2021-2022学年湖北省恩施州巴东县九年级（下）期中数学试卷（一检）（Word解析版）

2021-2022学年湖北省恩施州巴东县九年级（下）期中数学试卷（一检）

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2. 已知是一元二次方程的解，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线为常数与反比例函数，的图象分别交于点，，连接，，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 如图，点，，，，在上，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，是的直径，是的切线，点为切点，若，，则的长为(    )
    

A.  B.  C.  D.

6. 已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个或个

7. 在同一直角坐标系中，函数与的大致图象是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 抛物线关于轴对称的抛物线解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

9. 在如图所示的正方形网格中，其中阴影部分的个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分．现在从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，则能构成这个正方体的表面展开图的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 为锐角，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在边长为的正方形网格中，与是位似图形，则与的相似比为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，抛物线是常数，的顶点在第四象限，对称轴是直线，过一、二、四象限的直线是常数与抛物线交于轴上一点，则下列结论正确的有个．(    )
    ，，，当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，则，为任意实数，则有．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12分）

13. 如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转到的位置，则阴影部分的面积是______ ．

14. 关于的方程有两个实数根，，且，则 ______ ．
15. 从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度单位：与它距离喷头的水平距离单位：之间满足函数关系式喷出水珠的最大高度是______

16. 定义：若，则，称为以为底的的对数，简记为，其满足运算法则：例如：因为，所以，亦即；根据上述定义和运算法则，计算的结果为______

三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算：．
    先化简，再求值：其中，．
18. 如图，在中，、、分别是边，，上的点，，．
    求证：．
    若，求的值．

19. 为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影．要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调査结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．
    学生选修课程统计表

根据以上信息，解答下列问题：
______，______．
求出的值并补全条形统计图．
该校有名学生，请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名．
七班和七班各有人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这人中随机抽取人编排“舞蹈”在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的人恰好来自同一个班级的概率．

20. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点在双曲线上．
    如图，若已知点，求的值．
    若，点为双曲线上的动点，点为上的一点，且，请你用含的代数式表示．

21. 为加强疫情防控工作，学校决定再安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．

问题解决：学校要求测温区域的宽度为，师生身高设定为即，当你进入五边形内时，即可测出人体温度．请你帮助学校确定该设备的安装高度结果精确到
参考数据：
，，．
，，．
，，．

22. 北京年冬奥会于月日开幕，月日闭幕．冬奥会期间实行闭环管理，所有在闭环内的冬奥会参与者不会与外界有任何接触，大家都会在闭环中得到很好的保护．为使住宿、餐饮、医疗、交通等各项服务保障更充分，城市防疫与冬奥防疫一体推进工作体系更加优化，某场馆给此次冬奥会志愿者每人采购了一顶印有“北京冬奥志愿者”的御寒帽，利于防寒防疫与服务时识别．该场馆组委会决定购买型红色和型蓝色两种帽子共顶，并制定了几种购买方案，这些方案满足：型不能少于型的一半，也不能多于型的，负责采购的同志核算了一下，若按型最多的方案买，需付款元，若按型最少的方案买，需要元．
    试求出型和型两种帽子的单价．
    由于所购货物较多，商家决定给予优惠，型帽子在九折的基础上再降价元；，问在组委会制定的几种方案中，哪种方案在给予了优惠后费用最少？请说明理由．
23. 如图，在中，，与交于点、，与交于、，与交于点，若以点，，，，为顶点的五边形为正五边形．
    求证：为的切线．
    如图，连接，与交于点．
    求的值．
    根据以上数学信息，探究的值直接写出你的结果．

24. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．
    直接写出抛物线的函数表达式．
    如图，为抛物线对称轴上的一点，是否存在最大值，若存在，求出这个最大值及点的坐标；若不存在，请说明理由．
    连接，为轴上的点，点在抛物线上，若存在以点，，为顶点的∽，请求出点的坐标，若不存在请简单说明理由点不与点重合．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：从正面看该组合体，所看到的图形如下：

故选：．
从正面看该组合体，画出所看到的图形即可．
本题考查简单组合体的主视图，掌握视图的意义，画出从正面看所得到的图形是正确判断的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意得：
把代入方程中，
，
，


，
故选：．
根据题意，把代入方程中，进行计算可得，然后再把所求的式子变形为，即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握求代数式中的整体思想是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，设交轴于．

轴，
，，
，
故选：．
根据反比例函数的比例系数的几何意义求解即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是理解反比例函数的比例系数的几何意义，属于中考常考题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：连接、，

，，
，
．
故选：．
连接、，可得，由圆周角定理即可得．
本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了锐角三角函数的定义．
先根据切线的性质得到，然后利用正切的定义求的长．
【解答】
解：是的直径，是的切线，
，
，
，
．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：直线过一、二、三象限．
．
联立直线与抛物线组成方程组得：
．
．
．

．
．
直线与抛物线的交点个数为个．
故选：．
先判断的正负性，再建立方程组，利用判别式即可判断交点个数．
本题考查一次函数的性质，以及二次函数与一次函数的交点特征．关键在于建立方程组，利用一元二次方程的判别式的正负性进行判断．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，
一次函数经过一、三、四象限，
函数的图象在一、二象限，
当时，
一次函数经过一、二、四象限，
函数的图象经过三、四象限，
故选项B的图象符合要求．
故选：．
根据的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
此题考查一次函数的图象和反比例函数的图象，数形结合是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线关于轴对称的抛物线为，
所求解析式为：．
故选：．
利用原抛物线上的关于轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答．
本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是抓住关于轴对称的坐标特点．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为共有个大小相同的小正方形，其中阴影部分的个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，
所以剩下个小正方形．
在其余的个小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的小正方形有个，
因此先从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是．
故选：．
由正方体表面展开图的形状可知，此正方体还缺一个上盖，故应在图中四块相连的空白正方形中选一块，再根据概率公式解答即可．
此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，掌握概率公式是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
根据同角三角函数的平方关系：解答即可．
本题考查了同角三角函数的关系：平方关系：；正余弦与正切之间的关系积的关系：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即或．
 

11.【答案】 

【解析】解：与是位似图形，，是对应边，，，
相似比，
故选：．
利用勾股定理求出，，再利用相似三角形的性质求解，
本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型
 

12.【答案】 

【解析】解：直线是常数的图象过一、二、四象限，
，
抛物线的开口向上，
，
抛物线与轴的正半轴相交，
，
又抛物线的对称轴为，
，
，故正确；
，
时，，
直线与轴交点为，
抛物线与也交于，
抛物线的对称轴为，
，
由抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点为，
，即，
，正确．
由知，抛物线过点，
，

，故正确；
根据题意知，当时，直线与抛物线的值相等，
，

由得，
，故正确；
当时，抛物线取得最小值，最小值为：
当时，代入得，
两边同时加上，得，
，
，

，故正确，
正确的结论有个，
故选：．
由抛物线与直线图象可判断，由对称轴为直线可得与的关系，由一次函数解析式可得直线与抛物线经过，由抛物线的对称轴可得抛物线经过，从而可得与的关系，进而判断，由，可判断，由可得直线与抛物线与轴的交点，即可求出与的关系，再由与的关系可判断，由时为最小值及，与的关系可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，

连接，根据题意可知，，，
在和中，
，
≌，
，
，解得，
，
，
故答案为：．
连接，根据旋转的性质推出≌，再由含度角的直角三角形性质得出，最后由图可以得出，将相关数值代入求解即可．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及旋转的性质，需要注意数形结合，将不规则的阴影部分的面积转化为规则图形的面积来求．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则，根据根与系数的关系得到，，再将变形得到关于的方程，解方程即可求解．
【解答】
解：关于的方程有两个实数根，，
，，
，即，
，
解得，，
经检验，当时，不合题意，符合题意，
．  

15.【答案】 

【解析】解：，
当时，有最大值为，
喷出水珠的最大高度是，
故答案为：．
先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．
本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出函数的最大值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：原式



．
故答案为：．
根据对数的定义和运算法则化简即可得出答案．
本题考查了有理数的乘方，新定义，掌握以及对数的定义是解题的关键．
 

17.【答案】解：



；
；



，


，
当时，原式

． 

【解析】把特殊角的三角函数值，代入进行计算即可解答；
先计算括号里异分母分式的减法，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，，
四边形为平行四边形，
．
解：，
，
整理得，
，
，
，，
∽，
，
的值是． 

【解析】由，，证明四边形为平行四边形，得；
先由推导出，而，所以，再证明∽，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出的值即可．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键．
 

19.【答案】，
，补全图形如下：

估计选修“声乐”课程的学生有人．
假设表示班，表示班，画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中抽取的名学生恰好来自同一个班级的结果数为，
则所抽取的人恰好来自同一个班级的概率为 

【解析】解：，，即，
故答案为：、；

由舞蹈人数及其所占百分比可得的值，声乐人数除以总人数即可求出的值；
总人数乘以摄影对应百分比求出其人数，从而补全图形；
利用样本估计总体思想求解可得；
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出抽取的名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图表．
 

20.【答案】解：过点作轴于点，过点作于点，

四边形是正方形，
，，
轴，，
，
，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
点的坐标为，
；
过作轴于，过作轴于，
，
∽，
，
，
，
点，
，
，，
过作轴于那点，过作轴于那点，

，
四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，，
，
代入得，
，
． 

【解析】过点作轴于点，过点作于点，证明≌，可得，，从而可求出点的坐标；
过作轴于，过作轴于，证明∽，利用相似三角形对应边成比例可求解．
本题考查了反比例函数的应用，正方形的性质，相似三角形的性质与判定即全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：设，
，，
，
在中，，
在中，，
，
解这个方程，，
安装高度，
该设备的安装高度为． 

【解析】设，可得，根据，列出方程，解方程即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
 

22.【答案】解：设购买型帽子顶，则购买型帽子顶，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为，最大值为．
设型帽子的单价为元，型帽子的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：型帽子的单价为元，型帽子的单价为元．
设优惠后费用为元，则，
当时，，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值；
当时，；
当时，，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值，
当时，的最小值元．
综上，当型帽子在九折的基础上再降价元时，购买型帽子顶，型帽子顶时，费用最少． 

【解析】设购买型帽子顶，则购买型帽子顶，根据“型不能少于型的一半，也不能多于型的”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数，即可得出的最小值及最大值，设型帽子的单价为元，型帽子的单价为元，根据“按型最多的方案买，需付款元；按型最少的方案买，需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设优惠后费用为元，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

23.【答案】证明：如图，

连接，，
五边形是正五边形，
，，
中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在上，
是的切线；
解：如图，

，，
，
同理可得，
，
，
在中，，，
，
，
，
设，设，
，，
∽，
，
，
，
，
，，
，
，
如图，

作于，
，，
，
． 

【解析】连接，，，证明≌，从而得出，可证得，进一步可得出结论；
通过角度计算，可证得并设，，证明∽，进而求得，进一步得出结果；
作，可得，，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形的性质，正多边形与圆的关系和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是设未知数，根据相似三角形列出方程，并解一元二次方程．
 

24.【答案】解：把、，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
存在最大值，理由如下：
连接，连接并延长交抛物线对称轴于，如图，

由知抛物线对称轴时直线，
为抛物线对称轴上的一点，
，
，
当，，共线时，最大，此时与重合，最大值即为的长度，
、，
，直线解析式为，
在中，令得，
，即；
取得最大值，；
存在以点，，为顶点的∽，理由如下：
设，，
当点在轴上方抛物线上时，过轴于，如图：

∽，
，，
，
，
∽，
，
即，
解得或不与点重合，舍去，
．
当点在轴下方抛物线上时，过作轴，过作轴交于，过作轴交于，如图：

∽，
，，
，
，
∽，

即，
解得或，
或；
综上所述，存在以点，，为顶点的∽，的坐标为或或． 

【解析】用待定相似法可得抛物线的解析式为；
连接，连接并延长交抛物线对称轴于，由知抛物线对称轴时直线，因，故当，，共线时，最大，此时与重合，最大值即为的长度，而、，有，直线解析式为，即可得取得最大值，；
设，，分两种情况：当点在轴上方抛物线上时，过轴于，由∽，得，，从而可得∽，有，即，即可解得当点在轴下方抛物线上时，过作轴，过作轴交于，过作轴交于，同理可得，解得或．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的性质及应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．