江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-正弦定理解边角互化的应用

这是一份江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-正弦定理解边角互化的应用，共42页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。
江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-正弦定理解边角互化的应用

一、单选题
1．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（       ）
A．(1，9] B．(3，9]
C．(5，9] D．(7，9]
2．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

二、多选题
3．（2022·江苏苏州·模拟预测）在中，，，，下列命题为真命题的有（       ）
A．若，则
B．若，则为锐角三角形
C．若，则为直角三角形
D．若，则为直角三角形
4．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知A，B分别是椭圆（）的左､右顶点，P是椭圆在第一象限内一点，且满足，设直线PA，PB的斜率分别为，，则（       ）
A．
B．若，则椭圆的方程为
C．若椭圆的离心率，则
D．的面积随的增大而减小

三、解答题
5．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）记锐角内角的对边分别为，且，且．
(1)求；
(2)将延长至D，使得，记的内切圆与边相切于点T，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
6．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）从①为锐角且sinB－cosC＝；②b＝2asin(C＋)这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
(1)求角A；
(2)若b＝c且BC边上的高AD为2，求CD的长．
7．（2022·江苏泰州·模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知边上的高等于a．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
8．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足.
(1)求角；
(2)角的内角平分线交于点，若，，求.
9．（2022·江苏南京·模拟预测）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个填入横线上并解答．
在锐角三角形中，已知角，，的对边分别为，，c，．
(1)求角；
(2)若的面积为，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
10．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请在①；②；③．这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：
(1)求；
(2)若，，延长到D，使，求线段的长度．
11．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对边，．
(1)求cosC的值；
(2)若，求的值．
12．（2022·江苏淮安·模拟预测）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB
(1)若，求tanC的值：
(2)已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且求△ABC的面积．
13．（2022·江苏·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，面积为，满足．
(1)证明：；
(2)求所有正整数，的值，使得和同时成立．
14．（2022·江苏江苏·三模）在中，内角A，，所对的边分别为，，，.从条件①､②中找出能使得唯一确定的条件，并求边上的高.
条件①，；条件②，.
15．（2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测）在①3asinC＝4ccosA；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知， ，．

(1)求sinA；
(2)如图，M为边AC上一点，MC＝MB，，求△ABC的面积．
16．（2022·江苏·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，，求的面积.
17．（2022·江苏南通·模拟预测）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
(1)证明：﹔
(2)求的面积的最大值．
18．（2022·江苏扬州·模拟预测）在△ABC中， .
(1)求∠B的大小；
(2)再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积
条作①；
条件②；
条件③：AB边上的高为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分.
19．（2022·江苏江苏·一模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，___________，求的面积.
20．（2022·江苏·金陵中学模拟预测）记中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且.
(1)求；
(2)若，点为边的中点，且，求的面积.
21．（2022·江苏江苏·二模）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，sinA＝2sinB.
(1)若，求C；
(2)点D在边AB上，且AD＝c，证明：CD平分∠ACB.
22．（2022·江苏·南京市宁海中学二模）在中，角，，所对的边分别，，．已知．
(1)求；
(2)若，，设为延长线上一点，且，求线段的长．
23．（2022·江苏无锡·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知．
(1)求；
(2)若，是外的一点，且，，则当为多少时，平面四边形的面积最大，并求的最大值．
24．（2022·江苏南通·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
(1)求角A；
(2)若，BC边上的高为，求c.
25．（2022·江苏南通·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，．
(1)求角B的大小；
(2)若的面积，设D是BC的中点，求的值．
26．（2022·江苏·南京市第五高级中学一模）如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．

(1)求角C：
(2)若，，延长CB至M，使得，求BM．
27．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，且满足①；②；③．
(1)从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；
(2)若为线段上一点，且，，求的面积．
28．（2022·江苏无锡·模拟预测）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
29．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
30．（2022·江苏苏州·模拟预测）在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足.
（1）求角B大小；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.

四、双空题
31．（2022·江苏·华罗庚中学三模）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则的最大值为_________；设D是上一点，且，则的最大值为_________．
32．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，.已知向量，且，为边上一点，满足，.则_______，面积的最大值为________.

参考答案：
1．D
【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化为，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.
【详解】因为，
由正弦定理可得，
则有，
由的内角为锐角，
可得，
，
由余弦定理可得
因此有




故选：D.
【点睛】方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
2．A
【分析】由，可得，由正弦定理转化为角的关系可以得到，由此推出，又为锐角三角形，可求出，将都用角A表示可以得到，且，当取最大值时利用可求得的范围.
【详解】解：因为，，所以，
可得：，即，
因为为锐角三角形，则有，即，解得：.

= ，
当时，原式有最大值，此时，
则，，，即，所以.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数正弦定理的应用，考查三角函数辅助角公式，对辅助角公式的熟练应用是解题的关键，属于难题.
3．ACD
【分析】利用正弦定理判断选项A，利用数量积的性质判断选项B和C，利用数量积的性质和余弦定理判断选项D．
【详解】解：A：若，由正弦定理得，
，则 A正确；
B：若，则，
，即为钝角，
为钝角三角形，故 B错误；
C：若，则，
为直角三角形，故 C正确；
D：若，则，
， ，
由余弦定理知，
，则，
，，为直角三角形，故 D正确．
故选：ACD．
4．BCD
【分析】利用斜率公式及椭圆方程可判断A，利用条件及正弦定理可求，可判断B，结合条件及的关系式可判断C，由题可得，再利用导数可判断D.
【详解】对于A选项，由题意可知，，设，则，故A错误；
对于B选项，由正弦定理得，
∴，则，即，，从而，
因此，即，则椭圆方程为，故B正确；
对于C选项，由B可知，，得，
∴，即，
又，，
所以，得，即，故C正确；
对于D选项，过P作于D，则，，

故，即，
∴，，
设，，则，
所以在上单调递减，则的面积随的增大而减小，故D正确.
故选：BCD.
5．(1)2；
(2)是，定值为

【分析】（1）由题设得，整理得，结合正弦定理化简得，结合的范围求得即可求解；
（2）先由（1）中结论结合正余弦定理求得，再由向量的线性运算得，进而求得，由切线长定理化简即可求得.
（1）由可得，即，整理得，由正弦定理得，又，则，又，，，，则，即；
（2）由（1）得，即，整理得，又，则，设内切圆圆心为，内切圆与边分别相切于点，则，又，则
，则，则，又，则.
6．(1)条件选择见解析，
(2)

【分析】（1）在三角形中，运用正余弦定理，实现边角互化即可求解.
（2）根据三角形的面积公式可得的关系，在中运用余弦定理可求出的值，然后根据边的长度用余弦定理求角，即可求解.
(1)
选①
因为，所以，
由余弦定理得，，所以，即
由正弦定理得
在中，有，故
由A为锐角，得
选②
因为b＝2asin(C＋)，由正弦定理得
即       
化简得
在中，有，由A为锐角得，
所以，得
(2)
由题意得，，所以，
又b＝c，所以
由余弦定理，解得
所以，，
所以是钝角三角形
所以，所以
在直角中，
7．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由锐角三角形可得，结合题意和正弦定理整理可证；（2）利用等面积可得，结合余弦定理化简整理．
(1)
设边上的高为，则，所以，
由正弦定理得．
(2)
由余弦定理得，
因为，所以，
所以，即，
所以．
8．(1)；
(2)

【分析】（1）先由正弦定理及切化弦得，结合角的范围，即可求解；
（2）先由结合面积公式求得，再由余弦定理求得的值，再由正弦定理求出即可.
(1)
由正弦定理及切化弦可得，
又，则，即，又，则；
(2)

，又，，
可得，又由余弦定理得，解得（负值舍去），则，
可得或，又，显然当或12时，的值相同，不妨设，则，
由正弦定理得，可得，又，可得.
9．(1)
(2)

【分析】(1)选①：根据平面共线向量的坐标表示和正弦定理可得，结合余弦定理即可求出C；选②：根据正弦定理和两角和的正弦公式化简计算可得，结合特殊角的正切值即可求出C；
(2)由三角形的面积公式可得，法一：利用余弦定理解得；法二：由正弦定理可得，进而利用导数求出函数的值域即可.
(1)
选择①：
因为，所以，
由正弦定理得，，
即，即，即，
即．因为，
又为锐角，所以．
选择②：
因为，
由正弦定理得，，
即．
又，
所以．
因为，所以，
又为锐角，所以，．
(2)
因为，
所以，则．
(法一)由余弦定理得，．①
因为为锐角三角形，所以即
将①代入上式可得即解得．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
即，即的取值范围为．
(法二)由正弦定理得，
又，所以．
因为为锐角三角形，所以解得
因为，所以，，
即，解得．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
即，即的取值范围为．
10．(1)
(2)5

【分析】（1）若选①，由正弦定理将已知式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等换公式化简可求出角，若选②，由正弦定理将已知式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等换公式化简可求出角，若选③，对已知式子利用余弦定理和三角形的面积公式化简可求出角，
（2）在中，由余弦定理可求得，再利用正弦定理得的值，然后分别在利用正弦定理和余弦定理求解即可
(1)
若选①，因为，
所以由正弦定理得,
因为，所以,
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以，
若选②，因为，
所以由正弦定理得,
所以，
因为，所以，
因为，所以，
若选③，因为，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
(2)
在中，由余弦定理得，
，化简得，
解得或（舍去），
由正弦定理得，
所以，所以，
所以，
因为，，
所以 ，
在中，由正弦定理得,
所以，得，
在中，由余弦定理得
，
所以，
化简得,
解得或（舍去）
所以线段的长度为5
11．(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理将已知条件转化为“边”的等式，再利用余弦定理即可求得cosC的值；
（2）首先利用角C的值和已知条件判断出角A为锐角，再利用两角和的正弦公式求得的值，进而利用正弦定理即可求得的值．
(1)
由，可得
则，
由正弦定理得
由余弦定理得
整理得，又，则
则，
(2)
由（1）可知，又，则，
由，可知角A为钝角或锐角
若A为钝角，则
这与内角和为矛盾，即A不能为钝角，
为锐角，由，可得


12．(1)或；
(2).

【分析】（1）利用同角关系式可得或sin，然后利用和角公式即得；
（2）由题可得，利用角平分线定理及条件可得，进而可得，，即得.
(1)
因为，
所以，
解得或sin,
当时，，，
所以，；
当时，因为，
所以，又，
所以．
(2)
∵，
∴，，
∴，即，
∴，
由角平分线定理可知，，又，
所以，

由，可得，
∴，，
所以．
13．(1)证明见解析
(2)，

【分析】（1）由结合已知条件得，，整理得，再利用正弦定理边化角即可求解；
（2）由得，，再利用正余弦定理化简得，结合条件得，即，再分析求解即可.
(1)
因为，
所以，即．
因为，，所以．
由正弦定理得，其中为的外接圆半径，
所以．
(2)
由，可知，
则由正、余弦定理得到，
化简得．
因为，，所以，
即，
因为，均为正整数，所以，.
14．答案见解析
【分析】利用正弦定理化边为角，结合三角形的内角关系及两角和的正弦公式求得，条件①，由求出角，即可判断三角形的解是否唯一，条件②，由正弦定理求出，然后求出，从而可得出答案.
【详解】解：因为，由正弦定理得，
又，所以，
又，所以，
则，
选①，因为，所以或，
则有两个解，不符题意；
选②，因为，所以，
又，故是唯一的，
，
所以，
所以.

15．(1)；
(2)

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求出即可；
（2）根据两角互补其余弦值之和为，利用余弦定理建立等式求出的长，再利用面积公式求的面积即可.
（1）
若选择条件①，在中，由正弦定理得.
即
又，
若选择条件②，，
，即.
又，，
则
.
（2）
设，易知
在中，由余弦定理得 ，解得.

在中，，，
则

16．(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理，角化边，得到，利用余弦定理，求得答案；
（2）利用余弦定理结合求得，利用三角形面积公式，求得答案.
(1)
因为，
在中，由正弦定理可得，化简得，
所以.
又因为，所以.
(2)
由余弦定理，得
因为，所以将代入上式，解得，
所以的面积.
17．(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）根据已知条件及三角形的内角和定理，再结合正弦定理边角化即可证明；
（2）根据已知及余弦定理求出，利用平方关系得出，再结合三角形的面积公式及二次函数的性质即可求解.
(1)
因为，
所以，
由正弦定理得，，
所以．
由正弦定理，得．
(2)
由（1）知，，所以由余弦定理得，
，
所以．
所以的面积
，
当即（负舍）时，取得最大值为,
所以的面积的最大值为.
18．(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理可得：，从而得到，得出答案.
（2）选择条件①②，△ABC存在且唯一.由得出，由正弦定理及解出.
方法1：由两角差的余弦公式求出，最后由面积公式计算即可.
方法2：由余弦定理求出，最后由面积公式计算即可.
选择①③，△ABC存在且唯一. 由得出，因为AB边上的高为，所以得出，再由正弦定理求出解出，以下与选择条件①②相同.
(1)
由正弦定理及.
得，因为，所以
因为，所以.
(2)
选择条件①②，△ABC存在且唯一，解答如下：
由，及，得.
由正弦定理及
得，解得.
方法1：由，得

.
所以.
方法2：由余弦定理，得
即，解得
所以
选择①③，△ABC存在且唯一，解答如下：
由，及，得.
因为AB边上的高为，所以.
由正弦定理及，
得，解得：.
（以下与选择条件①②相同）
19．.
【分析】选①，由已知结合正弦定理角化边，求出，再按A是锐角和钝角分类计算作答.
选②，由已知结合余弦定理角化边，再求出，按A是锐角和钝角分类计算作答.
选③，按A是锐角和钝角分类计算作答.
【详解】选择条件①：依题意，，
在中，由正弦定理得，，
由余弦定理得：，
若A为锐角，则，则，
则，又，解得或，
即有的面积为，
若A为钝角，则，则，有，又，无解，舍去，
综上可得，的面积为．
选择条件②：因为，由余弦定理得：，
整理得：，即，
而，则，
若A为锐角，则，有，
由余弦定理得：，
则有，又，解得或，
即有的面积为，
若A为钝角，则，则，舍去，
综上可得，的面积为.
③因为，由余弦定理，
若A为锐角，则，则，
则，又，解得或，
即有的面积为．
若A为钝角，则，则，有，又，无解，舍去，
综上可得，的面积为.
20．(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理得，结合三角形的内角和定理和两角和的正弦公式，化简得到，求得，即可求解；
（2）由为边的中点，可得，得到，再由余弦定理得到，联立方程组求得的值，结合面积公式，即可求解.
(1)
解：在中，因为，
由正弦定理得，
又由，所以，
所以，即，
因为，可得，所以，即，
又因为，所以.
(2)
解：由为边的中点，可得，
所以，
又由，且，可得，
因为，由余弦定理可得，
联立方程组，可得，所以.
21．(1)；
(2)证明见解析﹒

【分析】(1)根据正弦定理可知a＝2b，根据余弦定理可求cosC，由此即可求C；
(2)由正弦定理证明sin∠BCD＝sin∠ACD即可.
(1)
由，
，∵C，∴；
(2)
设∠BCD＝α，∠ACD＝β，
∵sinA＝2sinB，∴由正弦定理得a＝2b，
在中，由正弦定理得，，①
在中，由正弦定理得，，②
，a＝2b，
∴得，，∵0＜α、β＜，
，即平分.

22．(1)；
(2).

【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可；
（2）根据正弦定理，结合两角和的余弦公式进行求解即可.
(1)
，
由正弦定理可得：
，
，，，；
(2)
由（1）知，
，，
由正弦定理可得，，即，
，
或（舍去），
，
，
，，
，
．

23．(1)
(2)时，S最大值为

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用两角和差公式进行化简即可.
（2）将四边形面积分成两个三角形面积和来解决，设，则利用x分别表示的面积，然后在中，利用余弦定理找到x与∠D的关系，最后构造函数利用函数值域来求最值.
(1)
在中，内角所对的边分别是，已知．
由正弦定理得：，又，
，
，，
，，．
(2)
，，是等边三角形，设，，
，，，，
由余弦定理得，
，
，，当，即时，
平面四边形的面积取最大值．
24．(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解；
（2）利用三角形面积公式和余弦定理求解即可.
(1)
由已知条件得,
由正弦定理得，
∵，∴，∴，
又∵, ∴, ∴,∴;
(2)
由三角形面积公式得
∵，，
∴，即，
由余弦定理得, 将代入可得，
解得或（舍去），
故.
25．(1)；
(2).

【分析】(1)结合已知条件和正弦定理边化角，三角恒等变换即可求出B；
(2)根据三角形面积公式求出a，根据余弦定理求出b.在和分别由正弦定理表示出和，根据，即可得.
(1)
∵，
∴由正弦定理得，，
即，
即，
即，
即，
，，，
，；
(2)
，
.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
，，
∴.
26．(1);
(2).

【分析】（1）将正弦定理代入条件整理得，从而有，根据角的范围可得角大小；
（2）在中，由余弦定理求得，然后在中，由正弦定理求得，进一步计算可得．
(1)
解：（1）因为，
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，即，所以，
又因为，所以，所以，所以．
(2)
在中，由余弦定理可得，
解得舍去，
在中，，
由正弦定理可得，
即，
解得，
所以．
27．(1)见详解；
(2)4.

【分析】根据所给条件构造命题，用正弦定理或余弦定理证明；
用正弦定理及面积公式求解.
(1)
“由①②③”
证明：因为，由正弦定理：，
所以，；
因为，，所以，
由余弦定理得：
“由②③①”
因为，由余弦定理得，
因为，由正弦定理：，
所以，，所以，
“由①③②”
因为，由余弦定理得，
又，，所以，
所以三角形为等腰直角三角形，
故,
(2)

由已知设，则，，，
因为，所以，
所以，根据正弦定理得：，
则，，

       .
28．（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】（1），则由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由（1）可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.
29．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①

在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，

而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．

由，得．
在中，．
在中．
因为，
所以，
整理得．
又因为，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．
所以，
即，
又因为，所以．③
由余弦定理得，
所以④
联立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．

由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，
即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
30．（1）；（2）.
【分析】（1）根据条件由降幂公式结合正弦定理可得，即，再由角的范围可得出答案.
（2）由由正弦定理有，再根据（1），可得，然后由为锐角三角形求出角的范围，即可求出答案.
【详解】解：（1），
，
，即
，所以
由，，
，.
（2）由正弦定理知：
，
，，




.
由于为锐角三角形，
，
，，
当时，，
当或时，，
，
.
所以周长的取值范围：
【点睛】本题考查利用正弦定理进行边化角，求解三角形的内角，和利用正弦定理求三角形周长的范围，属于中档题.
31．         
【分析】（1）由正弦定理、余弦定理化简后求角B的值，再将化简为三角函数求最大值即可；
（2）由余弦定理化简后结合辅助角公式求最值即可
【详解】（1）由余弦定理知：
又由正弦定理化简得：，即，即，又，
化简得，则



又，，故当时，取最大值为.
（2）由题意得，
在与中，分别有，
又，化简得
整理得：
令，结合辅助角公式有，所以的最大值为
故答案为：；
32．         
【分析】（1）由得到，再利用正弦定理和三角恒等变换化简得解；
（2）设,根据已知得到，再利用重要不等式得到，即得解.
【详解】（1）因为，所以
所以，
所以,
由正弦定理得,
所以，
所以，
因为，所以,
所以.
（2）设,

因为，
所以，
由得
所以.（当且仅当时等号成立）
所以面积的最大值.
故答案为： ；.