高二数学下学期期末考试分类汇编抛物线方程新人教A版

这是一份高二数学下学期期末考试分类汇编抛物线方程新人教A版，共19页。
专题05  抛物线方程类型一  抛物线的定义与标准方程1．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习）抛物线的准线方程是，则实数a的值（       ）A． B． C．8 D．-8【答案】A【解析】由题意得：，解得：.故选：A 2．（2022·全国·高二课时练习）若动点满足，则点M的轨迹是（       ）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】D【解析】由题意，动点满足，即，即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，又由点不在直线上，根据抛物线的定义，可得动点的轨迹为以为焦点，以的抛物线.故选：D. 3．（2022·福建福州·高二期中）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以，轨迹方程为，故选：D 类型二  抛物线几何性质应用 4．（2022·贵州·遵义航天高级中学高二阶段练习（理））已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则（       ）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】，设，，，则，得，由抛物线定义得故选：D 5．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习）已知抛物线的焦点为F，定点，点P是抛物线上一个动点，则的最小值为（       ）．A．3 B．4 C．5 D．8【答案】C【解析】由题意可判断在抛物线内部，如图示，作 垂直于抛物线的准线，垂足为E，则 ,故,过A作抛物线准线的垂线，如图中虚线位置，交抛物线于点，则当P点位于时，即A,P,E三点共线时，取得最小值，最小值为 ，故选:C. 6．（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质：①P点必在抛物线的准线上；②；③．已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形” 顶点的纵坐标为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，直线经过抛物线的焦点，由题意，设，，联立，得，所以，，，解得，∴，当时，，所以直线PF方程为：，因为为“阿基米德三角形”，所以点P必在抛物线的准线上，所以点，由抛物线对称性可知，当时，，故选：B．  类型三：齐次化解决定点定值问题1  已知为抛物线上异于原点的两点，设分别为直线的斜率且.证明：直线的斜率为定值.解：设直线与抛物线的交点，设直线的方程为.由 联立得： 即变形得：又，即即直线的斜率.2  已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上.（1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于两点.若直线与直线的斜率的和为-1，证明：过定点.解：（1）因为关于轴对称，所以两点在椭圆上.故 又不在椭圆上，在椭圆上.   解得故的方程为.（2）平移轴，建立以为原点的直角坐标系，如图3所示在直角坐标系下：已知，设设直线方程为易知椭圆的方程为变形得：由联立得：化简变形得：又，即. 即.直线的方程为，直线过定点故在原坐标系下直线过定点. 类型四：抛物线的综合应用1．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（理））已知抛物线的顶点在原点，焦点为，过焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，(1)求抛物线方程；(2)若，求的值；(3)过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于四点，且分别为线段的中点，求的面积最小值．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)抛物线的顶点在原点，焦点为，抛物线方程为：；(2)由题意知：，可设直线，，，，，即，由得：，，，即，解得：，；(3)由题意知：直线的斜率均存在，不妨设，，，，，则；由得：，则，即；，，，；同理可得：，，（当且仅当，即时取等号），面积的最小值为. 2．（2022·全国·高二课时练习）已知两个定点、的坐标分别为和，动点满足（为坐标原点）．(1)求动点的轨迹的方程；(2)设点为轴上一定点，求点与轨迹上点之间距离的最小值；(3)过点的直线与轨迹在轴上方部分交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)设，，，，，，因为，则，所以，即．(2)设轨迹：上任一点为，所以，所以，令，对称轴为：，当，即时，在区间单调递增，所以时，取得最小值，即，所以，当，即时，在区间单调递减，在区间单调递增，所以时，取得最小值，即，所以，所以(3)当直线的斜率不存在时，此时：与轨迹不会有两个交点，故不满足题意；当直线的斜率存在时，设：，、，代入，得，即，所以，，，因为直线与轨迹在轴上方部分交于、两点，所以，得，即；又、两点在轴上方，所以，，即，所以，又，所以，所以中点，即，所以垂直平分线为，令，得，因为，所以，所以在时单调递增，所以，即，所以点横坐标的取值范围为：. 3．（2022·河南平顶山·高二期末（理））已知抛物线：（）的焦点为，点在上，点在的内侧，且的最小值为．(1)求的方程；(2)过点的直线与抛物线交于不同的两点，，直线，（为坐标原点）分别交直线于点，记直线，，的斜率分别为，，，若，求的值．【答案】(1)(2)【解析】(1)的准线为：，作于，则，所以，因为点在的内侧，所以当且仅当，，三点共线时取得最小值，所以，解得，所以的方程为．(2)由题意可知的斜率一定存在，且不为0，设：（），联立消去得，由，即，得，结合，知．记，，则 直线的方程为．由得．易知，所以．同理可得．由，可得，即，化简得，结合，解得．    一、单选题1．（2022·湖北·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：，点是的准线上的动点，过点作的两条切线，切点分别为A，B，则面积的最小值为（       ）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】如图所示， ,准线的方程为，设，，，由得，∴切线的方程为，而，即，又切线过点，∴， 即，同理切线的方程为，∴直线的方程为,则直线过定点，当AB平行于x轴时,此时|AB|为抛物线的通径，此时 ，∴，当且仅当直线轴时取等号,故选：A． 2．（2022·吉林·梅河口市第五中学高二开学考试）如图，过拋物线的焦点的直线与拋物线交于两点，与其准线交于点（点位于之间）且于点且，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设于点，准线交轴于点G，则，又，∴，又于点且，∴BE∥AD，∴，即，∴，∴等于.故选：B. 3．（2022·江苏常州·高二期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，直线PF交x轴于Q点，且，则点P到准线l的距离为（       ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由题意得：，准线方程为，因为，所以，故点P到准线l的距离为.故选：C4．（2022·安徽宣城·高二期末）已知抛物线的焦点为F，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（       ）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【解析】由题知，抛物线的准线方程为，，过P作垂直于准线于，连接，由抛物线定义知.由正弦函数知，要使最小值，即最小，即最大，即直线斜率最大，即直线与抛物线相切.设所在的直线方程为：，联立抛物线方程：，整理得：则，解得即，解得，代入得或，再利用焦半径公式得故选：B. 二、多选题5．（2022·湖南·长沙市南雅中学高二期中）已知抛物线C：，圆F：（F为圆心），点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点A，则下列结论中正确的是（       ）A．的最小值是 B．的最小值是C．当最大时， D．当最小时，【答案】AC【解析】抛物线C：的焦点，圆F：的圆心，半径，对于A，的最小值是的最小值减去圆的半径，又的最小值是1，的最小值是，A正确；对于B，设，则，，当时，，当时，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值是，B不正确；对于C，如图所示，要使最大，当且仅当AQ与圆F相切，AP与抛物线C相切，且P，Q在x轴两侧， 所以当最大时，，C正确；对于D，因的最小值为，即P，A，Q共线，则当最小时，即，D不正确.故选：AC 6．（2022·山东德州·高二期末）抛物线的焦点为F，若P是抛物线C上任意一点，直线PF的倾斜角为，点M是线段PF的中点，则下列说法正确的是（       ）．A．若，则 B．点M的轨迹方程为C．的最小值为 D．在y轴上存在点E，使得．【答案】BC【解析】抛物线的焦点为，准线，对于A，直线的方程为：，由消去y并整理得，解得，，则或，A不正确；对于B，设点，则点，而P是抛物线C上任意一点，于是得，即，所以点M的轨迹方程为，B正确；对于C，设点，则，当且仅当时取“=”，即的最小值为，C正确；对于D，因点M的轨迹方程为，则设，令，有，，于是得为锐角，D不正确.故选：BC 7．（2022·重庆市万州第二高级中学高二开学考试）已知抛物线，其焦点为F，准线为l，PQ是过焦点F的一条弦，点，则下列说法正确的是（       ）A．焦点F到准线l的距离为2B．焦点，准线方程C．的最小值是3D．以弦PQ为直径的圆与准线l相切【答案】ACD【解析】：对B：由抛物线，可得，准线       ，故选项B错误；对A：由抛物线，可得，即，所以焦点F到准线l的距离为，故选项A正确；对C：过点P作，垂足为，由抛物线的定义可得，所以（为点到准线l的距离），当且仅当、、三点共线时等号成立，所以的最小值是3，故选项C正确；对D：过点P、Q分别作，，垂足分别为、，设弦PQ的中点为M，则弦PQ为直径的圆的圆心为M，过点M作，垂足为，则为直角梯形的中位线，，又根据抛物线的定义有，，所以，所以以弦PQ为直径的圆与准线l相切，故选项D正确；故选：ACD. 8．（2022·河北·张家口市宣化第一中学高二期末）已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，则下列结论正确的是（       ）A．点到焦点的最小距离为1 B．若点的坐标为，则的最小值为C．以为直径的圆与抛物线的准线相切 D．【答案】BD【解析】如下图：且准线为，A：过的直线交抛物线于、，则该直线斜率存在时不为0，由抛物线性质知：，即到焦点没有最小距离，错误；B：如上图，抛物线准线，要使的最小，则共线，即，正确；C：以为圆心，为半径的圆或以为直径的圆与抛物线的准线相切，而以为直径的圆不与抛物线的准线相切，错误；D：令为，联立抛物线可得：，则，，∴，.由，正确.故选：BD. 三、解答题9．（2022·全国·高二单元测试）已知动圆M过点，被y轴截得的弦长为4.(1)求圆心M的轨迹方程；(2)若的顶点在M的轨迹上，且点A、C关于x轴对称，直线BC经过点，求证：直线AB恒过定点.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)设动圆圆心，由题意可得：，整理得：，所以动圆圆心M的轨迹E的方程：.(2)依题意，直线BC经过点且不垂直于坐标轴，设，，直线BC的方程：，由消去x并整理得：，则有，，因点A、C关于x轴对称，即直线AB不垂直于坐标轴，设直线AB的方程：，由消去x并整理得：，显然，而，于是得：，即，则因此直线AB的方程：，过定点，所以直线AB恒过定点. 10．（2022·河南·华中师范大学附属息县高级中学高二阶段练习）已知抛物线C：（），过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线C于A，B两点，交抛物线C于D，E两点，抛物线C上一点到焦点F的距离为3．(1)求抛物线C的方程；(2)若线段AB的中点为M，线段DE的中点为N，求证：直线MN过定点．【答案】(1)(2)证明见解析(1)到焦点F的距离为3，则准线为，，抛物线方程为．(2)由题意知和斜率均存在，，设直线方程为，则直线方程为，由联立得，设，则，故，同理得故直线MN方程为整理得，故直线MN过定点 11．（2022·黑龙江·哈师大附中高二开学考试）已知点，点为曲线上的动点，过作轴的垂线，垂足为，满足．(1)曲线的方程(2)若为曲线上异于原点的两点，且满足，延长分别交曲线于点，求四边形面积的最小值．【答案】(1)(2)【解析】(1)，点到直线的距离等于其到点的距离，点轨迹是以为焦点的抛物线，曲线方程为：.(2)由题意知：直线斜率都存在，不妨设直线，，，由得：，则，；设直线，同理可得：，四边形面积，又（当且仅当，即时取等号），，即四边形面积的最小值为. 12．（2022·上海·复旦附中高二期末）给出如下的定义和定理：定义：若直线l与抛物线有且仅有一个公共点P，且l与的对称轴不平行，则称直线l与抛物线相切，公共点P称为切点.定理：过抛物线上一点处的切线方程为.完成下述问题：如图所示，设E，F是抛物线上两点.过点E，F分别作抛物线的两条切线，，直线，交于点C，点A，B分别在线段，的延长线上，且满足，其中.(1)若点E，F的纵坐标分别为，，用，和p表示点C的坐标.(2)证明：直线与抛物线相切；(3)设直线与抛物线相切于点G，求.【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)(1)因为点E，F的纵坐标分别为，，所以，所以在处的切线方程为，即，同理在处的切线方程为，两式联立，解得，所以点C的坐标为.(2)设为抛物线上的一点，则，抛物线在点处的切线方程为，即，由，得，由，得，所以， ，，所以，，取，则点为点，为点,此时满足，所以直线与抛物线相切；(3)因为，所以，所以根据（2）可知，，所以，所以，而，，所以，所以.