初中数学苏科版九年级上册1.1 一元二次方程教学设计

1．1一元二次方程

教学目标：

1．经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．

2．了解一元二次方程的概念和它的一般形式，会根据实际问题列一元二次方程．

3．通过对一元二次方程概念的教学，培养学生严谨的科学态度，让学生体验数学的简洁．

【教学重点】一元二次方程的概念和一般形式．

【教学难点】

1．由实际问题向数学问题的转化过程．

2．正确理解和掌握一般式中的以及“项”和“系数”．

教学过程：

环节一：创设情境，引入新知

问题情境：

1.正方形桌面的面积是2，求它的边长？

解：设正方形边长为．

根据题意可得：

2．矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米．如果花圃的面积是24，求花圃的长和宽？

解：设花圃的宽为．

根据题意可得：

整理得：

3．我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7．2万册，平均每年增长的百分率是多少？

解：设平均每年增长的百分率是．

根据题意可得：

整理得：

4．长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3米．梯子的底端与墙的距离比梯子的顶端与地面的距离多1米．设梯子的底端与墙的距离是x米，怎样用方程来描述其中的数量关系？

解：根据题意可得：

整理得：

问题1．这些方程属于我们学过的某一类方程吗？

问题2．这样的方程在其他实际问题中是否还存在呢？你能再想出一个例子吗？

师生活动:复习方程的概念，元与次的概念，观察新方程，分析此方程的元与次，尝试为新方程命名．学生思考二次项产生的原因，从熟悉的实际背景中，很有可能从矩形的面积出发，设计情境．

【设计意图】本环节使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识．

【教学建议】学生口答，老师板书整理后的方程，及时发现问题并有针对性的解决问题．

环节二：合作学习，探究新知

问题3．这些方程是什么方程？

师生活动:观察本课得出的一些方程，思考它们的共性，学生尝试给出一元二次方程的概念，并且概括出一元二次方程的一般形式．

得出结论：

1．一元二次方程的概念：

方程、、、，它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程．

2．任何一个关于x的一元二次方程都可以化为．其中是二次项，a是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

【设计意图】尝试让学生自己给出一元二次方程的定义，唤起学生对过去所学一元一次方程定义的类比和对比．概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解，是对数学符号语言的应用能力的提升．

【教学建议】学生小组自主学习与合作探究，通过类比的方法总结出一元二次方程的概念，老师及时关注每小组的交流、讨论情况，给予引导、帮助和鼓励；学生积极参与，得出一元一次方程与一元二次方程之间的区别与联系，体会数学的类比思想．

环节三：辨析应用，加深理解

问题4．请你说出一个一元二次方程，和一个不是一元二次方程的方程．

师生活动:可以由学生举手回答，也可以随机选择学生回答，调动学生广泛的参与．追问学生所举的反例为什么不是一元二次方程？是什么方程？

【设计意图】学生自己举例，应用概念，从正反两个方向强化对概念的理解，在追问的过程中，帮助学生将已有的方程梳理成比较清晰的知识体系．开发学生认识的资源，激发学生从不同角度、不同形式深入理解同一概念，让不同的学生在此过程中获得不同的收获，实现分层教学分层指导的效果．

【教学建议】根据一元二次方程的概念，建议由学生独立思考并回答，教师及时纠正．

例1、下列方程哪些是一元二次方程？

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）

解：（2）、（5）、（6）是一元二次方程．

【设计意图】归纳判断一个方程是否为一元二次方程的步骤：先整理成一般式，再判定一元二次方程的三个条件：整式方程、一元、二次，这三个条件缺一不可．可追问：有二次项的一元方程就是一元二次方程吗？帮助学生进一步巩固概念，深化对一元、二次的认识．

【教学建议】建议学生口答，并回答错误原因，引导学生紧扣概念进行辨析．

例2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：

（1）；   （2）

解：（1）整理成一般式得：，

二次项：；        二次项系数：3；

一次项：；       一次项系数：-8；

常数项：-10．

（2）一元二次方程的一般式为，学生口答．

【设计意图】学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．

【教学建议】注意书写格式，同时教师应强调系数的符号问题，提醒注意只有把方程化为一般形式才能识别方程的各项系数，若缺少某一项，则认为该项系数为0．

例3、关于x的方程，在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？

解：方程可转化为

所以时此方程为一元二次方程；，时此方程为一元一次方程．

【设计意图】在形式比较复杂的方程面前，通过辨析方程的元、次、项看清方程的本质，深化理解，淡化对一元二次方程概念的记忆．

【教学建议】教师对于含字母的一元二次方程一定要讲透，强调应先化简为一般形式，进一步加深对概念的理解．

环节四：巩固练习，灵活运用

1、下列方程中，哪些是关于的一元二次方程？

（1）；       （2）；      （3）； 

（4）；     （5）．      

2、关于的方程是一元二次方程，则（　    ）．

A．　  B．　　C．　　　 D．

3、将下列方程写成一般式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．

(1)；      (2)；     (3) ． 

【设计意图】巩固性练习，检测学生一元二次方程概念的掌握情况．

【教学建议】规定时间内要求学生独立完成，适当采用同学互助，小组过关． 

环节五：小结提升，知识升华

1．一元二次方程的定义、一般形式、项和系数；

2．类比思想、数学建模思想；

3．这节课你有哪些收获？

【设计意图】有效地帮助学生建构知识体系，提高总结和反思能力，有助于学生后续学习的开展，促进学生不断主动发展．

【教学建议】可以形成书面小结，加深印象．

目标检测：

1．下列方程中是一元二次方程的是                                          （    ）

A．                      B．

C．               D．       

21．若一元二次方程的一个根为-1，则                          （    ）

A．   B．    C．    D．

3．方程中二次项系数、一次项系数和常数项分别是           （    ）  A．1,-3,1        B．-1,-3,1         C．-3,3,-1      D．1,3,-1

4．方程化为一般形式是________________，其中二次项是__________,

一次项系数__________,常数项__________．

5．若关于的一元二次方程常数项为4，则一次项系数________．

6．如果非零实数、、满足，则关于x的一元二次方程必有一根________．

7．若关于的一元二次方程的一个根为0，则a的值为             ．

8．当a满足条件            时关于x的方程是一元二次方程；当a满足条件           时关于x的方程是一元一次方程．

9．填表：

10．下列方程中那些是一元二次方程                     ．（填序号）

11．若方程是关于x的一元二次方程，求m的值．

参考答案：

1．C    2．  B    3． A    4． ，，-9, 8；  5、 -15

6． ；  7．  -1；   8．；  

9．， 1， 0， 5；   ，3，-8,  4；

  ，1， 5，  0；  ， 7， 3，  -4 ．

10．（1）（5）；  11．  -2