数学九年级上册24.4 弧长及扇形的面积第1课时学案设计

第二十四章  圆

24.4  弧长和扇形面积

第1课时 弧长和扇形面积

学习目标：1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.

2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.

重点：会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.

难点：理解弧长和扇形面积公式的探求过程并会应用解决问题.

自主学习

一、知识链接

1.小学里学习过圆周长和圆面积的计算公式，公式分别是什么呢？

2. 想一想什么叫弧长？什么叫扇形？

课堂探究

二、要点探究

探究点1：与弧长相关的计算

问题1  半径为R的圆，周长是多少？

问题2  下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?

(1) 圆心角是180° ，占整个周角的          ，因此它所对的弧长是圆周长的         .

(2) 圆心角是90° ，占整个周角的           ，因此它所对的弧长是圆周长的         .

(3) 圆心角是45° ，占整个周角的            ，因此它所对的弧长是圆周长的         .

(4) 圆心角是n° ，占整个周角的           ，因此它所对的弧长是圆周长的           .

要点归纳：弧长公式为.

注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中 n 的意义．n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的.

算一算  已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为      .

典例精析

例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l (单位：mm，精确到1mm).

练一练  一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径R=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度(假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14)？

探究点2：与扇形面积相关的计算

概念学习  由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.

练一练  判断：下列图形是扇形吗？

      (1)             (2)              (3)           (4)            (5)

问题1  半径为的圆，面积是多少？

问题2  下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢？

知识要点：在半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形面积为.

注意：

①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；

②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）

问题3  扇形面积与哪些因素有关？

（1）                               （2）

（1）        大小不变时，对应的扇形面积与       有关，         越长，面积越大.

（2）圆的          不变时，扇形面积与            有关，          越大，面积越大.

问题4  扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？

想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？

例2  如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）

练一练

1.已知半径为2cm的扇形，其弧长为cm，则这个扇形的面积S扇=         ．

2.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇=         .

例3  如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m，求截面上有水部分的面积（精确到 0.01 m2 ）.

知识要点：弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积.

三、课堂小结

当堂检测

1.已知弧所对的圆周角为90°，半径是4，则弧长为         .

2.某扇形的圆心角为72°，面积为5π，则此扇形的弧长为（　　）

A．π             B．2π          C．3π                D．4π

3.如图，∠ACB是⊙O的圆周角，若⊙O的半径为10，∠ACB=45°，则扇形AOB的面积为（　　）

A．5π              B．12.5π      C．20π             D．25π

第3题图                 第4题图

4.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是     .   

5.   （例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.9m，求截面上有水部分的面积.

6. 如图，一个边长为10cm的等边三角形模板在水平桌面上绕顶点按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶点从开始到结束所经过的路程为多少.

1.半径为r的圆，其周长为2πr,面积为 πr2.

2.弧长为圆周长的一部分，扇形为组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形.

课堂探究

二、要点探究

探究点1：与弧长相关的计算

问题1：C=2πR

问题2 :

算一算 

典例精析

例1   解：由弧长公式，可得弧AB的长因此所要求的展直长度L=2×700+500π≈2971（mm）.

答：管道的展直长度约为2971 mm．

练一练  解：设半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的度数为n°.解得 n≈90°.

因此，滑轮旋转的角度约为90°.

探究点2：与扇形面积相关的计算

练一练   ×   ×    √   ×    √

问题1   S=πr2

问题2

比例：                                

扇形面积：                                    

问题3  圆心角   半径   半径

半径      圆心角    圆心角

问题4  扇形弧长为l,半径为r,则S扇形=

想一想  S三角形=

例2 解：∵n=60，r=10cm，∴扇形的面积为

扇形的周长为

试一试：  1.cm2      2.

例3 解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交 于点C，连接AC.∵ OC＝0.6 m， DC＝0.3 m, ∴ OD＝OC- DC＝0.3 m，∴ OD＝DC.又 AD ⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线，∴AC＝AO＝OC.从而 ∠AOD＝60˚，∠AOB=120˚.在Rt△AOD中，OA=0.6 m，OD=0.3 m，∴AD= m.∴AB=2AD=m.有水部分的面积S＝S扇形OAB - SΔOAB=

当堂检测

1.4π  2.B  3.D   4.12πcm2

5.解：S=S扇形+S△OAB=

6.解：由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA' =120°，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA' 的长.∵等边三角形ABC的边长为10cm，∴弧AA' 所在圆的半径为10cm.∴l弧AA' =

答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为