苏科版九年级上册2.7 弧长及扇形的面积教案

2.7弧长及扇形的面积

教学目标：

1．经历探索弧长计算公式、扇形面积计算公式的过程.

2．会运用弧长计算公式、扇形面积计算公式计算有关问题.

3．经历弧长和扇形面积计算公式的探索过程和应用过程，体会“整体与部分”的关系及类比、方程、转化等思想.

教学重点：弧长与扇形的计算公式的推导与应用.

教学难点：弧长与扇形的计算公式的应用.

教学过程：

一、创设情境

如图1是操场部分跑道圆弧形状的示意图，其中半径为20米，圆心角为180°.

你能求出这段跑道的长度吗?

【设计意图： 从生活实际中引出计算弧长的必要性.】

二、引导探索

探索一：探索弧长公式

1．问题：刚才求的这段跑道的长度是180°的圆心角所对的弧长，若圆心角分别为90°、

45°、60°、1°、n°，如何计算它所对的弧长呢？

2. 归纳：如果圆的半径为R，圆心角度数为n，弧长为l，那么弧长的计算公式为：        .                       

【设计意图： 从由特殊的圆心角计算弧长入手，引导学生理解n°的圆心角所对的弧长实际上是圆周长的，体会“整体与部分”的关系.】

3. 练习1：

（1）已知圆弧的半径为24，所对的圆心角为60°，它的弧长为       .

（2） 已知一条弧的半径为9，弧长为3π，那么这条弧所对的圆心角为______.

（3）如图2，已知长为12πcm，∠AOB=160°，则⊙O的半径         .

【设计意图：引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算公式，理解l、n、R这3个量之间的一种相等关系.如果这三个量中，任意知道两个量，就可以根据公式求出第三个量.】

探索二：探索扇形面积公式

1. 扇形定义

一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。如上图中，由和半径OA、OB所组成的图形叫做扇形OAB.

2. 辨析

下列各图中，哪些图形是扇形？

3. 尝试探索扇形的面积公式

(1)如上题图（3），圆的半径为R，圆心角为90°，怎样计算该扇形的面积呢？

(2)怎样计算圆心角是n0的扇形面积？请同学们小组交流.

归纳：如果用字母 S 表示扇形的面积，n表示圆心角的度数，R 表示圆半径，那么扇形面积的计算公式为：                               .

【设计意图：类比弧长的计算公式，从“整体与部分”的关系来引导学生自主探索扇形面积公式.】

4. 扇形的面积公式与弧长公式有什么区别？有什么联系？

扇形的弧长与扇形面积的关系为：                            .

【设计意图：引导学生将扇形面积公式与三角形面积公式进行类比.】

5. 练习2：

（1）已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为         cm2.

（2）已知扇形面积为，圆心角为60°，则这个扇形的半径R=____．

（3）已知扇形的半径为2，弧长为π，则扇形的面积为________.

（4）一个弧长与面积都是的扇形，它的半径为________ .

（5）已知扇形的圆心角为120°，弧长为20π，扇形的面积为________.

【设计意图：类似于弧长的计算公式，引导学生用“方程的观点”去认识扇形面积计算公式，公式也是表示三个量之间的相等关系，在S、n、R中任意知道两个量都可以根据公式求出第三个量，同时又要注意灵活选择扇形的面积公式.】

三、例题解析

例  如图，正三角形ABC的边长为2，分别以A、B、C为圆心, 1为半径的圆两两相切于点O1、O2、O3，求弧O1O2、弧O2O3、弧O3O1围成的图形的面积S（图中阴影部分）.

变式：若原题的条件不变，现再画△ABC的内切圆⊙O与⊙A、⊙B、⊙C相交,求其公共部分的面积（图中阴影部分）.

【设计意图：进一步巩固扇形的面积公式，能将不规则图形的面积转化成规则图形的面积的和差，体会转化的数学思想.】

四、巩固练习

1. 若正三角形的边长为6，则它的内切圆的周长为         ，外接圆的周长为        .

2. △ABC的外接圆半径为2，∠BAC＝60°，则∠BAC所对的弧BC长为       .

3．如图1，⊙O的半径为5，A是⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于点C，AC=OC， B C的度数为____，图中阴影部分的面积为_________.

4. 如图2，若正六边形的边长为3，分别以A、B、C、D、E、F为圆心，1为半径的圆，则形成的阴影部分的面积之和是               .

   图1                  图2                    图3                  图4

5. 如图3，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点. 设弦AB

的长为d，则圆环面积S与d之间的数量关系是            .

6. 如图4，半圆的直径AB=40， C、D是这个半圆的三等分点. 求弦AC、AD和弧CD围成的图形（阴影部分）的面积S.

五、课堂小结

六、拓展提高：  如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置上，设BC＝1，AC＝，则顶点A运动到A2的位置时，点A经过的路线有多长？点A经过的路线与直线所围成的图形的面积有多大？