江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-正弦定理解三角形

这是一份江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-正弦定理解三角形，共46页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。
江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-正弦定理解三角形

一、单选题
1．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，且，则（       ）
A． B． C． D．

二、多选题
2．（2022·江苏省滨海中学模拟预测）已知圆，点P在圆上且在第一象限内，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，面积为，有以下四个命题中正确的是（       ）
A．的最大值为
B．当，时，不可能是直角三角形
C．当，，时，的周长为
D．当，，时，若为的内心，则的面积为

三、填空题
4．（2022·江苏南京·模拟预测）平面向量，，满足，，，则______．
5．（2022·江苏南京·二模）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题《数书九章》中记录了秦九解的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边长，现有满足且，则的外接圆的半径为_________．

四、解答题
6．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）在①，②AC边上的高为，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答.
问题：记ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，______.
(1)求c的值；
(2)若点是边上一点，且，求AD的长.
7．（2022·江苏·华罗庚中学三模）在 中，已知.
(1)求的值；
(2)若是的角平分线，求的长．
8．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足.
(1)求角；
(2)角的内角平分线交于点，若，，求.
9．（2022·江苏南京·模拟预测）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个填入横线上并解答．
在锐角三角形中，已知角，，的对边分别为，，c，．
(1)求角；
(2)若的面积为，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
10．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请在①；②；③．这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：
(1)求；
(2)若，，延长到D，使，求线段的长度．
11．（2022·江苏南通·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
(1)求cosB；
(2)若b＝3，a＞c，△ABC的面积为，求a．
12．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）在①且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
问题：在中，角的对边分别为，且__________．
(1)求；
(2)若为边的中点，且，求中线长．
13．（2022·江苏扬州·模拟预测）在①；②；③这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中.
问题：在中，内角的对边分别为，_________，，点是线段上一点.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求的面积.
14．（2022·江苏常州·模拟预测）在中，，点D是边上一点，且满足：．
(1)证明：为等腰三角形；
(2)若，求的余弦值．
15．（2022·江苏连云港·模拟预测）在平面四边形中，对角线平分，，，，，且．
(1)求；
(2)求△的面积．
16．（2022·江苏连云港·模拟预测）在△中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且，．
(1)证明：；
(2)从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知，求△的面积．
条件①：△的中线；
条件②：△的角平分线．
17．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
(1)若，求A；
(2)若的面积，求c．
18．（2022·江苏江苏·三模）在中，内角A，，所对的边分别为，，，.从条件①､②中找出能使得唯一确定的条件，并求边上的高.
条件①，；条件②，.
19．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）在中，内角的对边分别为，，点在边上，满足，且．
(1)求证：；
(2)求．
20．（2022·江苏·海安高级中学二模）在平面凸四边形ABCD中，已知，求sinA及AD．
21．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若M是BC的中点，且，求△的面积.
22．（2022·江苏泰州·模拟预测）在①a＝2b；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，， ？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
23．（2022·江苏南通·模拟预测）已知中，角的对边分别为，且，
(1)求；
(2)求的面积.
24．（2022·江苏连云港·二模）在平面四边形中，，，，.
(1)求的面积；
(2)求的长.
25．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）如图，在四边形中，.

(1)求；
(2)若，求四边形的面积.
26．（2022·江苏江苏·二模）在平面四边形中，已知，，平分.
(1)若，，求四边形的面积；
(2)若，求的值.
27．（2022·江苏江苏·二模）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，sinA＝2sinB.
(1)若，求C；
(2)点D在边AB上，且AD＝c，证明：CD平分∠ACB.
28．（2022·江苏·扬州中学模拟预测）如图，在直角中，角C为直角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.

(1)求角B的大小；
(2)若，D点为AB边上一点，且，求.
29．（2022·江苏·金陵中学二模）已知四边形，A，B，C，D四点共圆，，，．
(1)若，求的长；
(2)求四边形周长的最大值．
30．（2022·江苏南通·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，．
(1)求角B的大小；
(2)若的面积，设D是BC的中点，求的值．
31．（2022·江苏省赣榆高级中学模拟预测）在平面四边形中，，，，.
(1)若，求；
(2)若，求的面积.
32．（2022·江苏·南京市第五高级中学一模）如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．

(1)求角C：
(2)若，，延长CB至M，使得，求BM．
33．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，且满足①；②；③．
(1)从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；
(2)若为线段上一点，且，，求的面积．
34．（2022·江苏·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D是边AB上一点，.
(1)若CD平分，求a；
(2)若，，求c.
35．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）现有下列三个条件：
①函数的最小正周期为；
②函数的图象可以由的图象平移得到；
③函数的图象相邻两条对称轴之问的距离.
从中任选一个条件补充在下面的问题中，并作出正确解答.
已知向量，，，函数.且满足_________.
（1）求的表达式，并求方程在闭区间上的解；
（2）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，求的值.
36．（2022·江苏省滨海中学模拟预测）在中，，和的平分线交于点.
（1）若，求的值；
（2）若，求的大小.

五、双空题
37．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点”.在中，，以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，，则___________；若的面积为，则三角形中的最大值为___________.


参考答案：
1．B
【分析】利用余弦定理和正弦定理，以及倍角公式，直接计算即可求解
【详解】因为，所以，即，所以，所以或.若则.这与题设不合，故，又，所以，即.
故选：B
2．ABC
【分析】设，则，利用两点间的距离公式可判断A；利用直线与圆相切可判断B；利用正弦定理结合三角函数的单调性可判断C；利用排除法即可得到答案；
【详解】设，则，
对A，，故A正确；
对B，当与圆相切时，达到最大值为，所以，故B正确；
对C，因为，因为，所以当为直角或钝角时，显然有；当为锐角时，若，则有可得，所以假设成立，故C正确；
显然D就错误；
故选：ABC.
【点睛】本题考查两点间的距离公式、正弦定理解三角形，求解时要注意结合三角函数的单调性进行求解判断.
3．ACD
【解析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A；
利用勾股定理的逆定理即可判断选项B；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C；
由已知条件可得是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得的面积即可判断选项D.
【详解】对于选项A：

（当且仅当时取等号）.
令，，故，
因为，且，
故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：

目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，
数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值，
故可得，
又，故可得，
当且仅当，，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A正确；
对于选项B：因为，所以由正弦定理得，若是直角三角形的斜边，则有，即，得，故选项B错误；
对于选项C，由，可得，由得，
由正弦定理得，，即，
所以，化简得，
因为，所以化简得，
因为，所以，所以，则，
所以，所以，，，
因为，所以，，
所以的周长为，故选项C正确；
对于选项D，由C可知，为直角三角形，且，，，，，所以的内切圆半径为，
所以的面积为
所以选项D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A利用面积公式和余弦定理，结合不等式得，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.
4．##
【分析】数形结合，利用题干条件及正余弦定理求出答案.
【详解】可变形为，即，如图，两圆为半径为1的圆，则，从而，设，，，解得：，所以，
在△AOC中，由余弦定理得：，在三角形BAC中，，从而，即，
因为，所以，所以，，在△OBC中，由正弦定理得：，即，
在三角形OAB中，由正弦定理得：，即，，从而，化简得：，解得：，所以，解得：或（舍去），故.

故答案为：
【点睛】向量相关的压轴题，往往需要数形结合进行求解，作出图象，结合题干条件及解三角形的相关定理进行求解.
5．.
【解析】由正弦定理得到三条边长的比，利用所给面积公式得到边长，再结合面积公式和正弦定理可得答案.
【详解】由已知和正弦定理得：，
设，
由，
解得，所以，设的外接圆的半径为，
由，解得，
由正弦定理得，所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了正弦定理、面积公式解三角形，关键点是利用所给面积公式求出三角形边长，考查了学生的基础知识及阅读能力.
6．(1)
(2)2

【分析】（1）选条件①：，利用余弦定理求解；选条件②：AC边上的高为，利用三角形的面积公式求解；选条件③：，利用正弦定理求解.
（2）根据，得到，求得相应正弦值，再利用正弦定理求解；
(1)
解：选条件①：，
由余弦定理，则，
解得，则；
选条件②：AC边上的高为，
由三角形的面积公式，
解得，.                                                  
选条件③：，
由题意可知，所以，                         
因为，
，
，
由正弦定理得，即，
解得，.
(2)
选条件①：
因为，所以，
，
，
则，
由正弦定理，；
选条件②；
因为，所以，
，
，
则，
由正弦定理，；
选条件③：
，
由正弦定理，.
7．(1)
(2)

【分析】（1）先利用余弦定理求出边的长，再利用正弦定理求出 （2）利用三角形的面积公式及面积关系，建立关于边的关系式求解即可得到答案
(1)
在中，由余弦定理
整理得
解得或
由于，所以
因为，所以，所以
由正弦定理得：，故
(2)
设，
由及三角形的面积公式可得：

整理得
在中，由余弦定理
由得
则
8．(1)；
(2)

【分析】（1）先由正弦定理及切化弦得，结合角的范围，即可求解；
（2）先由结合面积公式求得，再由余弦定理求得的值，再由正弦定理求出即可.
(1)
由正弦定理及切化弦可得，
又，则，即，又，则；
(2)

，又，，
可得，又由余弦定理得，解得（负值舍去），则，
可得或，又，显然当或12时，的值相同，不妨设，则，
由正弦定理得，可得，又，可得.
9．(1)
(2)

【分析】(1)选①：根据平面共线向量的坐标表示和正弦定理可得，结合余弦定理即可求出C；选②：根据正弦定理和两角和的正弦公式化简计算可得，结合特殊角的正切值即可求出C；
(2)由三角形的面积公式可得，法一：利用余弦定理解得；法二：由正弦定理可得，进而利用导数求出函数的值域即可.
(1)
选择①：
因为，所以，
由正弦定理得，，
即，即，即，
即．因为，
又为锐角，所以．
选择②：
因为，
由正弦定理得，，
即．
又，
所以．
因为，所以，
又为锐角，所以，．
(2)
因为，
所以，则．
(法一)由余弦定理得，．①
因为为锐角三角形，所以即
将①代入上式可得即解得．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
即，即的取值范围为．
(法二)由正弦定理得，
又，所以．
因为为锐角三角形，所以解得
因为，所以，，
即，解得．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
即，即的取值范围为．
10．(1)
(2)5

【分析】（1）若选①，由正弦定理将已知式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等换公式化简可求出角，若选②，由正弦定理将已知式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等换公式化简可求出角，若选③，对已知式子利用余弦定理和三角形的面积公式化简可求出角，
（2）在中，由余弦定理可求得，再利用正弦定理得的值，然后分别在利用正弦定理和余弦定理求解即可
(1)
若选①，因为，
所以由正弦定理得,
因为，所以,
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以，
若选②，因为，
所以由正弦定理得,
所以，
因为，所以，
因为，所以，
若选③，因为，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
(2)
在中，由余弦定理得，
，化简得，
解得或（舍去），
由正弦定理得，
所以，所以，
所以，
因为，，
所以 ，
在中，由正弦定理得,
所以，得，
在中，由余弦定理得
，
所以，
化简得,
解得或（舍去）
所以线段的长度为5
11．(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理得，再利用可得答案；
（1）利用可得由余弦定理得，再由a，c可看作一元二次方程的两不等实根可得答案.
(1)
因为，由正弦定理得
，
因为，
所以，
所以，可得.
(2)
，∵，可得
在△ABC中，由余弦定理得，∴，
，，∴a，c可看作一元二次方程的两不等实根，
∵∴.
12．(1)
(2)

【分析】（1）若选①：利用余弦定理和二倍角公式得到，求出；若选②：利用正弦定理和夹角公式，求出；若选③：由正弦定理和余弦定理求出．
（2）利用余弦定理求出，利用数量积的运算即可求出长为．
(1)
若选①：，且，
所以，所以．
又，所以，所以，所以．
若选②：由正弦定理得，因为，
所以，即．
由，所以，所以．
若选③：由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
又，所以．
(2)
在中，由余弦定理得，所以，
又，
所以，所以中线长为．
13．(1)1
(2)

【分析】（1）若选①，则可得，然后利用余弦定理可求出角，然后在和分别利用正弦定理，两式相比可求得结果，若选②，则由已知条件结合正弦定理可求得，再求出，再利用三角函数恒等变换公式可求出，角，然后在和分别利用正弦定理，两式相比可求得结果，若选③，可得，结合余弦定理化简得，由已知条件可得，然后利用余弦定理可求出角，然后在和分别利用正弦定理，两式相比可求得结果，
（2）由已知可得，两边平方化简可得，再结合，可求出的值，从而可求出三角形的面积
(1)
若选①，，
，
∵，，
∵，所以，
在中，由正弦定理得，，即①
在中，由正弦定理得，，即②，
因为，所以，
所以.
若选②
由，而
，
∵，，
∵，所以，
在中，由正弦定理得，，即①
在中，由正弦定理得，，即②，
因为，所以，
所以.
若选③，
由，
∴，化简得，
∵，∴
，
∵，，
∵，所以，
在中，由正弦定理得，，即①
在中，由正弦定理得，，即②，
因为，所以，
所以.

(2)
∵，
∴，
∴，
∴，
，而
.
14．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由正弦定理及三角公式得到，得到，即可证明为等腰三角形；
（2）先求出，得到．在中，由正弦定理即可求出．
(1)
在中，，即，则，
由正弦定理，得，，
化简得．
因为，所以，所以，
则.
又因为在上单调递减，所以，
所以为等腰三角形．
(2)
由，得，即，
所以，有．
所以．
由（1）得，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以．
15．(1)
(2)2

【分析】（1）题意设，，则，由余弦定理得，由正弦定理得，联立方程即可求出；
（2）由余弦定理求得，再由面积公式即可求出△的面积.
(1)
由题意设，，则，
在中，由余弦定理得，
即①                         
在中，由正弦定理得，
即②                              
①②平方相加得或（舍），
故．
(2)
在中，由余弦定理得，
即，                           
所以或（舍），                                
故．
16．(1)证明见解析
(2)条件① ，条件②

【分析】（1）利用余弦定理计算即可；
（2）分别选择条件①②，利用余弦定理和正弦定理分析计算即可.
(1)
因为，由余弦定理可得：，
又，设，
则，解得或（舍），
故；
(2)
由，可得，又，故，
选①：△的中线，
在△中
解得或（舍），故．又 ，   
则；
选②：

在△中，由正弦定理得，
在△中，由正弦定理得．
又，，得，
由，得，                                   
在△中，
解得，又，                                     
所以；
综上，条件① ，条件②.
17．(1)
(2)或

【分析】（1）根据求出，再根据正弦定理求出可得结果；
（2）根据三角形面积公式和余弦定理可求出结果.
(1)
因为，则，
由正弦定理，得，即，即，
因为，所以，因此；
(2)
由，得，
．
当时，由余弦定理，得；
当时，由余弦定理，得．
所以，或．
18．答案见解析
【分析】利用正弦定理化边为角，结合三角形的内角关系及两角和的正弦公式求得，条件①，由求出角，即可判断三角形的解是否唯一，条件②，由正弦定理求出，然后求出，从而可得出答案.
【详解】解：因为，由正弦定理得，
又，所以，
又，所以，
则，
选①，因为，所以或，
则有两个解，不符题意；
选②，因为，所以，
又，故是唯一的，
，
所以，
所以.

19．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）分别在和中利用正弦定理表示出，，代入已知等式化简整理即可得到结果；
（2）根据，在和利用余弦定理可整理得到；在中，利用余弦定理可得，进而得到，代入中即可求得结果.
(1)

，，；
在中，由正弦定理得：；
在中，由正弦定理得：；
又，
，
即，.
(2)
在中，由余弦定理得：；
在中，由余弦定理得：；
，，
即，整理可得：；
在中，由余弦定理得：，
则，，，即；
.
20．，
【分析】在中，由余弦定理求得BD,从而求得，可得，再解，求得，即可求得答案.
【详解】连接，在中，由余弦定理，得
，
且,

又有，故,
在中，由正弦定理，得,
因为，所以，所以,
因为，所以,
故
，
在中，由正弦定理，得．
21．
【分析】由余弦定理及勾股定理易知△为等腰直角三角形，结合已知，在△中应用正弦定理求得，进而可得，最后由三角形面积公式求面积即可.
【详解】由题设，，故，

所以△为等腰直角三角形，而，
在△中，，则，可得，
所以，且M是BC的中点，则.
22．存在，面积为.
【分析】若选①，由正弦定理得，结合，求出角，进而求得三角形存在，再按照面积公式求面积即可；
若选②，先由余弦定理得到，再借助正弦定理化简得到，求出角，进而求得三角形存在，再按照面积公式求面积即可；
若选③，由可得，化简得，求出角，进而求得三角形存在，再按照面积公式求面积即可.
【详解】若选①，由正弦定理得，又，故，即，化简得，即，
又，故，，，这样的三角形存在.又，，解得，
故该三角形的面积为；
若选②，由，又余弦定理可得，故，化简得，由正弦定理可得，又，故，即，又，故，又，解得，
这样的三角形存在.又，，解得，故该三角形的面积为；
若选③，由得，，由可得，又，故，整理得，又，故，故，，，这样的三角形存在.
又，，解得，故该三角形的面积为.
23．(1)
(2)

【分析】（1）根据题意化简得到，利用余弦定理得到，求得，即可求解；
（2）由两角和正弦函数，求得，再由正弦定理求得，结合面积公式，即可求解.
(1)
解：因为，
所以，可得，
又由余弦定理得，所以，解得，
因为，所以.
(2)
解：由，
在中，由正弦定理，可得，所以，
所以的面积.
24．(1)
(2)

【分析】（1）在中，利用余弦定理可得边进而可得面积；
（2）由四边形内角和可得角与互余，再结合正弦定理可得边的长.
(1)

由已知在中，，，，
利用余弦定理得，
即，
解得，
故；
(2)
在中，由正弦定理得，
即，
同理，在中，由正弦定理得，
即，
又四边形内角和为，且，，
故，
即，
又，
即，
即，
解得.
25．(1)；
(2).

【分析】（1）利用诱导公式和二倍角公式得到，再判断出，即可求出；
（2）由余弦定理求出.由正弦定理得到，从而求出，得到 和，进而求出四边形ABCD的面积.
(1)
因为,所以，
所以可化为，
由二倍角公式可得：
因为BD