山东省菏泽市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

这是一份山东省菏泽市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题，共45页。试卷主要包含了﹣1，2020，先化简，再求值，解应用题，两点等内容，欢迎下载使用。
山东省菏泽市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•菏泽）计算：（）﹣1+4cos45°﹣+（2022﹣π）0．
2．（2021•菏泽）计算：（2021﹣π）0﹣|3﹣|+4cos30°﹣（）﹣1．
3．（2020•菏泽）计算：2﹣1+|﹣3|+2sin45°﹣（﹣2）2020•（）2020．
二．分式的化简求值（共2小题）
4．（2021•菏泽）先化简，再求值：1+÷，其中m，n满足＝﹣．
5．（2020•菏泽）先化简，再求值：，其中a满足a2+2a﹣3＝0．
三．一元二次方程的应用（共1小题）
6．（2021•菏泽）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
四．分式方程的应用（共1小题）
7．（2022•菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？
（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？
五．解一元一次不等式组（共1小题）
8．（2022•菏泽）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．

六．一元一次不等式组的应用（共1小题）
9．（2020•菏泽）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
七．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
10．（2022•菏泽）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象都经过A（2，﹣4）、B（﹣4，m）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．

11．（2021•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为 　 　．

12．（2020•菏泽）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．

八．二次函数综合题（共3小题）
13．（2022•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．


14．（2021•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为（，）．
15．（2020•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面积；
（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

九．全等三角形的判定与性质（共1小题）
16．（2020•菏泽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．

一十．三角形综合题（共1小题）
17．（2022•菏泽）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．
（1）直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；
（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的长．


一十一．菱形的性质（共1小题）
18．（2021•菏泽）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN．

一十二．四边形综合题（共1小题）
19．（2021•菏泽）在矩形ABCD中，BC＝CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．
（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；
（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．

一十三．切线的性质（共1小题）
20．（2020•菏泽）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．

一十四．切线的判定与性质（共2小题）
21．（2022•菏泽）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．
（1）求证：直线HG是⊙O的切线；
（2）若HA＝3，cosB＝，求CG的长．

22．（2021•菏泽）如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE＝FP．
（1）求证：FE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，sinF＝，求BG的长．

一十五．相似三角形的判定（共1小题）
23．（2022•菏泽）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．

一十六．相似形综合题（共1小题）
24．（2020•菏泽）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．
（1）过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：AE＝BE；
（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD'．
①求证：BD'∥CD；
②若AD'∥BC，求证：CD2＝2OD•BD．

一十七．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
25．（2022•菏泽）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

一十八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
26．（2020•菏泽）某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i＝1：2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD．
（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

一十九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
27．（2021•菏泽）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？

二十．频数（率）分布直方图（共1小题）
28．（2020•菏泽）某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．

（1）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？
（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内？
（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有多少人？
二十一．列表法与树状图法（共2小题）
29．（2022•菏泽）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：

（1）本次共调查了 　 　名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为 　 　度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是 　 　；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
30．（2021•菏泽）2021年5月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽取了部分参加15米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）请把条形统计图补充完整；
（2）合格等级所占百分比为 　 　%；不合格等级所对应的扇形圆心角为 　 　度；
（3）从所抽取的优秀等级的学生A、B、C…中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率．

山东省菏泽市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•菏泽）计算：（）﹣1+4cos45°﹣+（2022﹣π）0．
【解答】解：原式＝2+4×﹣2+1
＝2+2﹣2+1
＝3．
2．（2021•菏泽）计算：（2021﹣π）0﹣|3﹣|+4cos30°﹣（）﹣1．
【解答】解：原式＝1﹣（2﹣3）+4×﹣4
＝1﹣2+3+2﹣4
＝0．
3．（2020•菏泽）计算：2﹣1+|﹣3|+2sin45°﹣（﹣2）2020•（）2020．
【解答】解：原式＝+3﹣+2×﹣（﹣2×）2020
＝+3﹣+﹣1
＝2．
二．分式的化简求值（共2小题）
4．（2021•菏泽）先化简，再求值：1+÷，其中m，n满足＝﹣．
【解答】解：原式＝1+•
＝1﹣
＝﹣
＝，
∵＝﹣，
∴m＝﹣n，
则原式＝＝＝﹣6．
5．（2020•菏泽）先化简，再求值：，其中a满足a2+2a﹣3＝0．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝•
＝2a（a+2）
＝2（a2+2a），
∵a满足a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
当a2+2a＝3时，原式＝2×3＝6．
三．一元二次方程的应用（共1小题）
6．（2021•菏泽）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
【解答】解：设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640，
整理得x2﹣12x+27＝0，
∴x＝3或x＝9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为38﹣9＝29元/千克．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
四．分式方程的应用（共1小题）
7．（2022•菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？
（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？
【解答】解：（1）设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个1.5x元，
依题意得：﹣＝10，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是方程的解，
1.5x＝1.5×80＝120．
答：篮球的进价为每个120元，排球的进价为每个80元；
（2）设购买m个篮球，则购买排球（300﹣m）个排球，
依题意得：120m+80（300﹣m）≤28000，
解得：m≤10，
答：最多可以购买10个篮球．
五．解一元一次不等式组（共1小题）
8．（2022•菏泽）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．

【解答】解：由①得：x≤1，
由②得：x＜6，
∴不等式组的解集为x≤1，
解集表示在数轴上，如图所示：
．
六．一元一次不等式组的应用（共1小题）
9．（2020•菏泽）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
【解答】解：（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，
依题意，得：，
解得：．
答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．
（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，
依题意，得：，
解得：20＜m≤22．
又∵m为正整数，
∴m可以为21，22．
∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．
七．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
10．（2022•菏泽）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象都经过A（2，﹣4）、B（﹣4，m）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．

【解答】解：（1）将A（2，﹣4），B（﹣4，m）两点代入y＝中，得k＝2×（﹣4）＝﹣4m，
解得，k＝﹣8，m＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
将A（2，﹣4）和B（﹣4，2）代入y＝ax+b中得，
解得，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣2；
（2）如图，设AB与x轴交于点D，连接CD，
由题意可知，点A与点C关于原点对称，
∴C（﹣2，4）．
在y＝﹣x﹣2中，当x＝﹣2时，y＝0，
∴D（﹣2，0），
∴CD垂直x轴于点D，

∴S△ABC＝S△ADC+S△BCD＝×4×（2+2）+×4×（4﹣2）＝8+4＝12．
11．（2021•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为 　（，0）　．

【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝BC＝2，OC＝4，
∴B（4，2）．
由中点坐标公式可得点D坐标为（2，1），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，
∴k1＝xy＝2×1＝2，
故反比例函数表达式为y＝．
令y＝2，则x＝1；令x＝4，则y＝．
故点E坐标为（1，2），F（4，）．
设直线EF的解析式为y＝k2x+b，代入E、F坐标得：
，解得：．
故一次函数的解析式为y＝．
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．如图．
由E坐标可得对称点E'（1，﹣2），
设直线E'F的解析式为y＝mx+n，代入点E'、F坐标，得：
，解得：．
则直线E'F的解析式为y＝，
令y＝0，则x＝．
∴点P坐标为（，0）．
故答案为：（，0）．

12．（2020•菏泽）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．

【解答】解：（1）将点A（1，2）代入y＝，得：m＝2，
∴y＝，
当y＝﹣1时，x＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣1），
将A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，
得：，
解得，
∴y＝x+1；
∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y＝；

（2）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，
解得x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设P（m，0），
则PC＝|﹣1﹣m|，
∵S△ACP＝•PC•yA＝4，
∴×|﹣1﹣m|×2＝4，
解得m＝3或m＝﹣5，
∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
八．二次函数综合题（共3小题）
13．（2022•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．


【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），
∴，
解得：．
∴抛物线的表达式为y＝﹣+x+4；
（2）点D的坐标为（﹣8，8），理由：
将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，如图，

过点D作DE⊥x轴于点E，
∵A（﹣2，0）、B（8，0），C（0，4），
∴OA＝2，OB＝8，OC＝4．
∵，，
∴．
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO．
∵∠CBO+∠OCB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∵将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，
∴点D，C，B三点在一条直线上．
由轴对称的性质得：BC＝CD，AB＝AD．
∵OC⊥AB，DE⊥AB，
∴DE∥OC，
∴OC为△BDE的中位线，
∴OE＝OB＝8，DE＝2OC＝8，
∴D（﹣8，8）；
由题意得：S△ACD＝S△ABC，
∴四边形OADC的面积＝S△OAC+S△ADC
＝S△OAC+S△ABC
＝OC•OA+AB•OC
＝4×2+10×4
＝4+20
＝24；
（3）①当点P在BC上方时，如图，

∵∠PCB＝∠ABC，
∴PC∥AB，
∴点C，P的纵坐标相等，
∴点P的纵坐标为4，
令y＝4，则﹣+x+4＝4，
解得：x＝0或x＝6，
∴P（6，4）；
②当点P在BC下方时，如图，

设PC交x轴于点H，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴HC＝HB．
设HB＝HC＝m，
∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，
在Rt△COH中，
∵OC2+OH2＝CH2，
∴42+（8﹣m）2＝m2，
解得：m＝5，
∴OH＝3，
∴H（3，0）．
设直线PC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：．
∴y＝﹣x+4．
∴，
解得：，．
∴P（，﹣）．
综上，点P的坐标为（6，4）或（，﹣）．
14．（2021•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为（，）．
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣4；

（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣4），
设点P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4），
设直线PB的表达式为y＝kx+t，
则，解得，
∵CQ∥BP，
故设直线CQ的表达式为y＝（m+1）x+p，
该直线过点C（0，﹣4），即p＝﹣4，
故直线CQ的表达式为y＝（m+1）x﹣4，
令y＝（m+1）x﹣4＝0，解得x＝，即点Q的坐标为（，0），
则BQ＝4﹣＝，
设△PBQ面积为S，
则S＝×BQ×（﹣yP）＝﹣××（m2﹣3m﹣4）＝﹣2m2+8m，
∵﹣2＜0，故S有最大值，
当m＝2时，△PBQ面积为8，
此时点P的坐标为（2，﹣6）；

（3）存在，理由：
将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，即点A过该点，即抛物线向右平移了+1＝个单位，
则函数的对称轴也平移了个单位，即平移后的抛物线的对称轴为直线x＝+＝3，故设点E的坐标为（3，m），
设点F（s，t），
①当AP是边时，
则点A向右平移3个单位向下平移6个单位得到点P，
同样点F（E）向右平移3个单位向下平移6个单位得到点E（F）且AE＝PF（AF＝PE），
则或，
解得或，
故点F的坐标为（0，）或（6，﹣4）；
②当AP是对角线时，
由中点坐标公式和AP＝EF得：，
解得或，
故点F的坐标为（﹣2，﹣3﹣）或（﹣2，﹣3）；
综上，点F的坐标为（0，）或（6，﹣4）或（﹣2，﹣3﹣）或（﹣2，﹣3）．
15．（2020•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面积；
（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵OA＝2，OB＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣6中得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣6；

（2）如图1，过D作DG⊥x轴于G，交BC于H，

当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
设BC的解析式为：y＝kx+n，
则，解得：，
∴BC的解析式为：y＝x﹣6，
设D（x，x2﹣x﹣6），则H（x，x﹣6），
∴DH＝x﹣6﹣（x2﹣x﹣6）＝﹣，
∵△BCD的面积是，
∴，
∴，
解得：x＝1或3，
∵点D在直线l右侧的抛物线上，
∴D（3，﹣），
∴△ABD的面积＝＝＝；

（3）分两种情况：
①如图2，N在x轴的上方时，四边形MNBD是平行四边形，

∵B（4，0），D（3，﹣），且M在x轴上，
∴N的纵坐标为，
当y＝时，即x2﹣x﹣6＝，
解得：x＝1+或1﹣，
∴N（1﹣，）或（1+，）；
②如图3，点N在x轴的下方时，四边形BDNM是平行四边形，此时M与O重合，

∴N（﹣1，﹣）；
综上，点N的坐标为：（1﹣，）或（1+，）或（﹣1，﹣）．
九．全等三角形的判定与性质（共1小题）
16．（2020•菏泽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．

【解答】证明：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，BC＝DE，
∴△ABC≌△AED（AAS），
∴AE＝AB，AC＝AD，
∴CE＝BD．
一十．三角形综合题（共1小题）
17．（2022•菏泽）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．
（1）直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；
（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的长．


【解答】解：（1）如图1，延长CE交AB于H，

∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝∠DAB＝45°，
∵DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，
∴∠BHC＝∠BAD+∠AEH＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致，
理由如下：如图2，延长CE'交AB'于H，

由旋转可得：CD＝DE'，B'D＝AD，
∵∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠CDE'＝∠ADB'，
又∵＝1，
∴△ADB'∽△CDE'，
∴∠DAB'＝∠DCE'，
∵∠DCE'+∠DGC＝90°，
∴∠DAB'+∠AGH＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴CE'⊥AB'；
（3）如图3，过点D作DH⊥AB'于点H，

∵△BED绕点D顺时针旋转30°，
∴∠BDB'＝30°，BD'＝BD＝AD，
∴∠ADB'＝120°，∠DAB'＝∠AB'D＝30°，
∵DH⊥AB'，AD＝B'D，
∴AD＝2DH，AH＝DH＝B'H，
∴AB'＝AD，
由（2）可知：△ADB'∽△CDE'，
∴∠DCE'＝∠DAB'＝30°，
∵AD⊥BC，CD＝，
∴DG＝1，CG＝2DG＝2，
∴CG＝FG＝2，
∵∠DAB'＝30°，DH⊥AB'，
∴AG＝2GF＝4，
∴AD＝4+1＝5，
∴AB'＝AD＝5．
一十一．菱形的性质（共1小题）
18．（2021•菏泽）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN．

【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C．
在△AMD和△CND中，
，
∴△AMD≌△CND（ASA）．
∴AM＝CN，
∴AB﹣AM＝BC﹣CN，
即BM＝BN．
一十二．四边形综合题（共1小题）
19．（2021•菏泽）在矩形ABCD中，BC＝CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．
（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；
（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．

【解答】（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
由翻折变换可知，∠DEF＝∠PEF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴PE＝PF．

（2）证明：如图2中，连接AC交EF于O，连接PM，PO．

∵AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，
∵PE＝PF，
∴PO平分∠EPF，
∵AD＝BC，AE＝FC，
∴ED＝BF，
由折叠的性质可知ED＝EH，所以BF＝EH，
∴PE﹣EH＝PF﹣BF，
∴PB＝PH，
∵∠PHM＝∠PBM＝90°，PM＝PM，
∴Rt△PMH≌Rt△PMB（HL），
∴PM平分∠EPF，
∴P．M，O共线，
∵PO⊥EF，OE＝OF，
∴点M在线段EF的垂直平分线上．

（3）如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图中弧BC．

在Rt△BCD中，tan∠CBD＝＝，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ABO＝∠OAB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OD＝OB＝OC＝AB＝5，∠BOC＝120°，
∴点G运动的路径的长＝＝π．
故答案为：π．
一十三．切线的性质（共1小题）
20．（2020•菏泽）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．

【解答】（1）证明：方法一：连接AD、OD．

∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ADO+∠ODB＝90°．
∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE．
∴∠EDA+∠ADO＝90°．
∴∠EDA＝∠ODB．
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD．
∴∠EDA＝∠OBD．
∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD．
∵∠DBA+∠DAB＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°．
∴∠DEA＝90°．
∴DE⊥AC．
方法二：∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC；
（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵⊙O的半径为5，BC＝16，
∴AC＝10，CD＝8，
∴AD＝＝6，
∵S△ADC＝AC•DE，
∴DE＝＝＝．
一十四．切线的判定与性质（共2小题）
21．（2022•菏泽）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．
（1）求证：直线HG是⊙O的切线；
（2）若HA＝3，cosB＝，求CG的长．

【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD＝DC，AO＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，OD＝BC，
∵DG⊥BC，
∴OD⊥BC，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线HG是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为x，则OH＝x+3，BC＝2x，
∵OD∥BC，
∴∠HOD＝∠B，
∴cos∠HOD＝，即＝＝，
解得：x＝2，
∴BC＝4，BH＝7，
∵cosB＝，
∴＝，即＝，
解得：BG＝，
∴CG＝BC﹣BG＝4﹣＝．

22．（2021•菏泽）如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE＝FP．
（1）求证：FE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，sinF＝，求BG的长．

【解答】解：（1）如图，连接OE，

∵OA＝OE，
∴∠A＝∠AEO，
∵CD⊥AB，
∴∠AHP＝90°，
∵FE＝FP，
∴∠FPE＝∠FEP，
∵∠A+∠APH＝∠A+∠FPE＝90°，
∴∠FEP+∠AEO＝90°＝∠FEO，
∴OE⊥EF，
∴FE是⊙O的切线；
（2）∵∠FHG＝∠OEG＝90°，
∴∠G+∠EOG＝90°＝∠G+∠F，
∴∠F＝∠EOG，
∴sinF＝sin∠EOG＝＝，
设EG＝3x，OG＝5x，
∴OE＝＝＝4x，
∵OE＝8，
∴x＝2，
∴OG＝10，
∴BG＝10﹣8＝2．
一十五．相似三角形的判定（共1小题）
23．（2022•菏泽）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．

【解答】证明：∵BE＝BC，
∴∠C＝∠CEB，
∵∠CEB＝∠AED，
∴∠C＝∠AED，
∵AD⊥BE，
∴∠D＝∠ABC＝90°，
∴△ADE∽△ABC．
一十六．相似形综合题（共1小题）
24．（2020•菏泽）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．
（1）过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：AE＝BE；
（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD'．
①求证：BD'∥CD；
②若AD'∥BC，求证：CD2＝2OD•BD．

【解答】（1）证明：∵AE∥DC，
∴∠CDO＝∠AEO，∠EAO＝∠DCO，
又∵OA＝OC，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴CD＝AE，OD＝OE，
∵OB＝OE+BE，OB＝OD+CD，
∴BE＝CD，
∴AE＝BE；
（2）①证明：如图1，过点A作AE∥DC交BD于点E，

由（1）可知△AOE≌△COD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE，
∵将△ABD沿AB翻折得到△ABD'，
∴∠ABD'＝∠ABD，
∴∠ABD'＝∠BAE，
∴BD'∥AE，
又∵AE∥CD
∴BD'∥CD．
②证明：如图2，过点A作AE∥DC交BD于点E，延长AE交BC于点F，

∵AD'∥BC，
∴∠D'AB＝∠ABC，
由翻折可知∠D'AB＝∠DAB，
∴∠ABC＝∠DAB，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠ABD，
∴∠ABC﹣∠EAB＝∠DAB﹣∠ABD，
∴∠DBC＝∠DAE，
∵AE∥DC，
∴∠AED＝∠CDB，
∴△ADE∽△BCD，
∴，
由①知AE＝CD，OD＝EO，
∴DE＝2OD，
∴CD2＝2OD•BD．
一十七．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
25．（2022•菏泽）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

【解答】解：由题意得，在△ABC中，
∵∠ABC＝37°，AB＝8米，
∴AC＝AB•sin37°＝4.8（米），
BC＝AB•cos37°＝6.4（米），
在Rt△ACD中，CD＝≈8.304（米），
则BD＝CD﹣BC＝8.304﹣6.4≈1.9（米）．
答：改动后电梯水平宽度增加部分BD的长为1.9米．
一十八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
26．（2020•菏泽）某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i＝1：2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD．
（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，

∵CD⊥AD，
∴四边形BEDF是矩形，
∴FD＝BE，FB＝DE，
在Rt△ABE中，BE：AE＝1：2.4＝5：12，
设BE＝5x，AE＝12x，
根据勾股定理，得
AB＝13x，
∴13x＝52，
解得x＝4，
∴BE＝FD＝5x＝20，
AE＝12x＝48，
∴DE＝FB＝AD﹣AE＝72﹣48＝24，
∴在Rt△CBF中，CF＝FB×tan∠CBF≈24×≈32，
∴CD＝FD+CF＝20+32＝52（米）．
答：大楼的高度CD约为52米．
一十九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
27．（2021•菏泽）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？

【解答】解：过点C作CD⊥BA的延长线于点D，如图．
由题意可得：∠CAD＝60°，∠CBD＝30°＝∠DCA，
∴∠BCA＝∠CAD﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°．
即∠BCA＝∠CBD，
∴AC＝AB＝200（海里）．
在Rt△CDA中，CD＝sin∠CAD×AC＝＝100（海里）．
在Rt△CDB中，CB＝2CD＝200（海里）．
故位于A处的济南舰距C处的距离200海里，位于B处的西安舰距C处的距离200海里．

二十．频数（率）分布直方图（共1小题）
28．（2020•菏泽）某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．

（1）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？
（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内？
（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有多少人？
【解答】解：（1）本次抽取的学生有：12÷20%＝60（人），
C组学生有：60﹣6﹣12﹣18＝24（人），
即被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有24人；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在C：80≤x＜90这一组内；
（3）1500×＝150（人），
答：这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有150人．
二十一．列表法与树状图法（共2小题）
29．（2022•菏泽）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：

（1）本次共调查了 　40　名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为 　72　度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是 　560人　；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为4÷10%＝40（名），C组人数为40﹣（4+16+12）＝8（名），
补全图形如下：

故答案为：40；
（2）C组所对应的扇形圆心角为360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）估计该校喜欢跳绳的学生人数约是1400×＝560（人），
故答案为：560人；
（4）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为＝．
30．（2021•菏泽）2021年5月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽取了部分参加15米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）请把条形统计图补充完整；
（2）合格等级所占百分比为 　30　%；不合格等级所对应的扇形圆心角为 　36　度；
（3）从所抽取的优秀等级的学生A、B、C…中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：12÷40%＝30（人），
则优秀的学生人数为：30﹣12﹣9﹣3＝6（人），
把条形统计图补充完整如下：

（2）合格等级所占百分比为：9÷30×100%＝30%，
不合格等级所对应的扇形圆心角为：360°×＝36°，
故答案为：30，36；
（3）优秀等级的学生有6人，为A、B、C、D、E、F，
画树状图如图：

共有30种等可能的结果，恰好抽到A、B两位同学的结果有2种，
∴恰好抽到A、B两位同学的概率为＝．