苏科版九年级上册2.2 圆的对称性教学设计

2.2        圆的对称性

 教学目标：1．会利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理；

2．能利用垂径定理进行相关的计算和证明；

3．在经历探索与证明垂径定理的过程中，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法，明白圆的问题依旧要化归为直线形问题解决．

教学重点：垂径定理的证明定理及其简单应用．

教学难点：垂径定理的证明定理．

教学过程

一、情境引入

圆是什么对称图形？你是如何验证的？

要求：学生先思考并操作验证，然后请学生交流．通过本题既复习圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，同时又为学习轴对称性奠定基础．

二．新知

实践探索一

圆的轴对称性．

1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你是如何验证的？

2．如何确定圆形纸片的圆心？动手试一试！

要求：在引入的基础上进一步探究、归纳、总结，也为下面进一步探究奠定基础．既是上面探究的结论运用，同时也是为下面垂径定理作好铺垫．

实践探索二

垂径定理．

1．操作、探索

学生拿出事先准备好的透明的纸片，在上面画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图1）．沿着直径将圆对折（如图2），你有什么发现？

     图1            　　 图2

2．请你用文字语言概括你对垂直于弦的直径的研究过程中发现的结论，其中条件和结论分别是什么？请用几何语言表示．

3．请证明你的发现．

过程1．操作；

2．观察；

3．猜想并交流：主要是从相等的线段和相等的弧入手考虑；

4．归纳：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；

5．垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个条件，(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧．

6．几何语言：∵CD是直径，CD⊥AB， ∴AM＝BM，＝，＝．

7．引导学生利用对称性和全等等方法证明．

要求：鼓励学生自己动手实践探究．通过思考、探索，得出相应的结论并尝试说理． 让学生自己试着书写几何语言，培养学生严谨、规范的几何书写．

练一练

1．下列图形中，哪些能使用垂径定理，为什么？

2．如图，⊙O直径CD与弦AB（非直径）交于点M，

添加一个条件：____________，就可得到点M是AB的中点．

要求：学生先独立思考，然后请同学说说自己的判断和依据，并请另外一名同学进行点评。强化定理使用的条件，同时也对基本图形加深印象．

三、例题精讲

例1　如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．

要求：1．先独立思考，然后小组合作交流，弄清解决问题的思路．可以引导学生分步思考：

（1）怎样求线段长？（2）圆心O到AB的距离、半径、弦之间有什么关系？

例2　如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．AC与BD相等吗？为什么？

证明：过O作OP⊥AB，垂足为P，则 AP＝BP，CP＝DP．

　　AP－CP＝BP－DP，

即　AC＝BD．

四、随堂练习

1．“圆材埋壁”是我国古代著名数学家著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，求CD的长．”根据题意可得CD的长为________．

2．已知⊙O的直径50cm，弦AB∥CD，且AB＝40cm，CD＝48cm，求AB、CD之间的距离．

3.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，

与相等吗？为什么？

五、小结与反思

通过本节课的学习，你对圆的对称性有哪些认识？

六、课后作业

1、如图，矩形ABCD与⊙O交于点A、B、F、E，DE=1cm，EF=3cm，则AB=__________cm．

2、如图，⊙O的直径CD与弦AB相交于点M，只要再添加一个条件：________，就可得到M是AB的中点．

3、在圆中有一条长为16cm的弦，圆心到弦的距离为6cm，该圆的直径的长为_______cm．

4、如图，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C．若OA=5，OC=3，则弦AB等于（    ）．

 A．10   B．8   C．6   D．4

5、一种花边是由如图的弓形组成的，ACB的半径为5，弦AB=8，则弓形的高CD为（    ）．

 A．2   B．   C．3   D．

6、如图，在⊙O中，弦AB=AC=5cm，BC=8cm，则⊙O的半径等于_________cm．

7、在半径为6cm的圆中，已知两条互相垂直的弦，其中一条被另一条分成3cm和7cm的两段，则圆心到两弦的距离分别为__________．

8、如图，在⊙O中，弦AB∥CD，直径MN⊥AB且分别交AB、CD于E、F，下列4个结论：①AE=BE；②CF=DF；③AC=BD；④MF=EF．其中正确的有                                          （   ）

 A．1个   B．2个   C．3个   D．4个

9、如图，P是半径为5的⊙O内一点，且OP=3，在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为                                                                                                                                                                          （   ）

 A．2   B．3   C．4   D．5

10、如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P为弦AB上的一动点，若OP的长度为整数，则满足条件的点P有                                                                                                                                                                        （   ）

 A．2个  B．3个  C．4个  D．5个

11、如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过A作O1O2的平行线

交两圆于C和D．试说明：CD=2 O1O2．

12、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，CE平分∠DCO，交⊙O于E．

（1）试说明：AE=BE．

（2）当点C在上半圆上移动时，点E是否随着点C的移动而移动？

13、如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，OD⊥CB于点E，交BC于点D．

（1）请写出三个不同类型的正确结论；

（2）连接CD，设∠CDE=，∠ABC=，试找出与之间的一种关系，并说明道理．

14、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？

★15、有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB为7.2米，拱顶高出水面CD，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？