初中人教版第二十四章 圆综合与测试随堂练习题

这是一份初中人教版第二十四章 圆综合与测试随堂练习题，共11页。
第二十四章  圆的有关性质知识点思维导图 能力培养：符号意识、几何直观、推理能力、运算能力【实战篇】知识点一：圆的有关概念圆的定义（1）描述性定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆. 其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.（2）集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合.圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”.圆具有的特性（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.注意：（1）确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.（2）同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心（三点不共线）构成的三角形都是等腰三角形.4. 圆的有关概念 概念注意弦连接圆上任意两点的线段叫做弦.圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦，但弦不一定是直径.直径经过圆心的弦叫做直径.弧、半圆、劣弧、优弧①圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.②圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.③小于半圆的弧叫做劣弧，如图.④大于半圆的弧叫做优弧，如图.弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧. 等圆能够重合的两个圆叫做等圆. 容易看出：半径相等的两个圆叫做等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等.等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关.等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.等弧只能出现在同圆或等圆中；等弧是全等的，而不仅仅是弧的长度相等. 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心、CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长为______________.                                    【例1】【解析】同一个圆中的所有半径都相等，所以在圆中“连半径”是常用的辅助线，本题先连接CD，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出CD＝5，所以半径BC＝CD＝5，又由已知AB＝10，利用勾股定理得出AC.【答案】  【巩固】1. 如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是（    ）  25°    B. 35°    C. 15°     D. 20°2. 如图，在⊙O中，下列说法不正确的是（    ）AB是⊙O的直径             B. 有5条弦   C. 和都是劣弧，是优弧    D. CO是圆O的半径【巩固答案】A2.B     知识点二：垂直于弦的直径圆的轴对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.符号语言：∵如图，CD是直径，CD⊥AB于点M，∴AM＝BM，＝，＝.垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.符号语言：∵如图，CD是直径，AM＝BM（AB不是直径），∴CD⊥AB，＝，＝.   【例2】如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（    ）A. 8          B. 10       C.          D. 【例2】【解析】连接OB，根据垂径定理求出BD＝BC＝4，已知半径OB＝5，在Rt△OBD中，由勾股定理求出OD＝＝3，所以AD＝8，在Rt△ABD中，再由勾股定理求出AB＝.【答案】D   【巩固】1. 下列说法不正确的是（    ）A. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形          B. 圆有无数条对称轴       C.  圆的每一条直径都是它的对称轴        D. 圆的对称中心是它的圆心2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则AE的长为（    ）A. 8 cm          B. 5 cm       C. 3 cm          D. 2 cm【巩固答案】1. C2. A 知识点三：弧、弦、圆心角圆的旋转对称性圆具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 因此，圆也是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.圆心角的定义顶点在圆心的角叫做圆心角.如图：∠AOB是所对的圆心角，是∠AOB所对的弧.注意：一条弧所对的圆心角只有一个.弧、弦、圆心角之间的关系名称文字语言符号语言图示定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.∵∠AOB＝∠COD，∴＝，AB＝CD.重要结论在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.∵＝，∴∠AOB＝∠COD，AB＝CD.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.∵AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD，＝，＝. 【例3】如图，点A，B，C，D在⊙O上，且AB＝CD. 求证：AC＝BD.【例3】【解析】根据圆心角、弧、弦的关系，由AB＝CD得到＝，进而＋＝＋，即＝，所以AC＝BD.【答案】证明：∵AB＝CD∴＝，∴＋＝＋，即＝，∴AC＝BD.【巩固】如图，在⊙O中，∠AOB＝∠COD，那么和的大小关系是（    ）A. ＞          B. ＜      C. ＝         D. 无法确定如图，C是⊙O上的点，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD＝CE，则与的关系是（    ）A. ＝          B. ＞    C. ＜        D. 不能确定【巩固答案】1. C2. A 知识点四：圆周角圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.注意：（1）圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②两边都与圆相交.（2）同一条弧所对的圆周角有无数个.圆周角和圆心角的区别和联系 圆周角圆心角区别角的顶点在圆上角的顶点是圆心一条弧所对的圆周角有无数个一条弧所对的圆心角有且只有一个联系角的两边都与圆相交圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.     如图，∠ACB＝∠AOB. 圆周角定理的推论推论1   同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2  （1）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；（2）90°的圆周角所对的弦是直径.“五量关系”定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.【例4】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（    ）A. 60°    B. 50°    C. 40°      D. 20°【例4】【解析】本题考查的是圆周角定理的两个推论，根据题意先连接AD，根据圆周角定理的推论可知，∠A＝∠BCD＝40°，又由AB为⊙O的直径知∠ADB＝90°，所以∠ABD＝90°－∠A＝50°. 故选B.【答案】B 【巩固】1. 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C的度数为（    ）A. 54°    B. 46°    C. 36°      D. 27°2. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝___________.【巩固答案】C70°  知识点五：圆内接多边形      圆内接多边形的定义如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.      圆内接四边形的性质   圆内接四边形的对角互补.注意：每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角.【例5】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD＝130°，则∠DCE的度数为（    ）A. 45°    B. 50°    C. 65°      D. 75°【例5】【解析】根据圆周角定理求出∠A＝∠BOD＝65°，再根据圆内接四边形的性质得出∠BCD＝180°－∠A＝115°，则∠DCE＝180°－∠BCD＝65°. 故选C.【答案】C 【巩固】如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，P为劣弧上的一点，则∠APB的度数是_____________.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D. 问AB与CD有怎样的位置关系，请说明理由. 【巩固答案】120°解：AB∥CD理由如下：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°，∵∠C＝∠D，∴∠A＋∠D＝180°，∴AB∥CD.