初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系第2课时导学案

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第二十四章  圆24.2.2  直线和圆的位置关系第2课时 切线的判定与性质学习目标：1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.重点：理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理. 难点：能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. 自主学习一、知识链接1.直线和圆的位置关系有哪几种(画图表示)？   2.如何用数量关系来判断直线和圆的位置关系呢？ 课堂探究二、要点探究探究点1：切线的判定定理问题  已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？  思考  （1）圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系？（2）二者位置有什么关系？为什么？ 要点归纳：                                                   切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.应用格式OA为⊙O的半径，BC⊥OA于A，可推出BC为⊙O的切线.   判一判  下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？方法总结：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.要点归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 典例精析例1  如图，线段AB是☉O上的直径，直线AC与AB交于点A，∠ABC=45°，且AB=AC.求证：AC是☉O的切线. 方法总结：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可. 例2  已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．求证：直线AB是⊙O的切线． 方法总结：当已知直线过圆上的一点时，连接圆心和该点得到圆的半径，然后证明直线与这条半径垂直，即可得出已知直线为圆的切线. 例3  如图，在Rt△ABC 中，∠ABC =90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC 是⊙O 的切线．方法总结：当未提及直线与圆有公共点时，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段等于半径，即可得出已知直线为圆的切线.要点归纳：证切线时辅助线的添加方法：(1)有交点，连半径，证垂直；(2)无交点，作垂直，证半径.探究点2：切线的性质定理思考： 如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？要点归纳：切线的性质——圆的切线垂直于经过切点的半径．思考  如何证明切线的性质定理？   例4  如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB，若∠B=25°，求∠P的度数.练一练1.如图1，在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB=     °.第1题图                       第2题图 2.如图AB为⊙O的直径，D为AB延长线上一点，DC与⊙O相切于点C，∠DAC=30°，若⊙O的半径长1cm，则CD=       cm. 方法总结：利用切线的性质解题时，常需作辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题. 例5  如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB 与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．要点归纳：有切线时常用辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直.切线的其他重要结论：（1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；（2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.三、课堂小结 切线的判定与性质切线的判定方法定义法：1个公共点，则相切；数量关系法：d=r，则相切；判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.常用辅助线添加方法证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径.有切线时常用辅助线添加方法： 见切线，连切点，得垂直.当堂检测  1.判断下列命题是否正确.(1)经过半径外端的直线是圆的切线.                    (    )(2)垂直于半径的直线是圆的切线.                      (    )(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.  (    )                                                          (4)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.              (    )(5)过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.        (    )  2.如图所示，A是⊙O上一点，且AO=5，PO=13，AP=12，则PA与⊙O的位置关系是    . 3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为 (    )A．40°              B．35°               C．30°                 D．45° 4.如图，⊙O切PB于点B，PB=4，PA=2，则⊙O的半径多少？      5.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E. 求证：PE是⊙O的切线.       6.如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.求证：△ACB≌△APO.           参考答案自主学习一、知识链接1.解：如图所示：    相离            相切         相交2.解：设圆心O到直线的距离为d，圆O的半径为r，则有直线与圆相离       d＞r；直线与圆相切       d＝r；直线与圆相交       d＜r；课堂探究二、要点探究探究点1：切线的判定定理问题：如图所示，连接OA，过点A作OA的垂线AB，AB即为所求.观察： 圆心O到直线AB的距离等于半径，OA⊥AB于点O.判一判：解：(1)不是，因为没有垂直.(2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点A. 典例精析例1 证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°. ∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°，即AB⊥AC.  ∵AB是⊙O的直径，∴ AC是⊙O的切线.例2  证明：连接OC.∵ OA＝OB，CA＝CB，∴ OC是等腰△OAB底边AB上的中线.　 ∴ AB⊥OC.∵OC是⊙O的半径，∴ AB是⊙O的切线.例3  证明：如图，过D作DE ⊥AC于点E.∵∠ABC =90°，∴DB ⊥ AB.又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE=DB=r.∵DE ⊥AC，∴AC是⊙O的切线.  探究点2：切线的性质定理思考：  垂直证法：反证法.（1）假设AB与CD不垂直，过点O作OM⊥CD，垂足为M；（2）则OM<OA，即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.（3）所以AB与CD垂直.例4 解：连接OA.∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°.∵∠AOP=2∠B=50°，∴∠P=180°－90°－50°=40°.练一练： 1.60°  2.2例5  证明：如图，连接OD，OA，过O 作OE ⊥AC于 E.∵⊙O 与AB 相切于D，∴OD ⊥ AB.又∵△ABC 为等腰三角形，O是BC的中点．∴AO平分∠BAC，又OD⊥AB，OE⊥AC.∴OD＝OE.∵OD是⊙O半径，OE＝OD，OE⊥AC.∴AC是⊙O的切线．当堂检测  （1）×  （2）×  （3）√   （4）√    （5）√    相切   3.C  4.解：连接OB，易知∠OBP=90°.设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，OP=OA+PA=2+r. 在Rt△OBP中，OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.解得 r=3，即⊙O的半径为3.5.证明：连接OP，如图.∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OPB=∠C. ∴OP∥AC.∵PE⊥AC，∴PE⊥OP.∴PE为⊙O的切线.6.证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°．又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°．又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°．在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABC＝∠AOP，∴△ACB≌△APO(SAS)．