初中数学苏科版八年级上册第二章 轴对称图形数学活动 折纸与证明教学设计

                            《折纸与证明》

——与三角形相关的问题

教学目标：

知识技能：通过折纸活动，在操作、交流中，巩固轴对称图形的相关知识；

数学思考：在动手操作过程中，获得数学活动的经验，经历“思考、操作、观察、猜想、验证”等过程，培养推理能力以及分析问题、解决问题的能力；

问题解决：在解决“三角形边与角关系”时，获得分析问题和解决问题的基本方法，并体验解决问题方法的多样性；

在解决“特殊三角形”问题时，获得解决问题的一般方法，体会化归的数学思想.

情感态度：通过活动，感受折纸的魅力，体会生活中处处存在着数学，感受数学的奇妙.

通过生生交流、师生对话，培养有条理的表达能力以及合作交流能力.

教学重点：

   经历折纸过程，探究折纸前后图形全等（边、角相等），并利用该性质解决三角形相关的问题，提高学生动手操作能力以及解决问题的能力.

教学难点：

   运用所学知识利用折纸得到特殊三角形并证明.  

准备材料：

  三角形、正方形、长方形、平行四边形纸片若干张

教学思路：

在学生已有的知识、经验基础上，感悟利用折纸可以为证明一些问题提供思路，同时也可以利用折纸折出特殊三角形，为我们解决一些问题提供方法，也是一些折纸创作的基础。教学过程以“发现问题——思考问题——尝试解决问题——交流分享——解决问题”的模式有序进行.

教学过程

一、问题情境

请欣赏一段视频

几张彩色的纸，折出一个多彩世界；几张长纸条，折出了变化多端，这就是折纸的魅力！

我们运用数学知识使折纸更美妙，同时我们也感受着折纸带给数学的思考.

下面我们就一起来尝试用折纸解决与三角形相关的问题，初步感受折纸魅力！

【设计目的】以生动活泼的视频引入，激发学生学习的积极性，活跃课堂氛围，引出主题.

二、探究活动

（一）探究活动一：三角形

1、复习回顾

利用折纸的方法找出该三角形的一条高，一条垂直平分线，一条角平分线，并在纸上画出；

【学生活动】操作，并与同伴交流方法.

【教师活动】点评学生的操作，并小结方法.

小结：数学知识：轴对称（翻折）；

      操作关键：构造相等的边、相等的角. 

【设计目的】通过复习回顾，获得折纸活动的数学知识，即轴对称知识，也获得折纸活动的操作关键，即构造相等的边、相等的角；为后续的探究活动奠定基础.

   我们在学习等腰三角形的性质里，通过折纸说明了“等边对等角”，那如果这两边不等呢？这两边所对的角有怎样的关系？我们一起尝试探究.

2、拓展探究：三角形中的边角关系

如图，△ABC中，AB＞AC.    猜想∠C＞∠B.并借助折纸证明.

请折一折，并与同伴交流自己的操作过程与证明思路.

【师生交流，总结】

三种方法：（与复习回顾相呼应）：

（1）沿着垂直平分线折叠，构造与∠B相等的∠ECD，利用叠合法比较，∠ECD＞∠ACB；

（2）沿着角平分线折叠，构造与∠C相等的∠AC’D，利用三角形外角性质比较，∠AC’D＞∠ABC；

（3）沿着高折叠，构造与∠C相等的∠AC’D，利用三角形外角性质比较，∠AC’D＞∠ABC.

       （1）              （2）                  （3）

操作关键：通过翻折，构造相等的角.

证得结论：在三角形中，“大边对大角”、“小边对小角”

由此，通过折纸可以为我们证明一些命题提供一些思路与方法.

【设计目的】由等腰三角形的性质“等边对等角”，猜测三角形中大边的对角与小边的对角之间的关系，并运用折纸进行证明 .学生通过自主探究、合作交流，获得多种解决问题的方法，并获得解决问题中操作的关键步骤.

（二）探究活动二：特殊三角形

1、等腰三角形

    现在给大家一张长方形纸，你能通过折纸、裁剪得到哪些特殊三角形？动手试一试.

等腰三角形（合作交流）

【师生操作、交流】

（1）常用方法（等腰直角三角形）

方法：利用角平分线找45°，利用等角对等边得到等腰三角形.

（也获得了45°的方法）

方法引申：通过对折，找到重合的两边（等腰）

①如图，沿EF对折纸片，使点B落在B’处，连接BB’，则△EBB’，△ABB’为等腰三角形.

①                     ②                   ③

②如图，将纸片沿EF折叠，A落在A’处，点B落在B’处，BF与AD交于点P，

除了△ABB’与△BB’E外，你能说明△EFP是等腰三角形吗？

（请同学们思考后与同伴交流，多种方法：全等、基本模型、面积法

全等：AB’=CD，∠B’=∠D，∠APB’=∠CPD，则△APB’≌△CPD；

基本模型：由翻折得∠ACB=∠ACB’，由平行得∠DAC=∠ACB，则∠ACB’=∠DAC.

面积法：S△APC=½AP﹡CD=½CP﹡AB’,AB’=CD,则AP=CP.）

③如图，将纸片沿EF折叠，A落在A’处，点B落在B’处，BF与AD交于点P，

除了△ABB’与△BB’E外，你能说明△EFP是等腰三角形吗？

（2）利用垂直平分线的性质（利用“等角对等边”，“两边相等的三角形是等腰三角形”）

如图将纸片沿着EF折叠，使点B落在直线BC上，记为B’，剪下△MNF，展开，则△MNN’为等腰三角形.

【小结】 “有两边相等的三角形是等腰三角形”，“有两角相等的三角形是等腰三角形”得到所需的等腰三角形.

确定等边→等腰三角形；确定等角→等腰三角形

2、等边三角形

（1）给定一张正方形，请通过折叠、裁剪的方法得到等边三角形.

【师生交流】

利用“三边相等的三角形是等边三角形”

折叠得到垂直平分线，构造等腰三角形，即一组相等的边，现只需得到另一组相等的边即可，因此①CD不折，直接连接CH即可；②将BC翻折，使点C落到H处，连接BH、CH即可。

【小结】方法：①翻折得到垂直平分线，即一组相等的边；②翻折得到另一组相等的边，从而得到等边三角形。

【引申】你能利用正方形纸片折一个60°角吗？

（2）在折叠正方形纸片基础上，思考，如何通过折叠长方形纸片得到等边三角形？说明理由.

【师生交流】

方法1：将长方形转化为正方形问题解决；

方法2：将正方形中折等边三角形的一种方法类比运用于长方形中：

 【小结】（1）确定60°→等边三角形；确定相等的边→等边三角形；

（2）获得利用折纸折出60°角的方法；

（3）化归方法.

【设计目的】通过折纸获得特殊三角形，素材由正方形到长方形；特殊三角形由等腰三角形到等边三角形，层层递进，在师生探究、交流中，揭示获得特殊三角形的基本方法，并证明，也体现了化归的数学思想.

三、课堂小结

1、数学知识：折纸问题→轴对称→相等边、角→特殊三角形；

数学方法：化归；

操作关键：构造相等的边与相等的角.

2、若给一张任意纸片，需要折出一个特殊的几何图形，请你说说可以尝试从哪几个思考操作？

【设计目的】由学生总结本节课的数学知识、数学方法、操作关键等，在总结中加强对折纸活动的感受.

四、知识运用

给一张平行四边形纸片，如何通过折叠、裁剪得到一个等边三角形？

【师生交流】

方法1：将平行四边形问题转化为正方形问题解决；

方法2：将正方形中折等边三角形的一种方法类比运用于平行四边形中：

【设计目的】在两个探究活动的基础上，进一步将特殊三角形进行深化，抓住问题的本质，利用垂直平分线构造一组相等的边，利用翻折，构造另一组相等的边，从而获得等边三角形.及时巩固前面所学.

五、结束语

除了平面的几何图形，我们还可以利用折纸折出更多奇妙的图形，你可以再次感受“数学的魅力、折纸的美妙”！

六、课后作业

   利用所学知识，通过折纸得到一个作品，与同学分享.

板书设计

                   折纸与证明——与三角形相关的问题

数学知识：轴对称（翻折）；

操作关键：构造相等的边、相等的角.  

数学方法：化归

一、三角形中的边角关系     

等边对等角

大边对大角、小边对小角

二、等腰三角形       （45°角）

翻折→角平分线→构造相等的角→相等的边

翻折→垂直平分线→构造相等的边

翻折→构造相等的边

三、等边三角形       （60°角、30°角）

垂直平分线（等腰三角形）+一组相等的边（翻折）→等边三角形

∠B=∠ECD，             ∠C=∠AC’D              ∠C=∠AC’D

∠ECD＞∠ACB             ∠AC’D＞∠B             ∠AC’D＞∠B

AB=AB’                 ∠PAE=∠PEA→PA=PE

   BH=HC=BC      BH=HC, BH=BC