2021学年第3章 不等式3.2 基本不等式课时作业

3.2  基本不等式 同步课时训练

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共40分)

1、(4分)不等式对任意a，恒成立，则实数x的取值范围是(   )

A. B. C. D.

2、(4分)在中，点是线段上任意一点(不包含端点)，若，则的最小值是（   ）

A.4      B.9      C.8      D.13

3、(4分)若，则当取得最大值时，x的值为(   )

A. B. C. D.

4、(4分)若,则的最大值为(   )

A. B. C.2 D.4

5、(4分)某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为(   )

A.200吨 B.300吨 C.400吨 D.600吨

6、(4分)已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是(   )

A. B. C. D.

7、(4分)已知，且，则mn有(   )

A.最大值1 B.最大值2 C.最小值1 D.最小值2

8、(4分)已知，若函数对任意满足，则不等式的解集是(   )

A. B. C. D.

9、(4分)欲用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的面积最大的矩形菜园，墙长，则这个矩形的长、宽分别为（    ）

A.15m，m B.15m，m C.7m，m D.7m，m

10、(4分)若，则的（    ）

A.最小值为0  B.最大值为4

C.最小值为4  D.最大值为0

二、填空题(共25分)

11、(5分)已知a，b均为正数，且，则ab的最大值为________，的最小值为__________.

12、(5分)若不等式 恒成立, 则 的最小值是__________.

13、(5分)若某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为,则当每台机器运转_________年时,年平均利润最大.

14、(5分)已知，，，则的最大值是________

15、(5分)已知，，且满足，则的最小值为_____________.

三、解答题(共35分)

16、(8分)已知，满足.

（1）求证：；

（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数p，使对任意恒成立，试写出一个p，并证明之.

17、(9分)某工厂某种产品的月固定成本为10万元，每生产x件，需另投入成本为C，当月产量不足30件时，（万元）.当月产量不小于30件时，（万元）.每件商品售价为5万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.因设备问题，该厂月生产量不超过50件.

（1）写出月利润L（万元）关于月产量x（件）的表达式；

（2）当月产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获月利润最大？

18、(9分)已知，，，求证：

（1）；

（2）.

19、(9分)已知函数的最小值为m.

(1)求m；

(2)若正实数a，b，c满足，求的最小值.

参考答案

1、答案：C

解析：，当且仅当，即时取等号，不等式对任意a，恒成立，，，实数x的取值范围是.故选：C.

2、答案：B

解析：

3、答案：D

解析：本题考查基本不等式的应用.，，当且仅当，即时，取得“=”.

4、答案：A

解析：,当且仅当时,等号成立,

,又，当且仅当,即时，等号成立，

,

当且仅当即时,等号成立,

的最大值为.故选A.

5、答案：C

解析：由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，当且仅当，即时，等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，可使每吨的平均处理成本最低.

6、答案：D

解析：由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；

中当且仅当时取等号，如，即可取等号，D中不等式不恒成立.

7、答案：A

解析：，且，，当且仅当时取等号，有最大值1.故选A.

8、答案：C

解析：解：，
，
，
，，
，
，
，即，
，解得或，
原不等式的解集是：.
故选：C.
根据可得出，然后即可求出，然后由原不等式可得出，进而得出，然后解出x的范围即可.
本题考查了偶函数的定义，对数的运算性质，指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题.

9、答案：A

解析：设矩形的长为，宽为，则，所以，

，当且仅当，即， 时取等号.

故选：A．

10、答案：D

解析：因为，所以，

则，

当且仅当，即时取等号，此时取得最大值0，

故选：D．

11、答案：2，

解析：由题意，得，当且仅当，即，时等号成立，所以，所以ab的最大值为2，，当，时取等号.

12、答案：0

解析：由题意知当 时, 恒成立.
令, 则.
若, 则 在 上是增函数, 无最大值, 不符合题意;
若, 当 时, , 当 时, , 所以 在 上是增函数, 在 上是减函数.
所以. 所以. 所以.
令, 则.
当 时,; 当 时,.
所以 在 上是减函数, 在 上是增函数. 所以.
所以 的最小值是 0 .

13、答案：5

解析：每台机器运转x年的年平均利润为,且,由基本不等式得,当且仅当,即时等号成立,故,当且仅当时等号成立,此时年平均利润最大.

14、答案：

解析：因为，，，所以，则，当且仅当且，即时取等号，此时的最大值.

15、答案：7

解析：，由，

可得，当且仅当，即时等号成立，

则最小值为7.

16、答案： (1)见解析(2) 见解析

解析：(1) 证明 : 由 ，得 ，,
要证 ，
只要证 ，
左边

当且仅当 ，即 时等号成立；

(2)要使,
只至至,

左边

则 ， 可取 或 3
取 ，问题转化为.
证明如下 : 要证 ，
只需证明 ，
左边

当且仅当 ，即 时等号成立.

17、答案：（1）见解析

（2）当月产量为30件时，月获利润最大.

解析：（1）因为每件商品售价为5万元，所以x件商品销售额为5x万元，
依题意得，
当时，；
当时，.
（2）当时，，
对称轴为.
即当时，（万元）；
当时，，
当且仅当时，（万元）.

综上所述，当月产量为30件时，月获利润最大.

18、答案：（1）证明见解析

（2）证明见解析

解析：（1），，，
，
，
（当且仅当时等号成立）.

（2），，，
，
同理：，
.
（当且仅当时等号成立）.

19、答案：(1).

(2)最小值为.

解析：(1)因为

可知在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，有最小值，最小值为4，

即.

(2)由(1)知，可得.

又a，b，c为正实数，

所以

，

当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为.