江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-用导数研究函数的最值

这是一份江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-用导数研究函数的最值，共48页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-用导数研究函数的最值

一、单选题
1．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏盐城·三模）已知正实数a，b，c满足：，，则a，b，c大小满足（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知函数，，若函数在上的最小值为，则实数的值是（       ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏省滨海中学模拟预测）已知正项数列满足，当最大时，的值为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数，若关于x的不等式对任意恒成立，则实数k的取值范围(       )
A． B． C． D．

二、多选题
6．（2022·江苏江苏·一模）已知函数，若对于定义域内的任意实数，总存在实数使得，则满足条件的实数的可能值有（       ）
A．-1 B．0 C． D．1
7．（2022·江苏南京·二模）已知函数，，则（       ）
A．函数在上无极值点
B．函数在上存在唯一极值点
C．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为
D．若，则的最大值为
8．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）在单位圆O：上任取一点，圆O与x轴正向的交点是A，设将OA绕原点O旋转到OP所成的角为，记x，y关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（       ）
A．是偶函数，是奇函数
B．在为增函数，在为减函数
C．对于恒成立
D．函数的最大值为
9．（2022·江苏·南京市宁海中学二模）已知函数，则（       ）
A．对任意正奇数n，f(x)为奇函数
B．当n=3时，f(x)在[0，]上的最小值为
C．当n=4时，f(x)的单调递增区间是
D．对任意正整数n，f(x)的图象都关于直线对称

三、填空题
10．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）设函数，设的最小值为M，若至少有一个零点，且命题成立，则的取值范围是__________．
11．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_______．
12．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知.设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为___________.
13．（2022·江苏徐州·模拟预测）函数的最小值为_____________．
14．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）若随机变量等可能的在，，中取值，其中，则的最小值为______．
15．（2022·江苏·南京市第一中学三模）已知函数，则的最小值为____________．
16．（2022·江苏泰州·模拟预测）等边△ABC的边长为6，直线l交边AC，AB分别于点D，E(异于△ABC的顶点)，将△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，则四棱锥A－BCDE体积的最大值为________．
17．（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知函数 的图象上存在点 ，函数的图象上存在点 ，且、关于 轴对称，则实数 的取值范围为________

四、解答题
18．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）已知函数．
(1)当时，证明；
(2)若存在极值点，且对任意满足的，都有，求a的取值范围．
19．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数 ，（为自然对数的底数，）．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，，当时，，求的最小值．
20．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知，.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数与的图象恰有一个交点，求的取值范围.
21．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数．
(1)求证：；
(2)若恒成立，求实数．
22．（2022·江苏南京·模拟预测）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B．Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C．Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名运动员约定谁先赢(，)局，谁便赢得全部奖金元．每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立．在甲赢了局，乙赢了局时，比赛意外终止．奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．
(1)规定如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．若，，，，求．
(2)记事件为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当，，时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于0.06，则称该随机事件为小概率事件．
23．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．
(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；
(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：
①；②；③；
请从①②③中任选一个进行证明．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
24．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知函数=e2x，，m>0，设
(1)若函数有两个零点，求实数m的取值范围；
(2)若直线是曲线=e2x的一条切线，求证："a>b，都有．
25．（2022·江苏常州·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的极值，
(2)对任意实数，恒成立，求正实数a的取值范围．
26．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)证明：对于任意正整数，不等式成立.
27．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）设函数．
(1)当时，恒成立，求b的范围；
(2)若在处的切线为，且，求整数m的最大值．
28．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）已知函数．
(1)若函数在上是单调递增，求实数的取值范围；
(2)若对于任意，存在正实数，使得，试判断与的大小关系，并给出证明．
29．（2022·江苏·海安高级中学二模）我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产，设试产该款芯片的次品率为p（0＜p＜1），且各个芯片的生产互不影响．
(1)试产该款芯片共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为，．
①求p；
②现对该款试产的芯片进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的芯片会被自动淘汰，然后再进行人工抽检已知自动智能检测显示该款芯片的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一个芯片是合格品的概率．
(2)视p为概率，记从试产的芯片中随机抽取n个恰含m（n＞m）个次品的概率为，求证：在时取得最大值．
30．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知函数，其中.
(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；
(2)若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围.
31．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数，其中，e为自然对数的底数，
(1)若函数在定义域上有两个零点，求实数a的取值范围；
(2)当时，求证：
32．（2022·江苏·扬州中学模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)讨论零点的个数．
33．（2022·江苏泰州·一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明：.
34．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知函数，.
（1）证明：；
（2）若时，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求的最小值.
35．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）新型冠状病毒是一种人传人，而且隐藏至深、不易被人们直觉发现危及人们生命的严重病毒．我们把与这种身带新型冠状病毒（称之为患者）有过密切接触的人群称为密切关联者．已知每位密切关联者通过核酸检测被确诊为阳性后的概率为．一旦被确诊为阳性后即将其隔离．某位患者在隔离之前，每天有 位密切关联者与之接触（而这个人不与其他患者接触），其中被感染的人数为．
（1）求一天内被感染人数的概率的表达式和的数学期望；
（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间．设每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与位密切关联者接触．从某一名患者被带新型冠状病毒的第1天开始算起，第天新增患者的数学期望记为．
①当，，求的值；
②试分析每位密切关联者佩戴口罩后与患者接触能否降低患病的概率，经大量临床数据验证佩戴口罩后被感染患病的概率满足关系式．当 取得最大值时，计算所对应的和所对应的 值，然后根据计算结果说明佩戴口罩的必要性（取）．
（参考数据：，，， ，，计算结果保留整数）

参考答案：
1．A
【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求的单调区间、极值、最值即可得出a的取值范围.
【详解】设
切线：，即
切线：，即，
令

在上单调递增，在上单调递减，
所以
故选：A．
2．D
【分析】首先利用三角函数恒等变形，判断；再根据函数的单调性判断的关系，再构造函数，利用导数求函数的最大，即可判断选项.
【详解】由，
又单增，，则，
设,，得，当，，函数单调递增，当时，，单调递减，所以函数的最大值
又，∴，
故选：D
3．B
【分析】求导后，根据单调递增和存在最小值可知，使得，且在上单调递减，在上单调递增；可知；结合可解方程组求得的值.
【详解】，又，
在上单调递增，
在上存在最小值，，使得，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
…①，
由得：…②，
②①得：，
，，；
①②得：；
又，.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数在区间内的最值求解参数值的问题，解题关键是能够根据的单调性及存在最值确定存在零点，进而根据的零点和的最小值构造方程组，利用方程组推导得到参数值.
4．B
【分析】先令，两边取对数，再分析的最值即可求解.
【详解】令，两边取对数，有，
令，则，
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以时，取到最大值，从而有最大值，
因此，对于，当时，；当时，.
而，因此，当最大时，.
故选：B
5．C
【分析】观察分析可构造函数，根据g(x)的单调性和奇偶性将问题转化为即对恒成立.
【详解】设，
则，即，
由，解得，即g(x)定义域关于原点对称，
又，
故g(x)是定义在(－2，2)上的奇函数.
，
y＝在(－2，2)单调递增，y＝lnx在(0，﹢∞)单调递增，故g(x)在(－2，2)单调递增，
则变为，
∴原问题转化为：对恒成立，
则对恒成立，
即对恒成立.
令，
∵在上单调递减，
∴，∴；
令，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴当时，取最大值，∴，
∴，即实数的取值范围是.
故选：C.
6．AB
【分析】根据给定条件，可得函数无最小值，再分类探讨函数在内最值情况判断作答.
【详解】函数定义域为，因，总使得，
则有函数在上没有最小值，对求导得：，
当时，当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，
则当时，取最大值，值域为，在内无最小值，因此，，
当时，令，，，当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，，显然，即，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，

当时，有两个根，不妨令，
当或时，，当或时，，
即函数在，上都单调递减，在，都单调递增，
函数在与处都取得极小值，，不符合题意，
当时，，当且仅当时取“=”，则当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，，不符合题意，
综上得：实数的取值范围是：，
所以满足条件的实数的可能值有-1，0.
故选：AB
【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者
将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
7．AD
【分析】A选项，二次求导，得到的单调性，得到答案；B选项，二次求导，得到在上单调递增，从而判断出无极值点；C选项，根据A选项得到的的单调性得到不等式，参变分离后，构造函数，求出其最大值得到答案；D选项，结合AB选项求出的函数单调性及同构，构造函数，进行求解.
【详解】对于A：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，故函数在上无极值点，故A正确；
对于B：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，则函数在上无极值点，故B错误；
对于C：由A得在上单调递增，不等式恒成立，则恒成立，故恒成立.设，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，故，故C错误；
对于D：若，则.由A，B可知函数在上单调递增，在上单调递增，∵，∴，，且，当时，，设，设，则，令，解得，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，此时，故的最大值为，故D正确.
故选：AD.
【点睛】构造函数，研究其单调性，极值，最值，从而证明出结论，或者求出参数的取值范围，经常考察，也是难点之一，要能结合函数特征，合理构造函数进行求解.
8．ACD
【分析】A，由题可知，，，根据正弦函数和余弦函数的奇偶性，可判断选项A；
B，根据正弦函数和余弦函数的单调性，可判断选项B；
C，先利用辅助角公式可得，再结合正弦函数的值域即可得解；
D，，，，先对函数求导，从而可知函数的单调性，进而可得当，时，函数取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．
【详解】由题可知，，，
对于A：是偶函数，是奇函数，故A正确；
对于B：在，上为增函数，在，上为减函数；在，上为增函数，故B错误；
对于C：，，，，，则，，故C正确；
对于D：函数，，，
则，
令，则；令，则，
函数在∈时单调递增，在∈，上单调递减，
所以当，时，函数取得最大值，为，故D正确．
故选：ACD．
9．BD
【分析】通过判断的值，判断A的正误；利用函数的导数判断函数的单调性，求解最大值，判断B的正误；求出函数的单调增区间判断C的正误；判断，判断D的正误．
【详解】解：对于A，取，则，从而，此时不是奇函数，则A错误；
对于B，当时，，
当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，故B正确；
对于C，当时，，
令，则，
所以的递增区间为，则C错误；
对于D，因为，所以的图象关于直线对称，则D正确；
故选：BD.
10．
【分析】根据题意转化为时，恒成立，结合与圆相切时，利用点到直线的距离公式和导数，求得的最小值为，即可求解.
【详解】由题意，函数，
因为的最小值为，即，即表示圆及其外部的部分，
又因为命题成立，即时，恒成立，
当直线与圆相切时，
可得
设，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为，
可得的最小值为，所以的最大值为，
所以的最小值为，所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
11．
【分析】分析可知直线与函数在上的图象只有一个交点，利用导数分析函数在上的单调性与极值，数形结合可求得的值，再利用导数可求得函数在上的最大值和最小值，即可得解.
【详解】当时，由可得，令，其中，
则，由，可得，列表如下：









增
极大值
减

如下图所示：

因为在内有且只有一个零点，则，
所以，，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
则当时，，
又因为，，所以，，
因此，在上的最大值与最小值的和为.
故答案为：.
12．##
【分析】利用函数的单调性，可得，恒成立，即恒成立，构造函数，不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，然后设，求出的最大值，从而确定的最小值．
【详解】因为仅在时取等号，
故为R上的单调递增函数，
故由设实数，对任意的正实数，不等式恒成立，
可得，恒成立，
，即恒成立，
当时，，恒成立，
当时，
构造函数，恒成立，
当时，递增，则不等式恒成立等价于恒成立，
即恒成立，故需，
设，，
在，上递增，在，递减，
，故的最小值为 ，
故答案为：
【点睛】本题综合考查了函数的单调性的应用以及利用导数解决不等式恒成立问题，综合性强，要注意将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，解答的关键是要对不等式进行恰当的变式，进而构造函数，利用其导数判断单调性，从而求得最值.
13．
【分析】由题可知为偶函数，当时，去绝对值，讨论的取值范围，利用导数求解函数的最值
【详解】由题可知，函数为偶函数，时，，
当时，，在单调递增，此时；
当时，，即恒成立.
∴
故答案为：-1.
14．
【分析】根据题意，求得的表达式，并设为，利用导数求得的单调性和最值，分析即可得答案.
【详解】随机变量等可能的在，，中取值，故取每个值的概率均为，
于是，
设，，
则，
设，，则，故在上单调递增，结合，
于是当时，，从而，故在上单调递减，
当时，，从而，故在上单调递增，
故．即的最小值为.
故答案为：
15．
【分析】令，求出，再分和两种情况得到，利用导数求出函数的单调性，即可得到函数的最小值；
【详解】解：因为，令，即，所以，
所以当时，则，
令，则，即在上单调递增，
又，
所以，即在上单调递减；
当时，则，所以在上单调递增，
综上可得在上单调递减，在上单调递增，所以，
故答案为：
16．
【分析】令，过作，垂足为，由结合重要不等式得出，利用换元法结合导数得出四棱锥A－BCDE体积的最大值.
【详解】令
，
过作，垂足为，




令
令

在上单调递增，在上单调递减
，
故答案为：
17．
【分析】设则，可得，构造函数，，求值域即可.
【详解】设则
所以，，联立可得，
即对于有解，
令，则，
由可得：；由可得：，
所以在单调递减，在上单调递增，
，又，
所以，
所以值域为，
即可得的取值范围为，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于把问题转化为函数，，利用导数求函数的值域即得.
18．(1)证明见解析；
(2)

【分析】（1）利用切线放缩可得，且等号不同时成立，则结论可证；
（2）多次求导，利用导数与函数单调性的关系转化问题为，再由即可得解.
（1）当时，，定义域为，设，则，所以函数在单调递增，在上单调递减，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，，当且仅当时等号成立，所以，且等号不同时成立，所以；
（2）函数，，若存在极值点，则，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，由，不妨设，若，则；若，由可得，则，所以，即对恒成立，令，则，则，设，则，，令，，则，，令，则，令，则，当时，令，则，设，所以，所以，所以当时，，单调递增，，单调递增，，单调递增，，单调递减，，，符合题意；当时，，存在，单调递减，，，，单调递增，，，不符合题意；所以，由单调递增可得.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是通过多次求导，利用导数与函数单调性的关系转化不等关系.
19．(1)分类讨论，答案见解析.
(2)1

【分析】(1)求导，根据a的符号分类讨论导函数的符号即可；
(2)这个问题是求函数 在 区间的值域，并且由于n，m是整数，
的值域是（m，n）的子集，求n的最小值和m的最大值.
(1)
函数 的定义域为 ， ，
①当时，对任意的 ， ，
此时函数的减区间为，无增区间；
②当时，由 可得，由 可得，
此时函数的单调递增区间为，递减区间为；
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的单调递增区间为，递减区间为；
(2)
证明：当时，，
则 ，
令，其中，则 ，
所以函数在上单调递增，
因为，，所以存在唯一，
使得，即，可得，
当时， ，此时函数单调递增，
当时， ，此时函数单调递减，
所以，当时，
，
即，因为，，
综上所述，若，当时，，
即 ，所以的最小值为1；
综上，的最小值为1.
20．(1)当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；
(2)或

【分析】（1）直接求导，讨论和，求出对应单调区间即可；
（2）将题设转化为有一个零点，由知函数除0之外无其他零点，分，，和依次讨论函数的零点情况，即可求解.
(1)
易得，，当时，恒成立，在单调递增；
当时，令，解得，令，解得，则在单调递增，在单调递减；
综上：当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；
(2)
函数与的图象恰有一个交点，等价于有一个零点，，
显然，即函数除0之外无其他零点，，令，，
当时，，则，即在单调递减，
当时，当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，即除0之外无其他零点，符合题意；
当时，当时，，即在上单调递减，又，
则存在使，即在单增，单减，又，时，，
故在至少存在1个零点，不合题意；
当时，当时，由上知在单调递减，，则在单调递增，即，
当时，令，则，即单调递减，，即，
令，则，即单调递减，，即，
则，即除0之外无其他零点，符合题意；
当时，当时，由上知在单调递减，又，，，
则存在使，即在单增，单减，
又，时，，故在存在1个零点，不合题意；
综上：或.
【点睛】本题的关键点在于将题设转化为有一个零点，由知函数除0之外无其他零点，然后借助分类讨论分，，和依次分析函数的零点情况即可求解.
21．(1)证明见解析；
(2)

【分析】（1）方法1：证，即证，利用导数求得单调性，分别得到，即证；
方法2：令，易得在上单调递增，由零点的存在性定理可得存在唯一的，使得，
则结合基本不等式即可证明；
（2）构造，；则，时，在上为单调增函数，分别讨论，，即可.
(1)
的定义域为．
方法1：要证，即证．
记，，
由于，当时，，则在上为单调减函数，
当时，，则在上为单调增函数，所以．
又，令，得，
当时，，则在上为增函数，
当时，，则在上为减函数，
所以，得证．
方法2：，令，因为，
所以在区间上为单调增函数，
又，，所以存在唯一的，使得．
因为在区间上为单调减函数，在区间上为单调增函数，
且满足，，
所以
，得证．
(2)
令，则，；
则，时，在上为单调增函数
①当时，，且，
所以函数在区间上为单调减函数，在区间上为单调增函数，
即，符合题意．
②当时，，所以，
当时，，
所以，且，
所以存在唯一的，使得，
且在区间上为单调减函数，在区间上为单调增函数，
所以当时，，即不恒成立，不合题意．
③当时，，所以，
当时，，所以，
所以存在唯一的，使得，
且在区间上为单调减函数，在区间上为单调增函数，
所以当时，，即不恒成立，不合题意．
综上，．
【点睛】（1）证明单变量不等式时，构造两个函数，证明其中一个函数最小值大于另一个函数的最大值为重要的方法之一；也可以通过“隐零点”达到证明的目的．
（2）“切点型零点”问题往往通过先猜后证的方式简化思维量、运算量．
22．(1)；
(2)，事件是小概率事件；理由见解析.

【分析】（1）设比赛再继续进行局甲赢得全部奖金，进而可得甲赢的概率，即得；
（2）由题可得甲赢得全部奖金的概率，进而利用导函数可得，即得.
(1)
设比赛再继续进行局甲赢得全部奖金，则，2．
，，
故，
从而．
(2)
设比赛继续进行局甲赢得全部奖金，则，3．
，，
故，即，
则，
当时，，因此在上单调递增，从而，
所以，
故事件是小概率事件．
23．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）分，讨论，当时，求的最小值，根据可得；
（2）将问题转化为有两个零点，先利用导数研究两个零点的范围，然后由，，作商取对数得.若选①，令，构造函数，若选②，构造函数，根据极值点偏移问题的方法可证；若选③，构造函数，由单调性可证.
(1)
当时，，
当时，因为，所以此时不合题意；
当时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
要，只需，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，则由得，
所以，故实数b的取值范围为．
(2)
当时，，，
令，则，
因为函数有两个极值点，，所以有两个零点，
若，则，单调递增，不可能有两个零点，所以，
令得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
因为有两个零点，所以，则，
设，因为，，则，
因为，所以，，
则，取对数得，
令，，则，即
①令，则，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
令，
则，在上单调递减，
因为，所以，即，
亦即，
因为，，在上单调递增，所以，
则，整理得，
所以，故①成立
②令，则，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
令，则，在上单调递增，
又，所以当时，，即，
因为，，在上单调递增，所以，
所以，即，
所以，
即，故②成立．
③令，，则，
令，则，
∴在上单调递增，则，
∴，则，
两边约去后化简整理得，即，
故③成立．
【点睛】双变量的不等式证明问题，主要通过换元构造函数，利用单调性证明即可.本题属极值点偏移问题，关键在于构造适当的对称函数.
24．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据零点存在性定理进行判定；
（2）根据题意，求出切线，然后转化所给不等式逐步分析求证.
（1）

当时，单调递减；当时，单调递增，

要使有两个零点，首先必有
当时，注意到
在和上各有一个零点，符合题意
综上：取值范围为
（2）
证明：，设与切于

要证：证：
即证：，即证：
令证明：
构造在上
，证毕！
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
25．(1)极大值为，无极小值
(2)

【分析】（1）求得，利用导数求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解；
（2）令，求得，转化为，
设，求得，得出函数的单调性与最值，结合零点的存在定理得到存在唯一，使得，进而求得的值.
(1)
解：由题意，函数，可得，令，可得，


1



0


递增
极大值
递减

所以函数的极大值为，无极小值．
(2)
解：令，
可得，
因为对任意实数，恒成立，即，
设，，可得，
若时，；
若，令，可得
当时，，单调递减；
当，，单调递增，
所以，所以，
两边取指数得到，
因为当时，，
所以在递减，
又由，
由零点存在定理知，存在唯一，使得，
x

1



0
-

递增
极大值
递减

所以，因为，则，所以．
【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
26．(1)1
(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数判断出函数的单调性，即可求出其最小值；
（2）利用（1）中的结论可知，，再根据所证不等式中的项的形式对赋值，可得，，即可累加求和证出．
(1)
因为
令且当时，递减；当时，递增，
(2)
由（1）知当时，（当且仅当时取“”）
令



，即原不等式成立．
27．(1);
(2)2

【分析】（1）求出当时，只需要；（2）先根据切线的条件求出参数，在类似（1）中用恒成立的方式来处理.
(1)
由，当时，得．
当时，，所以，即在上单调递增，所以，由恒成立，
得，所以，即b的范围是．
(2)
由得，且．
由题意得，所以，
又在切线上．
所以，所以，即．
因为，所以有．
令，则等价于，即，从而．
设，则．
易知在上单调递增，且．
所以，由函数零点存在性定理知，存在唯一的使得，
即，则．
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
从而．
而在上是减函数，所以．
因此的最小值．
从而整数m的最大值是2．
28．(1)
(2)；证明见解析

【分析】（1）由题意可得当时恒成立，则，利用导数运算处理；（2）函数在上单调递增，通过作差判断的大小关系，借助导数判断大小．
(1)
则
由题意可得当时恒成立
构建，则当时恒成立
∴在上单调递增，当时恒成立
则即
(2)
构建，则
∵且在区间连续
则在区间上存在极值点
即存在正实数，使得，
即

设，，当时恒成立
则函数在上单调递增，则，
即，则，
由（1）可知函数在上单调递增，
则，即．
【点睛】整理得到，观察构建．
29．(1)①，②
(2)证明见解析

【分析】（1）①由题意可知两道生产工序互不影响，利用对立事件可求；②依题意可利用条件概率公式求抽检的一个芯片是合格品的概率；
（2）依题意可知，求导后利用导数研究的单调性，即可证明结论成立.
（1）
①因为两道生产工序互不影响，
法一：所以．
法二：所以．
答：该款芯片的次品率为；
②记该款芯片自动智能检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，
且．
则人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率：．
答：人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率为；
（2）
因为各个芯片的生产互不影响，所以，
所．
令，得，
所以当时，为单调增函数；
当时，为单调减函数，
所以，当时，取得最大值．
30．(1)
(2)

【分析】（1）求出，由函数在上单调递增，转化为在上恒成立.令，利用导数判断出在上单调递增，求出，即可求出的取值范围；
(2)先判断出时有两个极值点，且.得到.令，则，得到，.令利用二次求导判断出在上递增.求出，得到的取值范围是.
(1)
因为，所以，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
故令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，故，
所以，即的取值范围是.
(2)
.
对函数，设上一点为，
过点的切线方程为，
将代入上式得，
所以过的的切线方程为
所以，要使与有两个交点，则.
此时有两个极值点，且.
，
令，则，所以，
所以，即，所以，
令，令，
所以在上递增.
因为，所以在上恒成立.所以在上恒成立.
所以在上递增.
又，
所以当时，，
所以的取值范围是.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
31．(1)
(2)证明过程见解析.

【分析】（1）求定义域，求导，对a分类讨论，结合单调性及最小值，列出不等关系，求出实数a的取值范围；（2）先进行简单放缩，构造函数，进行证明.
(1)
的定义域为，，当时，恒成立，故在上单调递增，故函数在定义域上不可能有两个零点；
当时，令得：，令得：，故在单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，也是最小值，，要想函数在定义域上有两个零点，则，解得：，又，当时，，由零点存在性定理可知：在与范围内各有一个零点，综上：实数a的取值范围是.
(2)
证明：当时，即证，（）
由于，故，只需证，令，则，因为，所以，令得：，令得：，所以在处取得极大值，也是最大值，，故在上恒成立，结论得证.
【点睛】导函数证明不等式，常常需要对不等式进行变形放缩，常见放缩有三角函数有界性放缩，切线放缩，如，，等.
32．(1)增区间为和，减区间为
(2)时，有一个零点；时，有两个零点；时，有三个零点

【分析】（1）当时，当时，，求得，结合导数的符号，求得函数的单调性；当时，求得，得出函数的单调性；
（2）①当时，求得在上为增函数，结合零点的存在定理，得到在上有一个零点；当当时，利用导数求得函数的单调性和最小值，分类讨论，即可求解.
(1)
解：当函数的定义域为．
当时，，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在上为减函数，在上为增函数；
当时，，则，
所以在上为增函数．
综上可得，函数的增区间为和，减区间为．
(2)
解：①当时，，可知在上为增函数，
又因为，，
所以在上有一个零点，此时在上有一个零点．
②当时，，则，
若，则，所以在上为增函数，
于是，此时在上没有零点．
若，则；，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以．
（ⅰ）若，则，此时在上没有零点．
（ⅱ）若，则，此时在上有一个零点．
（ⅲ）若，则，又因为，
所以在上有一个零点；
由，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，所以（当且仅当时取等号），
则，
所以在上有一个零点．此时在上有两个零点．
综上可得，当时，有一个零点；当时，有两个零点；
当时，有三个零点．
33．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.

【分析】(1)求出函数的导函数，再讨论或即可作答.
(2)由(1)求出，把所证不等式分成两部分分别作等价变形，构造函数，利用导数探讨函数的单调性推理作答.
(1)
函数的定义域为，求导得：，
当时，恒成立，则在上单调递增，
当时，的解集为，的解集为，
即的单调增区间为，单调减区间为，
所以，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)
因为，由(1)知，，且，解得，
设，则，要证，即证，即证，
即证，设，
则，即在上单调递减，有，
即，则成立，因此成立，
要证，即证，即证，即证，即证，
而，即证，
令，则，
设，求导得，即在上单调递增，
则有，即，在上单调递减，而，当时，
，则当时，成立，故有成立，
所以，.
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式造价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.
34．（1）证明见解析；（2）；（3）1.
【分析】（1）由条件转化为证明，即证明，构造函数，利用导数证明恒成立；（2）不等式转化为，根据（1）可知时，不等式成立，当时，不成立，即不等式不恒成立，即可得结论；（3）先求，再设函数，利用导数，判断函数的单调性，求函数的最小值.
【详解】（1）∵，∴证明即证明即证明.
设，∴，   
∴时，单调递增；时，单调递减.
∴，
∴即成立.   
（2）时，即，
由（1）知，当时，成立，   
当时，显然时不成立，
综上，.
（3）.
设，，
∴在上单调递增，
∵，，
∴存在使，且时即，递减；
时即，递增，
∴，
∵，∴，∴，
∴，
∵在是单调递增，
∴，
∴，   
∴.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式，以及求函数的最小值，本题的关键是第三问再求得函数的最小值是，利用求得.
35．（1），；（2）①233280；②（人）；（人）；必要性见解析．
【分析】（1）设事件：被病毒感染的人群，随机变量的取值为：0，1，2，…，．得到事件服从二项分布，即可求解．
（2）①根据题意，第天新增加人数的数学期望，即可求解的值．
②求得，利用导数求得函数的单调性和最值，进而得到，，分别求得和的人数，即可得到结论．
【详解】（1）根据题意，因为任何一个与患者密切接触的关联者，被感染（患病）的概率均为，
又每天有位密切关联者与一患者接触，设事件：被病毒感染的人群，
随机变量的取值为：0，1，2，…，．显然事件服从二项分布，
即，显然．
（2）①根据题意，最初患者自己被感染，即第1天人数为1，
第2天被感染人数增至为：；
第3天被感染人数增至为：，…，
显然第天被感染人数增至为：，第天被感染人数增至为：，
于是根据题意中均值定义，第天新增加人数的数学期望，
即，于是．
②根据题意函数，求导得：，
当且仅当时，，此时单调递增；当时，，
即单调递减，于是．
此时，，
于是（人），
（人）．
经过计算得知，戴口罩情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为16人，
而不戴口罩的情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为6480人，
即远大于，于是戴口罩是非常必要的．
【点睛】本题以新冠疫情重大突发事件为背景命题，以病毒人传人大事件的预防建立数学模型来考查概率的相关概念、事件的划分、离散型随机变量的期望等概念的应用，同时考查了理性思维、抽象思维及逻辑推理、运算求解能力、读题理解能力、计算能力．