】

1．矩形的对角线互相平分(　√　)

2．矩形的四条边相等(　×　)

3．矩形的每条对角线平分一组对角(　×　)

   　矩形性质的应用

【P12定理的应用】——矩形的四个角是直角

　(2021·揭阳期中)如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且DE＝AD，延长EB到点F，使BF＝CE，连接AF.

(1)求证：四边形ADEF是菱形．

(2)若AD＝10，BE＝4，求菱形ADEF的面积．

【思路点拨】(1)四边形ABCD是矩形→AD∥BC且AD＝BC→AD∥EF且AD＝EF→四边形ADEF是平行四边形→结论．

(2)四边形ADEF是菱形→AF＝EF＝AD＝10→BF＝6→AB＝8→菱形面积．

【自主解答】见全解全析

   【归纳提升】

矩形性质的主要应用

1．矩形中存在多个直角三角形，容易考查直角三角形的全等的判定或勾股定理．

2．矩形的对角线相等且互相平分，矩形中存在多个等腰三角形，易考查等边三角形的判定或性质．

   变式一：巩固  (2021·成都期中)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4.过点A作AG⊥BD于G，则BG等于____．

   变式二：提升已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF.求AE的长．

【解析】∵四边形ABCD为矩形，

∴∠A＝∠D＝90°.∵EF⊥CE，∴∠CEF＝90°，

∴∠CED＋∠AEF＝90°.

∵∠CED＋∠DCE＝90°，∴∠DCE＝∠AEF.

∵∠A＝∠D，∠DCE＝∠AEF，CE＝EF，

∴△AEF≌△DCE，∴AE＝DC.

由题意可知：2(AE＋DE＋CD)＝16 且DE＝2，

∴2AE＝6，∴AE＝3.

   　直角三角形斜边上中线的性质及应用

【P12“议一议”补充】——由斜边中线的长求斜边

　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上

的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝(C)

A.2    B．3    C．4    D．2

   【归纳提升】

直角三角形斜边上中线的性质的“三点应用”

1．计算线段的长：已知斜边的长度计算斜边上中线的长度；已知斜边上中线的长度计算斜边的长度．

2．计算角的度数：直角三角形斜边上的中线将其分成了两个等腰三角形，应用等腰三角形的性质计算角的度数．

3．在证明中的应用：由直角三角形斜边上中线的性质，可证两条线段相等(或四边形中邻边相等).

   变式一：巩固如图，边长为4的等边△ABC中，CD⊥AB于点D，E为AC中点，则DE的长是(B)

A．1       B．2

C．      D．2.5

   变式二：提升(2021·海口期中)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在斜边AB上，且AD＝CD，则下列结论中错误的是(B)

A．∠DCB＝∠B　　  B．BC＝BD

C．AD＝BD       D.∠ACD＝∠BDC

   【火眼金睛】

如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=5,AF平分∠DAE,EF⊥AE, 求CF的长.

【正解】∵AF平分∠DAE，EF⊥AE，∴EF＝DF，∠DAF＝∠EAF.∵AF＝AF，∴△AEF≌△ADF，∴AE＝AD＝5，∴由勾股定理得BE＝3，∴EC ＝2.设CF＝x，则DF＝4－x＝EF，在Rt△ECF中，由勾股定理得22＋x2＝(4－x)2，解得x＝，即CF的长是.

   思想体现——分类讨论思想

　【解读】分类讨论思想是一种解决情况较多、较复杂问题时常用的数学方法．具体来讲，就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决．

【应用】当没说明哪条边是斜边时，要注意所求出的较长边可能是斜边，也可能是直角边．

【典例】(2021·盐城期中)已知直角三角形两边a，b满足＋(b－8)2＝0，则斜边上中线的长为__4或5__.

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