华师大版九年级上册第22章 一元二次方程22.3 实践与探索第2课时导学案

教学目标

1.掌握建立数学模型解决增长率与降低率问题.

2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.

教学重难点

重点：掌握建立数学模型解决增长率与降低率问题.

难点：正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.

教学过程

导入新课

【问题1】

活动1（学生交流，教师点评）

例1　某村种的水稻每公顷产量的年平均增长率为x.第一年平均每公顷产8 000 kg，则第二年种的水稻平均每公顷的产量为 　　　            　   ，第三年种的水稻平均每公顷的产量为 　　                　  .

【答案】8 000（1+x）kg　　 8 000（1+x）2 kg

例2　某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x.根据题意，列方程为　　　　　　　.

【答案】168(1-x)2＝108

教师总结并引出课题：22.3　实践与探索

第2课时　平均变化率与利润问题

探究新知

探究点一　利用一元二次方程解决增长（降低）率问题

【问题2】

活动2（学生交流，教师点评）

例3　前年生产1吨甲种药品的成本是5 000元，随着生产技术的进步，今年生产1吨甲种药品的成本是3 000 元，求甲种药品成本的年平均下降率.

【探索思路】(引发学生思考)设甲种药品成本的年平均下降率是x，则去年生产1吨甲种药品的成本是5 000(1-x)元，如果保持这个下降率，那么今年生产1吨甲种药品的成本是5 000(1-x)2元.

【解】设甲种药品成本的年平均下降率是x，

根据题意，得5 000(1-x)2＝3 000，

解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.

根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％.

【点拨】

解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量及相应的等量关系.

【归纳】

 “变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变.

若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b(其中增长取“+”,降低取“-”).

【即学即练】

1.某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率.

【解】设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，

根据题意，得400×(1+10%)(1+x)2＝633.6.

解得x1＝0.2＝20%，x2＝-2.2(不合题意，舍去).

答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%.

探究点二　利用一元二次方程解决利润问题

基本关系：(1)利润＝售价-进价；（2）利润率＝100%.

(3)总利润＝单件的利润×销量.

【问题3】

活动3（学生交流，教师点评）

例4　某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100 kg.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20 kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2 240元，请解答下列问题：

(1)每千克核桃应降价多少元？

(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

【探索思路】确定题中等量关系→建立方程模型→解方程解决问题.

【解】（1）设每千克核桃应降价x元.

  根据题意，得（60-x-40）＝2 240.

  化简，得x2-10x+24＝0，

解得x1＝4，x2＝6.

  故每千克核桃应降价4元或6元.

  （2）由（1）可知，每千克核桃可降价4元或6元，

而要尽可能让利于顾客，

所以每千克核桃应降价6元.

此时，每千克核桃的售价为60-6＝54（元）， 

则54÷60×100%＝90%.

故该店应按原售价的九折出售.

【题后总结】(学生总结，老师点评)在应用一元二次方程解决实际问题时，要注意分析题意，抓住等量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后，要注意检验是否符合题意，最后得到实际问题的解答.

【即学即练】

2.某服装店销售一种服装，每件进货价为40元，当以每件80元销售的时候，每天可以售出50件，为了增加利润，减少库存，服装店准备适当降价.据测算，该服装每降价1元，每天可多售出2件.如果要使每天销售该服装获利2 052元，每件应降价多少元？

【解】设每件服装应降价x元.

根据题意，得(80-40-x)(50+2x)＝2 052，

解得x1＝2，x2＝13.

为了减少库存，取x＝13.

故每件应降价13元.

课堂练习

1.某药品经过两次降价，每瓶零售价由112元降为63元.已知两次降价的百分率相同.若设每次降价的百分率为x，则得到的方程为(　　)

A.112(1-x)2＝63 B.112(1+x)2＝63

C.112(1-x)＝63 D.112(1+x)＝63

2.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，那么得到的方程为(　　)

A.50(1+x2)＝196　

B.50+50(1+x2)＝196x

C.50+50(1+x)+50(1+x)2＝196

D.50+50(1+x)+50(1+2x)＝196

3.某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知今年投资1 000万元，预计后年投资1 210万元.若这两年平均每年投资增长的百分率相同，求平均每年投资增长的百分率.

4.某市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 050元的均价开盘销售.若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率.

5.某公司1 月份的生产成本是400 万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是361 万元. 假设该公司2，3，4 月每个月生产成本的下降率都相同. 求：（1）每个月生产成本的下降率.

（2）请你预测4 月份该公司的生产成本.

6.商场某种商品的进价为每件100元，当售价定为每件150元时平均每天可销售30件.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元(x为整数).据此规律，请回答：

(1)商场日销售量增加____件，每件商品盈利________元(用含x的代数式表示)；

(2)在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？

参考答案

1.A　　2.C　

3.【解】设平均每年投资增长的百分率是x.

由题意，得1 000(1+x)2＝1 210，

解得x1＝0.1，x2＝-2.1(舍去).

故平均每年投资增长的百分率为10%.

4.【解】设平均每次下调的百分率为x，

根据题意，得5 000(1-x)2＝4 050.

解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去).

答：平均每次下调的百分率为10%.

5.【解】（1）设该公司每个月生产成本的下降率为x，

根据题意，得400(1-x)2 ＝ 361.

解得x1 ＝0.05＝5%，x2＝1.95>1（不合题意，舍去）.

答：每个月生产成本的下降率为5%.

（2）361×（1-5%）＝ 342.95（万元）.

答：预测4 月份该公司的生产成本为342.95 万元.

6. 【解】（1）2x　(50-x)

(2)根据题意，得(50-x)(30+2x)＝2 100.

化简，得x2-35x+300＝0，解得x1＝15，x2＝20.

当x＝15时，商场日销售量增加2×15＝30（件）；

当x＝20时，商场日销售量增加2×20＝40（件）.

而30＜40，且商场为了尽快减少库存，所以取x＝20.

故在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元.

 课堂小结

(学生总结，老师点评)

1.平均增长率与降低率

若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b(其中增长取“+”,降低取“-”).

2.利润问题

基本关系：(1)利润＝售价-进价；（2）利润率＝100%；

(3)总利润＝单件的利润×销量.

在日常生活和社会实践中，许多问题都可以通过建立一元二次方程模型进行求解，然后回到实际问题中进行解释和检验，从而体会数学建模的思想方法.

布置作业

教材第42页练习第2题，第42页习题22.3第5，6题.

板书设计

课题　第22章　一元二次方程

22.3　实践与探索

第2课时　平均变化率与利润问题

【问题1】　　　　　　　　　　　　　　　　例1

平均增长率与降低率　　　　　　　　　　　　

【问题2】　　　　　　　　　　　　　　　　例2

利润问题

教学反思

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