专题04 简单机械-大同杯物理竞赛专题汇编

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专题04 简单机械
1. 如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端悬挂在水平天花板上，相距为2L。现在C点悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点应施加的最小作用力为( )
A．mg B．√3/3mg
c．1/2mg D．1/4mg

【答案】C
【解析】解：由图可知，要想CD水平，则AC与水平方向的夹角为60°；
结点C受力平衡，则受力分析如图所示，
结点C受到沿AC拉力在水平方向上的分力等于水平向右的拉力T，
即：T＝FACcos60°＝FAC，
结点C受到沿AC拉力在竖直方向上的分力等于物体的重力，
即：mg＝FACsin60°＝FAC，∴T＝mg；
结点D受力平衡，当拉力F的方向与BD垂直时，力臂最长、最省力，如图所示，
最小拉力F＝F′＝T′cos30°＝Tcos30°＝mg×＝mg。
故选：C。

2. 如图所示，光滑均匀细棒CD可以绕光滑的水平轴D在竖直平面内转动，细杆AB也可以绕光滑的水平轴B在竖直平面内转动，CD棒搁在A点上并与AB杆在同一竖直平面内，B、D在同一水平面，且BD=AB。现推动AB杆使CD棒绕D点沿逆时针方向缓慢转动，从图示实线位置转到虚线位置的过程中，AB杆对CD棒的作用力 ( )
A．减小 B．不变 C．增大 D．先减小后增大

【答案】B
【解析】力矩平衡，即杠杆平衡：当杠杆静止或做缓慢均匀的转动时，就说杠杆处于平衡状态。分别列出杠杆CAD所受两个力矩，杠杆处平衡状态，G（L/2）cosθ＝N×2acosθ；
那么N＝GL/(4a)，保持不变。
3. 图(a)所示的是一把杆秤的示意图，O是秤杆的悬点，使用该秤最多能称量5千克的重物。小王用一个相同的秤砣系在原来的秤砣下面，采用“双秤砣法”去称量7千克的重物时，秤上的示数为3千克，如图(b)所示。那么当只挂一个秤砣时，该秤零刻度线的位置应该在____（选填“O点”、“O点的右侧”或“O点的左侧”）。若采用“双秤砣法”，则利用该秤最多能称量____千克的重物。

【答案】11Kg
【解析】

设零刻度线位置如图，到秤杆悬点O的距离为d0，到称尾的距离为L;挂钩到O的距离为d， 一个秤砣重m，挂钩重m0，采用“双秤砣法”，该秤最多能称重M

解得M=11kg
4.如图所示，劲度系数为k1的轻质弹簧A一端固定在地面上并竖直放置，质量为m的物块压在弹簧A上，用一细绳跨过定滑轮，一端与m相连，另一端与劲度系数为k2的轻质弹簧B相连。现用手握住弹簧B的右端使其位于c点时，弹簧B恰好呈水平且没有形变，将弹簧B的右端水平拉到d点时，弹簧A恰好没有形变。已知：K2 A． B．
C． D．

【答案】A
【解析】与原长相比，第一次压缩弹簧一mg/k1，第二次拉伸弹簧二mg/k2，所以两次的长度差就是mg/k1+mg/k2。
5. 如图所示为某磅秤的结构示意图，物体W放在平台上，物体以及平台的重量由刀口A和E分担，并通过由DF、FC、BG、GO、OQ等轻质硬杆组成的杠杆组（自重不计）的作用由Q处悬挂的砝码表示出来。该秤的结构装置中B和D也为刀口，O、G、C、F处为光滑铰链，P为OQ杆的固定转动轴，P、D同在一竖直线上，Q、C、F同在另一竖直线上。已知：AB=L1，BC=L2，DE=L3,DF=L4,OP =L5。若物体W放在平台上的某一位置时，刀口A和E的受力相等，此时砝码的质量为m，Γ型平台的质量为M，则物体W的质量为______________；若物体W不论放在平台上什么位置，秤的示数不变，则L1、L2、L3、L4之间应有的关系为______________。

【解析】解：（1）设物体W的质量为M0，按题意可得：
FA＝FE＝（M+M0）g ①
以P点为支点列杠杆平衡方程：mgL4＝F0L5②
以B点为支点列杠杆平衡方程：F0（L5+L4+L2）＝FAL1 +FCFL2 ③
以D点为支点列杠杆平衡方程：FCFL4 ＝FEL3 ④
联立以上四式可得：
M0＝m﹣M
（2）设物体重心与刀口A的距离为x，则：
FA＝M0g，FE＝M0g ⑤
联立②③④⑤式可得：M0＝m
因此与x无关的条件是：L2L3L5﹣L1L4L5＝0，即L1L4＝L2L3。
故答案为：m﹣M；L1L4＝L2L3。
6.如图所示，密度均匀的细杆AB与轻杆BC用光滑铰链铰在B端，A、C两端也用光滑铰链铰于墙上，AB=BC, BC杆水平，AB杆与竖直方向成30°，此时AB杆与BC杆之间的作用力为F1。若将两杆的位置互换，AB杆与BC杆之间的作用力为F2，则F1：F2为 ( )
A.2:1 B.1:2 C.4:5 D.5:4

【答案】B
【解析】解：
（1）如右图，以A为支点，AD为动力臂，AD＝AB×cos37°＝0.8AB；
AE为阻力臂，AE＝AB×sin37°＝0.3AB；
∵杠杆AB平衡，∴F1×AD＝G×AE，即：F1×0.8AB＝G×0.3AB，∴F1＝G；
（2）如右图，∠BAN＝∠θ＝37°，以A为支点，AN为动力臂，AN＝AB×cos37°＝0.8AB；
AM为阻力臂，AM＝AB；∵杠杆AB平衡，∴F2×AN＝G×AM，
即：F2×0.8AB＝G×0.5AB，∴F2＝G；∴F1：F2＝G：G＝3：5。
故选：A。

7.如图所示，密度、粗细均匀的细木棒，一端悬挂重为G的小物块（体积忽略不计），棒的1/n浮出水面，则棒所受重力的大小为（ ）
A. nG B. （n+1）G C. G D.

【答案】C
【解析】设木棒长度为L，棒浸入水中部分长度为L。取木棒在水面上的点为支点，设棒所受重力的大小为G’，则由杠杆平衡条件可得，G’(-)=GL。解得：G‘=G，选项C正确。
8. N个动滑轮和一个定滑轮组成滑轮组，每个动滑轮的质量与所悬挂的物体质量相等。不计一切摩擦和绳的重力，滑轮组平衡时拉力大小为F，如图所示。若在图示中再增加一个同样质量的动滑轮，其它条件不变，则滑轮组再次平衡时拉力大小为（ ）
A． B． C． D．

【答案】B
【解析】解：每个动滑轮的质量与所悬挂的物体质量相等，可设它们的重力均为G，
第一个动滑轮，拉力F1＝（G+G动）＝（G+G）＝G，
第二个动滑轮，拉力F2＝（F1+G动）＝（G+G）＝G，
第三个动滑轮，拉力F3＝（F2+G动）＝（G+G）＝G，
…
第n个动滑轮，拉力Fn＝（Fn﹣1+G动）＝（G++G）＝G，
滑轮组平衡时拉力大小为F，则再增加一个同样质量的动滑轮时，滑轮组再次平衡时拉力仍为F。
故选：B。
9. 如图所示，密度分布均匀的圆柱形棒的一端悬挂一个小铁块并一起浸入水中。平衡时棒浮出水面的长度是浸入水中长度的n倍。若水的密度为ρ，则棒的密度为（ ）
A． B．
C． D．

【答案】C
【解析】解：设棒的横截面积为S，水中的棒长度为L，则露出的长度为nL，整个棒的长度为（n+1）L，如图所示：

由ρ＝可得，棒的质量：m棒＝ρ棒V棒＝ρ棒S（n+1）L，
棒的重力：G棒＝m棒g＝ρ棒S（n+1）Lg，
棒受到的浮力：F浮＝ρgV排＝ρgSL，
由相似三角形对应边成比例可得：
＝＝＝n+1，
以C为支点，A是棒的重心（即棒的中心），由杠杆的平衡条件可得：
G棒×CE＝F浮×CD，即ρ棒S（n+1）Lg×CE＝ρgSL×CD，
则ρ棒＝ρ＝×ρ＝×ρ＝ρ。
故选：C。
10. 如图所示，直径为36cm的半球形碗固定在水平面上，碗的端口水平。一根密度分布均匀、长度为47cm的光滑杆ABC搁置在半球碗上，碗的厚度不计，杆平衡时碗内部分AB段与碗外部分BC段的长度之比为（ ）
A．38:9 B．35:12
C．32:15 D．27:20

【答案】C
【解析】如图：光滑杆ABC的重心在D点，O为半球形碗的球心，杆受三个力：重力G、A点的支持力F2和B点的支持力F1，以B为支点，则根据杠杆的平衡条件得：G×BDcosθ＝F2×ABsinθ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
沿杆AC的方向上受力的合力为零，
即G×sinθ＝F2×cosθ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
由得：BDcotθ＝ABtanθ，
∴BD＝AB×tan2θ＝AB×（）2，
即BD×AB＝AE2，
∵在△ABE中，BE2＝AB2+AE2，且BD＝AB﹣AC，
∴（AB﹣AC）×AB＝BE2﹣AB2，
代入数据得：（AB﹣×47）×AB＝362﹣AB2，
即：4×AB2﹣47×AB﹣2592＝0，
解得：AB＝32cm，AB＝﹣20.25cm（舍去）
∴AB：BC＝32cm：（47cm﹣32cm）＝32：15。
故选：C。
11.如图所示，直径为50cm的半球形碗固定在水平面上，碗的端口水平。一根密度分布均匀、长度为60cm的光滑杆ABC搁置在半球碗上，碗的厚度不计，平衡时杆受到的重力与杆在B点受到的弹力大小之比为( )
(A)5 ：3 (B)6 ：5 (C)3 ：2 (D)4 ：3

【答案】A 
【解析】如图，∠OAB=∠OBA=∠BAD=α，NLAB=GLAD，则
N×25×cosα×2=G×30×cosα。故选A

12．如图所示，长为L、密度为ρ的均匀细棒下端系一根细线，细线的另一端被拴在杯底A点处，细棒竖直浸没在杯中的液体内，液体密度为ρ0(ρ0＝4ρ)。现打开杯底阀门k，使液体缓慢流出。当细棒露出液面一定长度时，细棒有可能倾斜，该长度的最小值为( )
(A) (B) (C) (D)

【答案】D 
【解析】由于重力和浮力都是竖直方向的，所以当细棒倾斜时，细线仍保持竖直。设此时浸在水中细棒的长度为x，棒倾斜的角度为α，根据杠杆平衡条件得： 
ρ0gSx(x/2)cosα=ρgSL（L/2）cosα 解得x=L/2，故选D。
13. 如图所示，光滑轻质细杆AB、BC处在同一竖直平面内，B处用铰接连接，A、C处用铰链铰于水平地面上，BC杆与水平面夹角为37°。一质量为3.2kg的小球穿在BC杆上，对小球施加一个水平向左的恒力使其静止在BC杆中点处，AB杆恰好竖直。则( )
(A)F的大小为40N
(B)小球对BC杆的作用力大小为40N
(C)AB杆对BC杆的作用力大小为25N
(D)地面对BC杆的作用力大小为25N

【答案】BCD
【解析】以小球为研究对象，对其受力分析如图所示：












小球对BC杆的作用力大小等于杆对小球的作用力N=G/cos37°=32÷0.8=40N；
则F=Nsin37°=40×0.6=24N
以BC杆为研究对象，C为支点，根据杠杆平衡条件得：NAB·Lcos37°=N`·L/2
所以，AB杆对BC杆的作用力大小NAB=25N
同理，以B为支点，得地面对BC杆的作用力大小也为25N
14.质量分布均匀的直杆AB置于水平地面上，现在A端施加外力F，缓慢抬起直杆直至竖直。B端始终和地面之间保持相对静止，F的方向始终和直杆垂直，该过程中直杆B端受到的摩擦力( )
(A)保持不变
(B)先减小后增大
(C)逐渐减小
(D)先增大后减小

【答案】A
【解析】如图，以B点为支点，根据杠杆平衡条件得：FL=GL2cosθ ①
水平方向上杠杆受力平衡，则：f=Fsinθ ②
联立①②得：f=G4sin2θ
因为θ由0到90°变化，所以f先增大后减小





15．在上题缓慢抬起直杆的过程中，要确保直杆B端始终和地面保持相对静止，直杆和地面之间的摩擦因数至少为( )
(A) l/3 (B)1/4 (C)24 (D) 35
【答案】C
【解析】水平方向上杠杆受力平衡，则：f=Fsinθ=G4sin2θ
竖直方向上杠杆受力平衡，则：N=G-Fcosθ=G-G2cos2θ
所以μ=fN=sin2θ4-2cos2θ=sinθcosθ2-cos2θ=sinθcosθ2sin2θ+cos2θ=tanθ2tan2θ+1
令x=tan θ，则上式为：μ=x2x2+1，所以μ≥24。故选C。
16. 杆秤的示意图如图所示，下列说法中正确的是( )

(A)只有秤杆粗细均匀，杆秤刻度才均匀
(B)无论秤杆密度分布是否均匀，杆秤刻度都均匀
(C)用提纽A比用提纽B称量大
(D)换用大称量的提纽后，所有刻度示数均会以相同倍率增大
【答案】BC
【解析】如图，杆秤粗细不均匀，杆秤自身重力为m0g，作用点到旋钮的垂直距离为L0，则：
mgL=MgL1-m0gL0，所以L=MmL1-m0mL0 ①；由此可见，刻度到旋钮的距离L与称量的质量M成线性关系，所以刻度均匀。B正确。
当用旋钮A时，M=mL+m0L0L1其中，L、L0变大，L1变小，所以M增大，即称量变大，所以C正确。
由①式可知，L与M之间是一次函数关系，不是正比例函数，所以当换用大称量提钮后，刻度示数不会以相同的倍率增大。故D 不正确。

Mg





17.用竖直向上的外力F作用在浸在水中的直棒AB的A端，棒的截面积处处相等，密度分布均匀，静止在如图所示的位置。此时A端距离水面x，棒与水面的夹角为θ，棒浸在水中的长度为L，B端的深度为h。现由图示位置缓慢向上增大x直至棒的B端刚好离开水面的过程中，下列关于F、L、θ、h大小变化的判断，正确的是( )
(A) F先不变后增大 (B) L先增大后减小
(C) θ先增大后不变 (D) h先增大后减小

【答案】ACD
【解析】如图设以A为支点，棒重力作用点到A的距离为m，浮力作用点到A的距离为n，则根据杠杆平衡条件得：Gmcosθ=F浮ncosθ。所以F浮=mG/n。
因为G为定值，所以F浮也为定值，即棒在转动过程中，L要保持不变，因此，在提起棒的过程，棒浸入水中的长度不变，θ逐渐增大，直至棒竖直，然后L再缩短，直至棒被提出水面。故CD正确。再以B点为转轴，可以证明再棒竖直的过程中，F不变，所A正确。
18. 如图所示，杆OA长为0．5米，O端用铰链铰于竖直墙面，杆中B处有一制动闸，0B为0．2米，闸厚d为0．04米，轮子C的半径R为0．2米，闸与轮间动摩擦因数μ为0．5。飞轮顺时针转动时，要对轮施加力矩(力×力臂)1000牛米才能使轮减速而制动，若杆与闸的重力不计，则在杆的A端需加垂直于杆的力F的大小为 牛

【解析】 解：∵能使轮减速而制动时对轮施加力矩为1000牛米，即fR＝1000N•m，
∴f＝＝5000N．闸对轮子
∵闸与轮间动摩擦因数μ为0.5，
∴由f＝μN得：闸对轮子的压N＝＝＝10000N，
根据力的作用是相互的可知：B点受到的竖直向上的支持力F2＝N＝10000N，
由于杠杆OAB受A端垂直于杆向下的力F、B点受到的竖直向上的支持力F2和轮子对它的水平向右的摩擦力f的作用，
则根据杠杆平衡条件得：FOA＝F2OB+fd，
F＝＝＝4400N。
故答案为：4400。
19. 将一根均匀的木棒AB，放在支点O上，由于OA 【答案】a：b=
【解析】设木棒单位长度的质量为λ，AO长为a，OB长为b，由O点左右力矩平衡（重力矩）：
（2λa）(a/2)=(b-a)λ[(b-a) /2], 解得： a：b=

20. 如图所示，七块完全相同的砖块按照图示的方式叠放起来，每块砖的长度均为L，为保证砖块不倒下，6号砖块与7号砖块之间的最大距离S将不超过 （ ）
A、L B、2L C、L D、L

【答案】A
【解析】解：由于1号砖处于平衡状态，则1号砖对2号砖的压力应为；
当1号砖放在2号砖的边缘上时，6号砖块与7号砖块之间的距离最大；
2号砖处于杠杆平衡状态，设2号砖露出的长度为x，则2号砖下方的支点距重心在（﹣x）处；
由杠杆的平衡条件可知：G（﹣x）＝x，
解得：x＝；
设4号砖露出的部分为x1，则4号砖下方的支点距重心在（﹣x1）处；4号砖受到的压力为G+；
则由杠杆的平衡条件可知：G（﹣x1）＝（G+）x1，
解得x1＝；
则6号砖块与7号砖块之间的最大距离应为：
L+2（x+x1）＝L+2（+）＝L。
故选：A。

21. 将一根粗细均匀、质量为M的铁丝弯成直角，直角边边长之比AC：BC=m：n(m>n)，将直角顶点C固定，如图所示，当直角铁丝静止时，BC边与竖直方向的夹角为θ，则sinθ=_______，若在B点悬挂一物体，将使θ=45°，则该物体的质量为______。

【答案】
【解析】（1） 设AC=a，CB=b，铁丝单位长度的质量为λ，


由力矩平衡：
， （1）
由（1）得

解得：
（2） 若在B点悬挂一质量为m的物体，

由（2）得 ，

22. 如图所示，圆柱形物体高2米，底面积200厘米2，密度为2.5´103千克/米3，某人在河岸边通过图示滑轮装置（滑轮、绳子质量和摩擦均不计）将该物体从水中以0.2米/秒的速度匀速拉起，水面高度始终不变，人手中绳子能承受的最大拉力为400牛，g取10牛/千克，某时刻，圆柱体底面距离河面H为5米，从此时算起，经过________秒，绳子将被拉断？该过程中，人所做的功为______焦。

【解析】（1）由题意知，不计摩擦及滑轮和绳的质量，
则滑轮组对圆柱体的拉力F拉＝2F，
当绳中拉力达到400N时，绳子恰好被拉断，设此时圆柱体上表面露出水面高度为h，则
F浮+F拉＝G，
即：ρ水gS（h0﹣h）+2F＝ρ圆柱体gSh0，
1×103kg/m3×10N/kg×0.02m2×（2m﹣h）+2×400N＝2.5×103kg/m3×10N/kg×0.02m2×2m，
解得：h＝1m；
所以物体被提升高度为h′＝5m+1m﹣2m＝4m
所在提起物体的时间t＝＝＝20s；
（2）物体未露出水中被提起时被提高度h1＝5m﹣2m＝3m，
F拉＝G﹣F浮浸没＝2.5×103kg/m3×10N/kg×0.02m2×2m﹣1×103kg/m3×10N/kg×0.02m2×2m＝600N，
此过程对物体做功W1＝F拉h1＝600N×3m＝1800J，
物体露出水面后被提起高度h＝1m，
物体露出1m时，拉物体的力F拉′＝2F＝800N
所以从物体上表面刚好与水相平到被拉露出1m过程中的平均拉力：
F′＝＝＝700N，
此过程对物体做功W2＝F′h＝700N×1m＝700J，
因为不计摩擦及滑轮和绳的质量，所以人对功W＝W1+W2＝1800J+700J＝2500J。
答：（1）经过20s绳子会被拉断；（2）此过程人做功2500J。