22.2 一元二次方程的解法（第5课时） 华东师大版九年级数学上册教学详案 学案

这是一份22.2 一元二次方程的解法（第5课时） 华东师大版九年级数学上册教学详案，共6页。
第22章　一元二次方程22.2　一元二次方程的解法第5课时　一元二次方程的根与系数的关系教学目标1.理解一元二次方程的根与系数的关系.2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.教学重难点重点：理解一元二次方程的根与系数的关系.难点：利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.教学过程复习巩固一元二次方程求根公式：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果 b2-4ac≥0，那么方程的两个根为导入新课【问题1】活动1（学生交流，教师点评）例1　解下列方程，并求出两根的和与两根的积：（1）x2+3x-4＝0;      (2)x2-5x+6＝0;       (3)2x2+3x+1＝0.【解】（1）x1＝-4，x2＝1，x1+x2＝-3，x1·x2＝-4；（2）x1＝2，x2＝3，x1+x2＝5，x1·x2＝6；（3）x1＝，x2＝-1，.一元二次方程两个根的和与两个根的积与系数有怎样的关系，这就是本节课要学习的内容.教师总结并引出课题：22.2　一元二次方程的解法　  第5课时　一元二次方程的根与系数的关系探究新知探究点一　一元二次方程的根与系数的关系【问题2】活动2（学生交流，教师点评）一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）.我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到即x所以x1＝，x2＝.所以x1+x2＝，x1x2＝.【总结】如果一元二次方程 ax2+bx+c＝0(a≠0)的两个根分别是x1，x2，那么，.特殊形式：若x2+px+q＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝-p，x1x2＝q .例2　下列方程的两根和与两根积各是多少？(1) x2-3x+1＝0 ；        (2) 3x2-2x＝2；(3) 2x2+3x＝0；      　  (4)3x2＝1.【探索思路】由根与系数的关系直接求出即可.【解】(1)，；(2) ,；(3),；(4),.探究点二　利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题【问题3】活动3（学生交流，教师点评）1.求代数式的值例3　已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，不解方程，求下列代数式的值.(1)(x1-x2)2；　(2).【探索思路】(引发学生思考)方程x2+6x+3＝0的根与系数的关系是什么？所求代数式与它们的关系有什么联系？【解】∵ x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，∴ x1+x2＝-6，x1x2＝3.(1)(x1-x2)2＝(x1+x2)2-4x1x2＝(-6)2-4×3＝24.(2)＝＝＝＝10.【题后总结】(学生总结，老师点评)求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式,再整体代入.【归纳】常见的与一元二次方程根的和、积有关系的代数式变形：①+＝(x1 + x2)2-2x1x2；②(x1-x2)2＝(x1+x2)2-4x1x2；③；④＝；⑤(x1+k)(x2+k)＝x1x2+k(x1+x2)+k2；⑥|x1-x2|＝＝.【问题4】活动4（学生交流，教师点评）2.构造新方程例4　求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为1.【解】(x-2)（x-3）＝0，即x2-5x+6＝0.【问题5】活动5（学生交流，教师点评）3.求方程中待定系数例5　方程x2+px+q＝0 的两根之和为6，一根为2，求p，q的值.【解】设方程的另一个根为x1.由题意，得 2+x1＝-p＝6，2x1＝q，所以x1＝4，p＝-6，q＝8.即学即练已知方程5x2+kx-6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 【解】设方程 5x2+kx-6＝0的两个根分别是x1，x2，其中x1＝2 .所以 x1·x2＝2x2 ＝,即x2＝.由于x1+x2＝2+，所以k＝-7.所以方程的另一个根是，k＝-7.课堂练习1.方程x2-6x+10＝0的根的情况是(　　)A.两个实根之和为6B.两个实根之积为10C.没有实数根D.有两个相等的实数根2.若关于x的一元二次方程的两个根为x1＝1，x2＝2，则这个方程可能是(　　)A.x2+3x-2＝0 B.x2+3x+2＝0C.x2-3x+2＝0 D.x2-2x+3＝03.设a，b是方程x2+2x-2 019＝0的两个不相等的实数根.(1)a+b＝　　，ab＝　　，2a2+4a＝　　　　；(2)求代数式a2+3a+b的值.4.请利用一元二次方程的根与系数的关系解决下列问题：(1)若x2+bx+c＝0的两根为-2和3，求b和c的值；(2)设方程2x2-3x+1＝0的两根为x1，x2，不解方程，求+的值.5.求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为5.6.若关于x的方程x2+(a-1) x+a2＝0的两个根互为倒数，求a的值.7.设一元二次方程x2-6x+k＝0的两根分别为x1，x2.(1)若x1＝2，求x2的值；(2)若k＝4，且x1，x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长，试求Rt△ABC的面积. 参考答案1.C　2.C　3.【解】(1)-2，-2 019,　4 038；(2)a2+3a+b＝a2+2a+a+b＝2 019-2＝2 017.4.【解】(1)b＝-1，c＝-6.　(2)+＝3.5.【解】根据题意，得5（x-2）（x-3）＝0，即5x2-25x+30＝0.6.【解】因为方程的两根互为倒数，所以两根的积为1.由根与系数的关系，得a2＝1.解得a＝±1.当a＝1时，原方程化为x2+1＝0，根的判别式Δ<0，此方程没有实数根，所以舍去a＝1.所以a＝-1.7.【解】(1)∵ x1，x2是一元二次方程x2-6x+k＝0的两根，且x1＝2，∴ x1+x2＝-(-6)，即2+x2＝6，∴ x2＝4.(2)∵ x1，x2是一元二次方程x2-6x+k＝0的两根，k＝4，∴ x1·x2＝k＝4.又∵ x1，x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长，∴ SRt△ABC＝x1·x2＝×4＝2. 课堂小结 (学生总结，老师点评)　一元二次方程的根与系数的关系：ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1+x2 ，x1x2＝.特殊地，x2+px+q＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝-p，x1x2＝q .布置作业教材第35页练习1，2，3题，第36页习题22.2第10，11题.板书设计课题　第22章　一元二次方程22.2　一元二次方程的解法第5课时　一元二次方程的根与系数的关系【问题1】　　　　　　　　　　　　　　　　例1一元二次方程的根与系数的关系　　　　　　　　　　　　【问题2】　　　　　　　　　　　　　　　　例2一元二次方程的根与系数的关系的应用教学反思                  教学反思                      教学反思                      教学反思