江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-利用导数研究不等式恒成立问题

这是一份江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-利用导数研究不等式恒成立问题，共50页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-利用导数研究不等式恒成立问题

一、单选题
1．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知为正整数，若对任意，不等式成立，则的最大值为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知，函数，当x＞1时，恒成立，则实数的最小值为（       ）
A． B． C． D．1
3．（2022·江苏江苏·三模）已知叫做双曲余弦函数，叫做双曲正弦函数.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数，若关于x的不等式对任意恒成立，则实数k的取值范围(       )
A． B． C． D．
5．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．

二、多选题
6．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知函数，，，则下列结论正确的是（       ）
A．在上单调递增
B．当时，方程有且只有2个不同实根
C．的值域为
D．若对于任意的，都有成立，则
7．（2022·江苏南京·二模）已知函数，，则（       ）
A．函数在上无极值点
B．函数在上存在唯一极值点
C．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为
D．若，则的最大值为
8．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数，则（       ）
A．函数（x）的图象关于直线对称
B．函数（x）在区间（0，π）上单调递减
C．函数在区间（0，π）上恒成立
D．
9．（2022·江苏苏州·模拟预测）对于函数，下列说法正确的有（       ）
A．在处取得极大值
B．只有一个零点
C．
D．若在上恒成立，则

三、填空题
10．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）设函数，设的最小值为M，若至少有一个零点，且命题成立，则的取值范围是__________．
11．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知.设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为___________.

四、解答题
12．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知函数，其中m＞0，f '(x)为f(x)的导函数，设，且恒成立．
(1)求m的取值范围；
(2)设函数f(x)的零点为x0，函数f '(x)的极小值点为x1，求证：x0＞x1．
13．（2022·江苏·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若不等式恒成立，求a的取值范围.
14．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数．
(1)求证：；
(2)若恒成立，求实数．
15．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数，函数的导函数为．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个零点，且不等式恒成立，求实数m的取值范围．
16．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知函数，是函数的导函数，且在上单调递增，e是自然对数的底数．
(1)当时，求f(x)图像在处的切线方程：
(2)若函数对任意的恒成立，求实数的取值范围．
17．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知，函数．
(1)讨论的导函数零点的个数；
(2)若，求的取值范围．
18．（2022·江苏常州·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的极值，
(2)对任意实数，恒成立，求正实数a的取值范围．
19．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）设函数．
(1)当时，恒成立，求b的范围；
(2)若在处的切线为，且，求整数m的最大值．
20．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）已知函数．
(1)若函数在上是单调递增，求实数的取值范围；
(2)若对于任意，存在正实数，使得，试判断与的大小关系，并给出证明．
21．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知函数．
(1)当时，判断的零点个数；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
22．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）设函数．
(1)当时，恒成立，求k的最大值；
(2)设数列的通项，证明：．
23．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知函数．
(1)判断函数在上的单调性，并说明理由；
(2)对任意的，，求实数的取值范围．
24．（2022·江苏连云港·二模）已知函数.
(1)判断函数的单调性；
(2)设，当时，，求实数的取值范围.
25．（2022·江苏江苏·一模）已知实数，函数，是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)求证：存在极值点，并求的最小值.
26．（2022·江苏江苏·二模）已知函数.
(1)当a=-1时，求曲线y=在点处的切线方程；
(2)若>a，求实数a的取值范围.
27．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数
(1)讨论函数在（，）上极值点的个数；
(2)当时，.其中为的导函数，求实数m的取值范围.
28．（2022·江苏·金陵中学二模）已知函数．
(1)若，求在上的单调性；
(2)试确定的所有可能取值，使得存在，对，恒有．
29．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知函数
(1)求函数单调区间；
(2)若时，函数恒成立，求实数的取值范围．
30．（2022·江苏省赣榆高级中学模拟预测）已知函数，.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，，求.
31．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知函数(a∈R)．
(1)若是单调增函数，求a的取值范围；
(2)若，是函数的两个不同的零点，求证：．
32．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知，函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上存在两个不同的极值点.
①求的取值范围；
②若当时恒有成立，求实数的取值范围.
（参考数据：，）
33．（2022·江苏南京·二模）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.
34．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知，函数，．
（1）当为何值时，直线是曲线的切线；
（2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的取值集合；若不存在，请说明理由．
35．（2022·江苏·南京市第五高级中学一模）已知函数(mR)的导函数为．
（1）若函数存在极值，求m的取值范围；
（2）设函数（其中e为自然对数的底数），对任意mR，若关于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整数k的取值集合．
36．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数．
（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；
（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．

参考答案：
1．B
【分析】含参讨论函数在上的单调性，求出其最大值，再利用函数的单调性以及最值，即可得到的最大值．
【详解】因为对恒成立，令，
当时，在上单调递减，时，，不满足题意；
当时，恒成立；
当时，，所以在上递增，在上递减，，设，，所以在上递减，在上递增，，而成立，成立，，．
故选：B.
2．D
【分析】将x＞1时，恒成立，转化为恒成立，令，用导数法求解.
【详解】解：因为x＞1时，恒成立，
所以 在x＞1时，恒成立，
即，在 x＞1时，恒成立，
令，
则，
又，
当时，即，
因为，，，不成立；
当时，即，
则
所以在上递增，
则，
所以在上递增，
所以，
解得，
实数的最小值为1，
故选：D
3．D
【分析】结合的单调性，由不等式化简得在上恒成立，结合导数求得的最大值，从而求得的取值范围.
【详解】在上递增，，
所以，.
依题意关于的不等式在上恒成立，
整理得在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
，
所以时，，时，，
所以在递减，递增，，
所以，所以.
故选：D
【点睛】求解含参数的不等式恒成立问题，可考虑通过变形，分离参数，然后通过构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.
4．C
【分析】观察分析可构造函数，根据g(x)的单调性和奇偶性将问题转化为即对恒成立.
【详解】设，
则，即，
由，解得，即g(x)定义域关于原点对称，
又，
故g(x)是定义在(－2，2)上的奇函数.
，
y＝在(－2，2)单调递增，y＝lnx在(0，﹢∞)单调递增，故g(x)在(－2，2)单调递增，
则变为，
∴原问题转化为：对恒成立，
则对恒成立，
即对恒成立.
令，
∵在上单调递减，
∴，∴；
令，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴当时，取最大值，∴，
∴，即实数的取值范围是.
故选：C.
5．B
【分析】先根据时判断出，再根据在处取最大值可求的值.
【详解】令，∵时，∴不合条件.
令，故恒成立，又，
∴要在处取最大值，故为在上的极大值点，
故，又，故
∴，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：对于不等式的恒成立问题，注意观察其等号成立的条件，从而把恒成立问题转化为函数的最值问题.
6．BD
【分析】对于A，利用导数判断函数单调性，进而做出函数图象，数形结合，即可判断；对于B,分和两种情况解方程，判断解的情况；对于C，结合函数图象即可判断；对于D，分和三种情况，构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.
【详解】对于A，当时， ；
当时，，此时递增，
故可作出函数的图象如图示：

由此可知，在上单调递增，故A错误；
对于B, 当时，，当时，，
令，解得 ，即此时有一解；
当时，，故是的一个解；
当时，令，，
即，即，此时无解；
故综合上述，当时，方程有且只有2个不同实根，B正确；
由函数的图象可知，其值域为R,故C错误；
对于D, 对于任意的，都有成立,
则当时，，即恒成立，
即，令，
当时，，当时，，
故，故；
当时，恒成立，
当时，，即恒成立，
令，注意到
当时，，不合题意；
当时，令， ，
当时，，
故，不符合题意
当时，，此时，
故递减，则，
即恒成立，
综合上述，可知当时，对于任意的，都有成立，
故D正确，
故选：BD
【点睛】本题综合考查了函数与方程的应用，涉及到利用导数判断函数的单调性和最值问题，综合性强，计算量大，解答的关键是能恰当的变式，构造函数，利用导数判断函数单调性，以及求解最值.
7．AD
【分析】A选项，二次求导，得到的单调性，得到答案；B选项，二次求导，得到在上单调递增，从而判断出无极值点；C选项，根据A选项得到的的单调性得到不等式，参变分离后，构造函数，求出其最大值得到答案；D选项，结合AB选项求出的函数单调性及同构，构造函数，进行求解.
【详解】对于A：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，故函数在上无极值点，故A正确；
对于B：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，则函数在上无极值点，故B错误；
对于C：由A得在上单调递增，不等式恒成立，则恒成立，故恒成立.设，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，故，故C错误；
对于D：若，则.由A，B可知函数在上单调递增，在上单调递增，∵，∴，，且，当时，，设，设，则，令，解得，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，此时，故的最大值为，故D正确.
故选：AD.
【点睛】构造函数，研究其单调性，极值，最值，从而证明出结论，或者求出参数的取值范围，经常考察，也是难点之一，要能结合函数特征，合理构造函数进行求解.
8．BC
【分析】验证可判断A；求导分析导函数正负，可判断B；令，求导分析单调性，可得，分析可判断C；由可判断D
【详解】选项A，，
故函数（x）的图象不关于直线对称，错误；
选项B，
令
故在单调递减，故
即，故在（0，π）上单调递减，正确；
选项C，，故
令
故在单调递减，故
即，正确；
选项D，由选项C，可得，故，错误
故选：BC
9．AB
【分析】对A，利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值即可判断；对B，利用函数的单调性和函数值的范围即可判断；对C，利用函数的单调性比较出函数值的大小关系即可判断；对D，利用不等式恒成立，参数分离法即可求解．
【详解】对于A，函数，，
令，即，解得，
当时，，故在上为单调递增函数，
当时，，故在上为单调递减函数，
在时取得极大值，故A正确；
对于B，在上为单调递增函数，，函数在上有唯一零点，
当时，恒成立，即函数在上没有零点，故有唯一零点，故B正确；
对于C，在上为单调递减函数，，，故C错误；
对与D，由在上恒成立，即在上恒成立，
设，则，令，解得：，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
当时，函数取得最大值，最大值为，，故D错误．
故选：AB
【点睛】方法点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数单调性和极值，研究不等式恒成立问题，要利用分离参数法处理恒成立问题，再转化为最值问题，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于中档题．
10．
【分析】根据题意转化为时，恒成立，结合与圆相切时，利用点到直线的距离公式和导数，求得的最小值为，即可求解.
【详解】由题意，函数，
因为的最小值为，即，即表示圆及其外部的部分，
又因为命题成立，即时，恒成立，
当直线与圆相切时，
可得
设，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为，
可得的最小值为，所以的最大值为，
所以的最小值为，所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
11．##
【分析】利用函数的单调性，可得，恒成立，即恒成立，构造函数，不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，然后设，求出的最大值，从而确定的最小值．
【详解】因为仅在时取等号，
故为R上的单调递增函数，
故由设实数，对任意的正实数，不等式恒成立，
可得，恒成立，
，即恒成立，
当时，，恒成立，
当时，
构造函数，恒成立，
当时，递增，则不等式恒成立等价于恒成立，
即恒成立，故需，
设，，
在，上递增，在，递减，
，故的最小值为 ，
故答案为：
【点睛】本题综合考查了函数的单调性的应用以及利用导数解决不等式恒成立问题，综合性强，要注意将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，解答的关键是要对不等式进行恰当的变式，进而构造函数，利用其导数判断单调性，从而求得最值.
12．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）求导可得解析式，即可得解析式，利用导数求得的单调区间和最小值，结合题意，即可得m的范围.
（2）求得解析式，令，利用导数可得的单调性，根据零点存在性定理，可得存在，使得t(x2)＝0，进而可得f '(x)在x＝x2处取得极小值，即x1＝x2，所以，令，分析可得s(x1)＜0，即可得证
(1)
由题设知，
则，
所以
当x＞1时，h'(x)＞0，则h(x)在区间(1，＋∞)是增函数，
当0＜x＜1时，h'(x)＜0，则h(x)在区间(0，1)是减函数，
所以h(x)min＝h（1）＝，解得，
所以m的取值范围为
(2)

令
则＝恒成立，
所以t(x)在(0，＋∞)单调递增．
又，
所以存在，使得t(x2)＝0，
当x∈(0，x2)时，t'(x)＜0，即f ''(x)＜0，则f '(x)在(0，x2)单调递减；
当x∈(x2，＋∞) 时，t'(x)＞0，即f ''(x)＞0，则f '(x)在(x2，＋∞)单调递增；
所以f '(x)在x＝x2处取得极小值．即x1＝x2，
所以t(x1)＝0，即，
所以，
令，则 s(x)在(0，＋∞)单调递增；
所以s(x1)＜0
因为f(x)的零点为x0，则，即s(x0)＝0
所以s(x1)＜s(x0)，所以x0＞x1
【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求函数单调区间，极（最）值的方法，并灵活应用，难点在于，需结合零点存在性定理，判断零点所在区间，再进行分析和求解，属中档题.
13．(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2).

【分析】（1）求出导函数，由得增区间，得减区间；
（2）由不等式变形为，构造函数，利用导数求得和，由，即得．
(1)
，
令，解得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.
(2)
恒成立，
即恒成立.
令，
即对恒成立.
由(1)知，当时有极小值也是最小值，，
由题可得，
令，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时有极大值也是最大值，.
若对恒成立，
则应满足，
只要，即，
所以，
所以若不等式恒成立，
则a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
14．(1)证明见解析；
(2)

【分析】（1）方法1：证，即证，利用导数求得单调性，分别得到，即证；
方法2：令，易得在上单调递增，由零点的存在性定理可得存在唯一的，使得，
则结合基本不等式即可证明；
（2）构造，；则，时，在上为单调增函数，分别讨论，，即可.
(1)
的定义域为．
方法1：要证，即证．
记，，
由于，当时，，则在上为单调减函数，
当时，，则在上为单调增函数，所以．
又，令，得，
当时，，则在上为增函数，
当时，，则在上为减函数，
所以，得证．
方法2：，令，因为，
所以在区间上为单调增函数，
又，，所以存在唯一的，使得．
因为在区间上为单调减函数，在区间上为单调增函数，
且满足，，
所以
，得证．
(2)
令，则，；
则，时，在上为单调增函数
①当时，，且，
所以函数在区间上为单调减函数，在区间上为单调增函数，
即，符合题意．
②当时，，所以，
当时，，
所以，且，
所以存在唯一的，使得，
且在区间上为单调减函数，在区间上为单调增函数，
所以当时，，即不恒成立，不合题意．
③当时，，所以，
当时，，所以，
所以存在唯一的，使得，
且在区间上为单调减函数，在区间上为单调增函数，
所以当时，，即不恒成立，不合题意．
综上，．
【点睛】（1）证明单变量不等式时，构造两个函数，证明其中一个函数最小值大于另一个函数的最大值为重要的方法之一；也可以通过“隐零点”达到证明的目的．
（2）“切点型零点”问题往往通过先猜后证的方式简化思维量、运算量．
15．(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）利用导函数并按实数a分类讨论去求函数的单调区间；
（2）把不等式恒成立转化为，构造新函数并求其最小值即可求得实数m的取值范围．
(1)
由得，函数的定义域为，
且，令，即，
①当，即时，恒成立，在单调递增；
②当，即时，令，
当时，，的解或，
故在上单调递增，在上单调递减；
当时，，同理在上单调递减，在上单调递增．
(2)
由（1）可得，若有两个零点，则，且，
因为，所以，
由不等式，恒成立得，只需，
又
，
设，则，
由可得，，即在单调递减，所以，
所以．
16．(1)
(2)

【分析】对于小问1：求出切点坐标与在切点处的导数值，即可求得切线方程；
对于小问2：首先根据题干中在上单调递增这个条件，把进行参变分离，然后构造函数即可得到的一个范围；对于对任意的恒成立这个条件，再把进行参变分离，然后构造函数即可得到的另一个范围，两个范围共同确定出实数的取值范围.
(1)
因为，所以，
，即切点为，，
所以切线方程为，即.
(2)
因为，所以，.
令，因为在上单调递增，
则对恒成立，即对恒成立．
令，因为，所以时，最大值为，
所以.
因为在上单调递增，由，
所以时，，
所以在上单调递增，又
所以，所以
因为函数对任意的恒成立．
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
令，则.
所以在上单调递增，所以，
所以，综上.
【点睛】本题考查了通过函数恒成立，进行参变分离的解题方法，需要注意本题需要分离两次，要考虑全面.
17．(1)当时， 的零点个数为0；当时， 的零点个数为1；
(2).

【分析】（1）求导再对分三种情况讨论得解；
（2）先证明满足题意；再讨论时，，综合即得解.
(1)
解：令．
若，则，所以的零点个数为0；
若，所以在上单调递增，
又，所以的零点个数为1；
若，所以在上单调递增，
又，所以的零点个数为1．
综上得，当时， 的零点个数为0；当时， 的零点个数为1.
(2)
解：由（1）知：
若，故在上单调递增，
所以，所以满足题意；
若，存在唯，使得，
且当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以，
化简得，又，
所以，
设，
所以在上单调递减，所以，
解得．
综上所述，的取值范围为．
18．(1)极大值为，无极小值
(2)

【分析】（1）求得，利用导数求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解；
（2）令，求得，转化为，
设，求得，得出函数的单调性与最值，结合零点的存在定理得到存在唯一，使得，进而求得的值.
(1)
解：由题意，函数，可得，令，可得，


1



0


递增
极大值
递减

所以函数的极大值为，无极小值．
(2)
解：令，
可得，
因为对任意实数，恒成立，即，
设，，可得，
若时，；
若，令，可得
当时，，单调递减；
当，，单调递增，
所以，所以，
两边取指数得到，
因为当时，，
所以在递减，
又由，
由零点存在定理知，存在唯一，使得，
x

1



0
-

递增
极大值
递减

所以，因为，则，所以．
【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
19．(1);
(2)2

【分析】（1）求出当时，只需要；（2）先根据切线的条件求出参数，在类似（1）中用恒成立的方式来处理.
(1)
由，当时，得．
当时，，所以，即在上单调递增，所以，由恒成立，
得，所以，即b的范围是．
(2)
由得，且．
由题意得，所以，
又在切线上．
所以，所以，即．
因为，所以有．
令，则等价于，即，从而．
设，则．
易知在上单调递增，且．
所以，由函数零点存在性定理知，存在唯一的使得，
即，则．
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
从而．
而在上是减函数，所以．
因此的最小值．
从而整数m的最大值是2．
20．(1)
(2)；证明见解析

【分析】（1）由题意可得当时恒成立，则，利用导数运算处理；（2）函数在上单调递增，通过作差判断的大小关系，借助导数判断大小．
(1)
则
由题意可得当时恒成立
构建，则当时恒成立
∴在上单调递增，当时恒成立
则即
(2)
构建，则
∵且在区间连续
则在区间上存在极值点
即存在正实数，使得，
即

设，，当时恒成立
则函数在上单调递增，则，
即，则，
由（1）可知函数在上单调递增，
则，即．
【点睛】整理得到，观察构建．
21．(1)两个零点
(2)

【分析】（1）用零点存在性定理可判断零点个数.
（2）即，
即，
构造函数，即，判断单调性，转换函数，分类讨论即可.
(1)
解：当时，，定义域为，所以，
令，则，
当 时，，为增函数，
当 时， ，为减函数，
所以，               
又因为，所以，所以在上有唯一零点，
同理，因为，所以所以在上有唯一零点，
所以函数有两个零点．
(2)
即，
即，
构造函数，即，             
显然为上的单调递增函数，所以转化为：在上恒成立，
①当时，因为，
所以，而，显然不符合题意．                         
②当时，即在上恒成立，
令，则，
令，则 ，
i)当即时，因为，所以，所以在上递增，所以
，即恒成立，符合题意．
ii)当即时，当时，当时，
所以，
令，则，所以在上递增，
所以，所以不符合题意，所以舍去．
综上所述．
【点睛】变形得到，构造函数，即，判断单调性，转换函数在上恒成立，分类讨论即可.
22．(1)2
(2)证明见解析

【分析】（1）求出，然后分、讨论的单调性，结合可得答案；
（2）首先可得，然后由可得、，即可证明.
(1)
，
①当时，由得，
令，则，
所以在上单调递增，所以，即
所以在上单调递增，又，因此恒成立；
②当时，令，
则，当，得，
所以在上，，单调递减，又，所以，
即，所以在上单调递减，又，所以当时，不满足要求．
综上，,最大值为2.
(2)
由

，
要证，即证，
即证明：．
由（1），即，
取（），得，
所以，
累加得：，所以．
23．(1)单调递增，理由见解析
(2)

【分析】（1）首先求出函数的导函数，再令，利用导数说明函数的单调性，就即可得到，从而得到，即可得解；
（2）记，求出函数的导函数，由（1）可得在定义域上单调递增，再分和两种情况讨论，结合零点存在性定理即可判断；
(1)
解：函数在上是单调增函数，理由如下：
因为，所以．
记，则，令，得．
当时，为单调增函数；
当时，为单调减涵数，
所以，所以，即．
又，
所以，
所以函数在上是单调增函数．
(2)
解：记，是．
由（1）知，为上的单调增函数．
1°当时，，
所以，所以为上的单调增函数，
所以，即．所以符合题意．
2°当时，，又．
记，则，
所以为上的单调增函数，所以，
所以，所以．
又在上的图象不间断，且为上的单调增函数，
根据零点存在性定理知，存在唯一的零点，使得．
所以当时，，单调递减，所以，
这与任意的，矛盾，
所以不符合题意
综上可得．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
24．(1)在单调递增；
(2)

【分析】（1）对函数通过求导，判断出导数恒大于等于0，得到在单调递增.
（2）将化简整理并求导，得到，讨论b的取值可确定在单调性，即可得到取值范围.
(1)
因为的定义域为，对函数求导，则，∴函数在单调递增.
(2)
因为，所以
对恒成立，



当时，，当，
即时，
对恒成立，∴在单调递增，=0符合题意.
当时，存在使得当时，单调递减；
此时这与恒成立矛盾.
综上：.
【点睛】本题考查函数恒成立条件下求解参数范围问题，属于难题.
对函数求导，有，再利用的特点，可分类讨论b的取值范围，在时，在单调递增，原式成立，此时满足要求；当时，在先出现递减区间，必有出现，与已知矛盾，即可确定b的范围.
25．(1)单调增区间为，单调减区间为
(2)证明见解析，的最小值是e．

【分析】（1）求导，根据的正负判定函数的增减即可；
（2）根据导数的分母正，需要分子有变号零点，转变为双变量函数的恒成立和有解问题，利用导数再次确定新函数单调性和最值即可求解.
（1）
（1）当时，，
则
令，得；
令，得；
所以，函数的单调增区间为，单调减区间为．
（2）
（2）
令，因为，
所以方程，有两个不相等的实根，
又因为，
所以，
令，列表如下:





-
0
+

减
极小值
增

所以存在极值点.
所以存在使得成立，
所以存在使得，
所以存在使得对任意的有解，因此需要讨论等式左边的关于的函数，
记，
所以，
当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以当时，的最小值为．
所以需要，
即需要，
即需要，
即需要
因为在上单调递增，且，
所以需要，
故的最小值是e．
26．(1)
(2)

【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，从而可得切线方程.
（2）当时，可得得出其单调性，从而得出此时的情况，当时，，设，讨论出其单调性，得出其符号，打开绝对值，求出其最值，从而可得出答案.
(1)
当时，，
切点切线方程为，即.
(2)
①当时，，此时，
令.
当时，在上单调递减
当时， 在上单调递增
所以，又则
又，所以
，此时符合题意.
②当时，
令，，则在上单调递增
又，
存在唯一的使且
所以
当时，，由
则在上单调递减，
当时，，由
当时，在上单调递增，则
所以当时，，所以在上单调递增
所以，由题意则
设，则在上恒成立，所以在上单调递增.
此时，即
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题考查利用导数的几何意义求切线方程，利用导数处理恒成立求参数问题，解答本题的关键是对参数分和两种情况进行讨论，当时，设，讨论出其单调性，得出其符号，打开绝对值，从而得出在上单调递减，在上单调递增，得到，从而求出的范围，进而求出答案,属于难题.
27．(1)1；
(2).

【分析】（1）求导，再对分两个区间讨论得解；
（2）转化条件为函数恒成立，结合导数、及端点效应即可得解.
(1)
解：由题得，
当时，.
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减.
所以函数在（，）上极值点的个数为1.
(2)
解：由题得在上恒成立，
即恒成立，
因为，
①若，在上单调递增，，符合题意；
②若令，
则，所以在单调递增，且，
（i）若，，
在上单调递增，，符合题意；
（ii）若，，
则存在，使得当时，，单调递减，
此时，不合题意；
综上，.
【点睛】方法点睛：求参数的取值范围常用的方法有两种：（1）分离参数法，分离参数求最值；（2）分类讨论.要根据具体情况灵活选择方法求解.
28．(1)在上单调递增，在上单调递减；
(2).

【分析】（1）对函数进行求导，然后构造函数，再求导，根据导数的性质进行求解即可；
（2）根据绝对值的性质，结合任意性的定义，通过导数的性质分类讨论求解即可.
(1)

构造函数时，单调递增，
故：时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减
(2)
依题对，有：
记
记
若，存在，在单调递减，
，矛盾：
若，存在，在单调递增，
，矛盾；
若
当时，单调递增，单调递减，，
综上可得：.
【点睛】关键点睛：根据任意性、绝对值的性质，利用导数求解是解题的关键.
29．(1)函数在上单调递减，在上单调递增
(2)

【分析】（1）利用导数即可求出单调区间；
（2）分离参数，构造函数，求出函数的最小值即可.
(1)
   
，
当时，；当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
(2)
由于，恒成立，即恒成立
构造函数，
则求导可得，
当时，恒成立.
所以在上单调递增，则，
所以.
30．(1)见解析
(2)

【分析】（1）求出函数的导数，就、、分类讨论后可得函数的单调性.
（2）就、分类讨论后可得，再证明时，不等式是恒成立的.
(1)
，
若时，则，
当时，恒成立，当且仅当时等号成立，
故此时在为减函数，无增区间.
当时，若，则；若，则，
，则，
故在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数.
当时，若，则，，则，
故在上为增函数，在上为减函数.
(2)
时，即为，
因为任意时，恒成立，
故在上恒成立，
而，，
若，在，因为为不间断函数，
所以存在，使得，总有，
故在上为减函数，故，，这与题设矛盾.
若，在，因为为不间断函数，
所以存在，使得，总有，
故在上为减函数，故，，这与题设矛盾.
故，此时，
当时，，
当时，，
设，则，
因为在上均为增函数，
故在上为增函数，
而，，
故存在，使得时，，
使得时，，故在为减函数，在上为增函数，
故，总有，
故当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，故，
综上，.
31．(1)；
(2)证明见解析.

【分析】(1)对函数求导，利用导数值恒大于等于0，再分离参数，构造函数并求最值即可作答.
(2)根据给定条件可得，，再分别作差、求和分析推理构造函数，利用导数探讨最值作答.
(1)
函数定义域为，当时，，
因是单调增函数，则时，，令，
，即有在上单调递增，，，则，
所以a的取值范围是.
(2)
因，是函数的两个不同的零点，则，显然，有，，
，不妨令，设，于是得，
要证，只需证，
令，，则在上单调递增，
则有，于是得，
又，要证，只需证，
而，即证，
令，，，
从而得在在上单调递减，，即有，
综上得：.
【点睛】思路点睛：证明不等式成立问题，将所证不等式等价转化，构造函数，借助导数探讨函数单调性、最值作答.
32．（1）；（2）①；②.
【分析】（1）利用导数的几何意义，求处的切线方程即可.
（2）①由题意知，有两个不相等的正根，即可求的取值范围；②由①得到的单调区间，可知要使时，恒有成立，只需满足，而，结合①的结论得，则，构造中间函数并应用导数研究单调性，确定的范围，即可比较的大小，进而求的取值范围.
【详解】（1）当时，，则，
∴，，即所求的切线方程为.
（2）①，
设在上的极值点为，，则，是方程的两正根，
∴，解得.
②由①知：当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增.
∴要使时，恒有成立，只需满足.
由，，则，又，
∴，.
设，，则.
∴，在上单调递减，即，从而.
由，得，又，
∴，得.
【点睛】关键点点睛：第二问，①求的解析式，将问题转化为有两个不相等的正根求参数范围；②由①判断的区间单调性，将问题转化为，再构造中间函数并应用导数求的范围，并比较的大小关系.
33．（1）；（2）.
【解析】（1）求得导数,利用导数的几何意义计算即可得出结果；
（2）由在上的最小值为0，化简可得，构造函数，利用导数求得最小值即可求得结果.
【详解】解：（1）当时，，
∴，，
∴切线方程为，
即
（2）∵，
∴原条件等价于：在上，恒成立.
化为
令，
则
令，则
在上，，
∴在上，
故在上，；在上，
∴的最小值为，∴
34．（1）；（2）存在，.
【分析】(1) 设切点为，设出切线方程为，由恒过，代入可求得的值.
(2) 恒成立，等价于恒成立，构造函数，需，从而可求得的取值.
【详解】（1）因为，所以，
若直线是曲线的切线，设切点为，此时切线方程为，
又恒过，所以，即，
令，则，且在上单调递增，
所以方程有唯一的解，所以，
所以当时，直线是曲线的切线；
（2）假设存在实数，使得恒成立，即恒成立.
令，则，令，又，则，
所以有两个不等根，，，不妨设.
所以在上递减，在上递增.所以成立.
因为，所以，所以．
令，，
所以在有，在上有，所以在上递增，在上递减.所以.
又，所以，.
代入，得，
所以存在实数，使得恒成立，此时．
【点睛】本题考查函数与导数的综合问题.由导数的几何意义求切线方程，恒成立问题一般可转化为最值问题，属于较难题.
35．（1）（2）{1，2}．
【解析】（1）求解导数，表示出，再利用的导数可求m的取值范围；
（2）表示出，结合二次函数知识求出的最小值，再结合导数及基本不等式求出的最值，从而可求正整数k的取值集合．
【详解】（1）因为，所以，
所以，
则，
由题意可知，解得；
（2）由（1）可知，，
所以
因为
整理得，
设，则，所以单调递增，
又因为，
所以存在，使得，
设，是关于开口向上的二次函数，
则，
设，则，令，则，
所以单调递增，因为，
所以存在，使得，即，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，
又由题意可知，所以，
解得，所以正整数k的取值集合为{1，2}．
【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数研究极值问题一般转化为导数的零点问题，恒成立问题要逐步消去参数，转化为最值问题求解，适当构造函数是转化的关键，本题综合性较强，难度较大，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.
36．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】分析: （Ⅰ）先求导数，根据条件解得x1，x2关系，再化简f(x1)+f(x2)为，利用基本不等式求得取值范围，最后根据函数单调性证明不等式；（Ⅱ）一方面利用零点存在定理证明函数有零点，另一方面，利用导数证明函数在上单调递减，即至多一个零点.两者综合即得结论.
【详解】详解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数，
由,得，
因为，所以．
由基本不等式得．
因为，所以．
由题意得．
设，
则，
所以
x
（0，16）
16
（16，+∞）

-
0
+


2-4ln2


所以g（x）在[256，+∞）上单调递增，
故，
即．
（Ⅱ）令m=，n=，则
f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0，
f（n）–kn–a