四川省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-07解答题（中档题）

这是一份四川省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-07解答题（中档题），共83页。试卷主要包含了﹣2，，其中x＝﹣1，﹣1﹣；，阅读材料等内容，欢迎下载使用。
四川省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-07解答题（中档题）
一．实数的运算（共1小题）
1．（2022•德阳）计算：+（3.14﹣π）0﹣3tan60°+|1﹣|+（﹣2）﹣2．
二．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
2．（2022•南充）先化简，再求值：（x+2）（3x﹣2）﹣2x（x+2），其中x＝﹣1．
三．分式的化简求值（共1小题）
3．（2022•绵阳）（1）计算：2tan60°+|﹣2|+（）﹣1﹣；
（2）先化简，得求值：（﹣）÷，其中x＝1，y＝100．
四．根与系数的关系（共2小题）
4．（2022•凉山州）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　．x1x2＝　 　．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
5．（2022•南充）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
五．分式方程的应用（共3小题）
6．（2022•乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
7．（2022•达州）某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？
8．（2022•自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．
六．一元一次不等式组的应用（共1小题）
9．（2022•遂宁）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
七．一次函数的应用（共2小题）
10．（2022•凉山州）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍．已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．
（1）求A、B两种类型羽毛球拍的单价．
（2）该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
11．（2022•德阳）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍．
（1）求A、B两种树苗的单价分别是多少元？
（2）红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
八．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
12．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．
（1）求双曲线y＝上的“黎点”；
（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．
九．反比例函数与一次函数的交点问题（共6小题）
13．（2022•雅安）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．
（1）求m的值和点D的坐标；
（2）求DF所在直线的表达式；
（3）若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG．

14．（2022•宜宾）如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C、D．若tan∠BAO＝2，BC＝3AC．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OCD的面积．

15．（2022•广元）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象与函数y＝（x＞0）的图象相交于点B（1，6），并与x轴交于点A．点C是线段AB上一点，△OAC与△OAB的面积比为2：3．
（1）求k和b的值；
（2）若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴正半轴上，得到△OA′C′，判断点A′是否在函数y＝（x＞0）的图象上，并说明理由．

16．（2022•德阳）如图，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点A，且点A的横坐标为﹣2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B的坐标是（﹣3，0），若点P在y轴上，且△AOP的面积与△AOB的面积相等，求点P的坐标．

17．（2022•南充）如图，直线AB与双曲线交于A（1，6），B（m，﹣2）两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC．
（1）求直线AB与双曲线的解析式．
（2）求△ABC的面积．

18．（2022•遂宁）已知一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数y2＝交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2．
（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
（2）求出点C的坐标，并根据图象写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围；
（3）若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．

一十．反比例函数综合题（共3小题）
19．（2022•眉山）已知直线y＝x与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点M（2，a）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y＝的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣1），求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．

20．（2022•泸州）如图，直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝的图象相交于点A，B，已知点A的纵坐标为6．
（1）求b的值；
（2）若点C是x轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．

21．（2022•自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，2），B（m，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，求点C的坐标．

一十一．全等三角形的判定与性质（共2小题）
22．（2022•宜宾）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝EF．求证：AD＝CF．

23．（2022•自贡）如图，△ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DB＝EC．求证：∠D＝∠E．

一十二．平行四边形的性质（共1小题）
24．（2022•泸州）如图，E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的点，已知AE＝CF．求证：DE＝BF．

一十三．菱形的性质（共1小题）
25．（2022•南充）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分别与AC交于点M，N．
求证：（1）△ADE≌△CDF．
（2）ME＝NF．

一十四．菱形的判定与性质（共1小题）
26．（2022•凉山州）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．

一十五．矩形的判定与性质（共1小题）
27．（2022•德阳）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H．点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动．设点E，F的运动时间为t（单位：s），且0＜t＜3，过F作FG⊥BC于点G，连结EF．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）连结FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

一十六．正方形的性质（共1小题）
28．（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．

一十七．切线的判定与性质（共1小题）
29．（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝∠BAC，连接OD交BC于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．

一十八．圆的综合题（共3小题）
30．（2022•内江）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

31．（2022•雅安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接CE，求证：△ACE∽△ADC；
（3）若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC．

32．（2022•眉山）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：BC是∠ABD的角平分线；
（2）若BD＝3，AB＝4，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

一十九．利用旋转设计图案（共1小题）
33．（2022•广安）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．（规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形），

二十．相似三角形的判定与性质（共3小题）
34．（2022•宜宾）如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且EG＝EC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，BD＝4，sin∠D＝，求EC的长．

35．（2022•广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．

36．（2022•遂宁）如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．

二十一．相似形综合题（共1小题）
37．（2022•内江）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．
（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
（2）若＝2，求的值；
（3）若MN∥BE，求的值．

二十二．解直角三角形（共1小题）
38．（2022•乐山）如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，＝，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．
（1）求证：CG＝DG；
（2）已知⊙O的半径为6，sin∠ACE＝，延长AC至点B，使BC＝4．求证：BD是⊙O的切线．

二十三．解直角三角形的应用（共3小题）
39．（2022•内江）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．
（1）求河的宽度；
（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）

40．（2022•达州）某老年活动中心欲在一房前3m高的前墙（AB）上安装一遮阳篷BC，使正午时刻房前能有2m宽的阴影处（AD）以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，遮阳篷BC与水平面的夹角为10°．如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷BC的长度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18；sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00）

41．（2022•成都）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A'OB＝108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长．（结果精确到1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

二十四．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
42．（2022•凉山州）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．

二十五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共4小题）
43．（2022•宜宾）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：≈1.7，≈1.4）


44．（2022•广元）如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度．

45．（2022•自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理
制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这两个角相等的理由．

（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH．（≈1.73，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角α、β，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH（用α、β、m表示）．

46．（2022•遂宁）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝5：12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．
（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）

二十六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
47．（2022•泸州）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．

二十七．列表法与树状图法（共6小题）
48．（2022•广安）某校在开展线上教学期间，为了解七年级学生每天在家进行体育活动的时间（单位：h），随机调查了该年级的部分学生．根据调查结果，绘制出如下的扇形统计图1和条形统计图2，请根据相关信息，解答下列问题：

（1）本次随机调查的学生共有 　 　人，图1中m的值为 　 　．
（2）请补全条形统计图．
（3）体育活动时间不足1小时的四人中有3名女生A1、A2、A3和1名男生B．为了解他们在家体育活动的实际情况，从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用列表法或画树状图法，求恰好抽到两名女生的概率，
49．（2022•内江）为让同学们了解新冠病毒的危害及预防措施，某中学举行了“新冠病毒预防”知识竞赛．数学课外活动小组将八（1）班参加本校知识竞赛的40名同学的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组进行统计，并绘制了下列不完整的统计图表：
分数段
频数
频率
74.5﹣79.5
2
0.05
79.5﹣84.5
8
n
84.5﹣89.5
12
0.3
89.5﹣94.5
m
0.35
94.5﹣99.5
4
0.1
（1）表中m＝　 　，n＝　 　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．

50．（2022•广元）为丰富学生课余活动，明德中学组建了A体育类、B美术类、C音乐类和D其它类四类学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动．学校随机抽取八年级（1）班全体学生进行调查，以了解学生参团情况．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）八年级（1）班学生总人数是 　 　人，补全条形统计图，扇形统计图中区域C所对应的扇形的圆心角的度数为 　 　；
（2）明德中学共有学生2500人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数；
（3）校园艺术节到了，学校将从符合条件的4名社团学生（男女各2名）中随机选择两名学生担任开幕式主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．


51．（2022•凉山州）为丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展．某中学团委组建了各种兴趣社团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自己的爱好从美术、演讲、声乐、舞蹈、书法中选择其中1个社团．某班班主任对该班学生参加社团的情况进行调查统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息完成下列各题：

（1）该班的总人数为 　 　人，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数）；
（2）在该班团支部4人中，有1人参加美术社团，2人参加演讲社团，1人参加声乐社团．如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率．
52．（2022•德阳）据《德阳县志》记载，德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间，明末因兵灾焚毁，清乾隆五十二年重建．在没有高层建筑的时代，德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在云里头”的故事．1971年，因破四旧再次遭废．现在的钟鼓楼是老钟鼓楼的仿制品，于2005年12月27日破土动工，2007年元旦落成，坐落东山之巅，百尺高楼金碧辉煌，流光溢彩；万丈青壁之间，银光闪烁，蔚为壮观，已经成为人们休闲的打卡胜地．
学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：

（1）设本次问卷调查共抽取了m名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是n度，分别写出m，n的值；
（2）根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？
（3）为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率．
53．（2022•南充）为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了四个项目：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．挑战数学游戏．要求七年级学生每人只能参加一项．为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图（如图），请根据图表信息解答下列问题：
项目
A
B
C
D
人数/人
5
15
a
b
（1）a＝　 　，b＝　 　．
（2）扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为 　 　度．
（3）在月末的展示活动中，“C”项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有2人获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用列表或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率．


四川省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-07解答题（中档题）
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2022•德阳）计算：+（3.14﹣π）0﹣3tan60°+|1﹣|+（﹣2）﹣2．
【解答】解：原式＝2+1﹣3×+﹣1+
＝2+1﹣3+﹣1+
＝．
二．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
2．（2022•南充）先化简，再求值：（x+2）（3x﹣2）﹣2x（x+2），其中x＝﹣1．
【解答】解：原式＝（x+2）（3x﹣2﹣2x）
＝（x+2）（x﹣2）
＝x2﹣4，
当x＝﹣1时，
原式＝（﹣1）2﹣4＝﹣2．
三．分式的化简求值（共1小题）
3．（2022•绵阳）（1）计算：2tan60°+|﹣2|+（）﹣1﹣；
（2）先化简，得求值：（﹣）÷，其中x＝1，y＝100．
【解答】解：（1）原式＝2×+2﹣+2022﹣
＝2+2﹣+2022﹣
＝2024；
（2）原式＝[﹣]÷
＝×
＝×
＝×
＝．
当x＝1，y＝100时．
原式＝100．
四．根与系数的关系（共2小题）
4．（2022•凉山州）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　　．x1x2＝　﹣　．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝＝，x1x2＝＝﹣，
故答案为：，﹣；
（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，
∴m+n＝，mn＝﹣，
∴
＝
＝
＝
＝；
（3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，
∴s与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝，st＝﹣，
∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st，
（s﹣t）2＝（）2﹣4×（﹣），
（s﹣t）2＝，
∴s﹣t＝，
∴
＝
＝
＝
＝．
5．（2022•南充）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，
解得k≤，
即k的取值范围是k≤；
（2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x1＝﹣3，x1x2＝k﹣2，
∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，
∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，
解得k＝3，
即k的值是3．
五．分式方程的应用（共3小题）
6．（2022•乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
【解答】解：设摩托车的速度为x千米/小时，则抢修车的速度为1.5x千米/小时，
依题意，得：﹣＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意．
答：摩托车的速度为40千米/小时．
7．（2022•达州）某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？
【解答】（1）解：设该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是x元和（x+4）元，根据题意可得：
，
解得：x＝40，
经检验x＝40是方程的解，
x+4＝40+4＝44，
答：该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是40元和44元；
（2）解：（件），
设每件T恤衫的标价至少是y元，根据题意可得：（300﹣40）y+40×0.7y≥（4000+8800）×（1+80%），
解得：y≥80，
答：每件T恤衫的标价至少是80元．
8．（2022•自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．
【解答】解：设张老师骑车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x千米/小时，
由题意可得：﹣2＝，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原分式方程的解，
答：张老师骑车的速度是15千米/小时．
六．一元一次不等式组的应用（共1小题）
9．（2022•遂宁）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
【解答】解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，
由题意可得：，
解得，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴，
解得30≤x≤33，
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，33，
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
七．一次函数的应用（共2小题）
10．（2022•凉山州）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍．已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．
（1）求A、B两种类型羽毛球拍的单价．
（2）该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
【解答】解：（1）设A种球拍每副x元，B种球拍每副y元，
，
解得，
答：A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；
（2）设购买B型球拍a副，总费用w元，
依题意得30﹣a≥2a，
解得a≤10，
w＝40（30﹣a）+32a＝﹣8a+1200，
∵﹣8＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝10时，w最小，w最小＝﹣8×10+1200＝1120（元），
此时30﹣10＝20（副），
答：费用最少的方案是购买A种球拍20副，B种球拍10副，所需费用1120元．
11．（2022•德阳）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍．
（1）求A、B两种树苗的单价分别是多少元？
（2）红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
【解答】解：（1）设A种树苗每株x元，B种树苗每株y元，由题意，得
，
解得，
答：A种树苗每株4元，B种树苗每株5元；
（2）设购买A种树苗a株，则购买B种树苗（100﹣a）株，总费用为w元，
由题意得：a≤25，w≤480，
∵w＝4a+5（100﹣a）＝﹣a+500，
∴﹣a+500≤480，
解得：a≥20，
∴20≤a≤25，
∴a是整数，
∴a取20，21，22，23，24，25，
∴共有6种购买方案，
方案一：购买A种树苗20株，购买B种树苗80株，
方案二：购买A种树苗21株，购买B种树苗79株，
方案三：购买A种树苗22株，购买B种树苗78株，
方案四：购买A种树苗23株，购买B种树苗77株，
方案五：购买A种树苗24株，购买B种树苗76株，
方案六：购买A种树苗25株，购买B种树苗75株，
∵w＝﹣a+500，k＝﹣1＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴a＝25时，w最小，
∴第六种方案费用最低，最低费用是475元．
答：共有6种购买方案，费用最省的购买方案是购买A树苗25株，B种树苗75株，最低费用是475元．
八．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
12．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．
（1）求双曲线y＝上的“黎点”；
（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．
【解答】解：（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m，﹣m），
则有﹣m＝，
∴m＝±3，
经检验，m＝±3的分式方程的解，
∴双曲线y＝上的“黎点”为（3，﹣3）或（﹣3，3）；

（2）∵抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，
∴方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，
即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，
∴ac＝9，
∴a＝，
∵a＞1，
∴0＜c＜9．
九．反比例函数与一次函数的交点问题（共6小题）
13．（2022•雅安）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．
（1）求m的值和点D的坐标；
（2）求DF所在直线的表达式；
（3）若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG．

【解答】解：（1）过A点作AH⊥BO于H，
∵△ABO是等腰直角三角形，A（m，2），
∴OH＝AH＝2，
∴m＝﹣2，
由平移可得D点纵坐标和A点纵坐标相同，设D（n，2），
∵D在y＝图像上，
∴n＝4，
∴D（4，2）．
（2）过D作DM⊥EF于M，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DFM＝45°，
∴DM＝MF＝2，
由D（4，2）得F（6，0），
设直线DF的表达式为：y＝kx+b，将F（6，0）和D（4，2）代入得：
，
解得：，
∴直线DF的表达式为y＝﹣x+6．
（3）延长FD交y＝图像于点G，
，
解得：，，
∴G（2，4），
由（1）得EF＝BO＝2HO＝4，
∴S△EFG＝EF•Gy＝×4×4＝8．

14．（2022•宜宾）如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C、D．若tan∠BAO＝2，BC＝3AC．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OCD的面积．

【解答】解：（1）在Rt△AOB中，tan∠BAO＝＝2，
∵A（4，0），
∴OA＝4，OB＝8，
∴B（0，8），
∵A，B两点在直线y＝ax+b上，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，
过点C作CE⊥OA于点E，
∵BC＝3AC，
∴AB＝4AC，
∴CE∥OB，
∴＝＝，
∴CE＝2，
∴C（3，2），
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）由，解得或，
∴D（1，6），
过点D作DF⊥y轴于点F，
∴S△OCD＝S△AOB﹣S△BOD﹣S△COA
＝•OA•OB﹣•OB•DF﹣•OA•CE
＝×4×8﹣×8×1﹣×4×2
＝8

15．（2022•广元）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象与函数y＝（x＞0）的图象相交于点B（1，6），并与x轴交于点A．点C是线段AB上一点，△OAC与△OAB的面积比为2：3．
（1）求k和b的值；
（2）若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴正半轴上，得到△OA′C′，判断点A′是否在函数y＝（x＞0）的图象上，并说明理由．

【解答】解：（1）∵函数y＝x+b的图像与函数y＝（x＞0）的图像相交于点B（1，6），
∴6＝1+b，6＝，
∴b＝5，k＝6；
（2）点A′不在函数y＝（x＞0）的图象上，理由如下：
过点C作CM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，过A'作A'G⊥x轴于G，
∵点B（1，6），
∴ON＝1，BN＝6，
∵△OAC与△OAB的面积比为2：3，
∴＝＝，
∴＝，
∴CM＝BN＝4，
即点C的纵坐标为4，
把y＝4代入y＝x+5得：x＝﹣1，
∴C（﹣1，4），
∴OC'＝OC＝＝＝，
∵y＝x+5中，当y＝0时，x＝﹣5，
∴OA＝5，
由旋转的性质得：△OAC≌△OA'C'，
∴OA•CM＝OC•A'G，
∴A'G＝＝＝
在Rt△A'OG中，OG＝＝＝，
∴点A'的坐标为（，），
∵×≠6，
∴点A′不在函数y＝（x＞0）的图象上．

16．（2022•德阳）如图，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点A，且点A的横坐标为﹣2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B的坐标是（﹣3，0），若点P在y轴上，且△AOP的面积与△AOB的面积相等，求点P的坐标．

【解答】解（1）∵一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点A，点A的横坐标为﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣×（﹣2）+1＝4，
∴A（﹣2，4），
∴4＝，
∴k＝﹣8，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；

（2）设P（0，m），
∵△AOP的面积与△AOB的面积相等，
∴×|m|×2＝×3×4，
∴m＝±6，
∴P（0，6）或（0，﹣6）．
17．（2022•南充）如图，直线AB与双曲线交于A（1，6），B（m，﹣2）两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC．
（1）求直线AB与双曲线的解析式．
（2）求△ABC的面积．

【解答】解：（1）设双曲线的解析式为y＝，
∵点A（1，6）在该双曲线上，
∴6＝，
解得k＝6，
∴y＝，
∵B（m，﹣2）在双曲线y＝上，
∴﹣2＝，
解得m＝﹣3，
设直线AB的函数解析式为y＝ax+b，
，
解得，
即直线AB的解析式为y＝2x+4；
（2）作BG∥x轴，FG∥y轴，FG和BG交于点G，作BE∥y轴，FA∥x轴，BE和FA交于点E，如右图所示，
直线BO的解析式为y＝ax，
∵点B（﹣3，﹣2），
∴﹣2＝﹣3a，
解得a＝，
∴直线BO的解析式为y＝x，
，
解得或，
∴点C的坐标为（3，2），
∵点A（1，6），B（﹣3，﹣2），C（3，2），
∴EB＝8，BG＝6，CG＝4，CF＝4，AF＝2，AE＝4，
∴S△ABC＝S矩形EBGF﹣S△AEB﹣S△BGC﹣S△AFC
＝8×6﹣﹣﹣
＝48﹣16﹣12﹣4
＝16．

18．（2022•遂宁）已知一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数y2＝交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2．
（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
（2）求出点C的坐标，并根据图象写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围；
（3）若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．

【解答】解：（1）∵B点的横坐标为﹣2且在反比例函数y2＝的图象上，
∴y2＝＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣3），
∵点B（﹣2，﹣3）在一次函数y1＝ax﹣1的图象上，
∴﹣3＝a×（﹣2）﹣1，
解得a＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1，
∵y＝x﹣1，
∴x＝0时，y＝﹣1；x＝1时，y＝0；
∴图象过点（0，﹣1），（1，0），
函数图象如右图所示；
（2），
解得或，
∵一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与反比例函数y2＝交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2，
∴点C的坐标为（3，2），
由图象可得，当y1＜y2时对应自变量x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜3；
（3）∵点B（﹣2，﹣3）与点D关于原点成中心对称，
∴点D（2，3），
作DE⊥x轴交AC于点E，
将x＝2代入y＝x﹣1，得y＝1，
∴S△ACD＝S△ADE+S△DEC＝＝2，
即△ACD的面积是2．

一十．反比例函数综合题（共3小题）
19．（2022•眉山）已知直线y＝x与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点M（2，a）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y＝的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣1），求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．

【解答】（1）解：∵直线y＝x过点M（2，a），
∴a＝2，
∴将M（2，2）代入中，得k＝4，
∴反比例函数的解析式为；

（2）解：由（1）知，反比例函数的解析式为，
∵点A（1，m）在的图象上，
∴m＝4，
∴A（1，4），
由平移得，平移后直线AB的解析式为y＝x+b，
将A（1，4）代入y＝x+b中，得b＝3；

（3）证明：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F．

由（1）知，反比例函数的解析式为，
∵点A（n，﹣1）在的图象上，
∴n＝﹣4，
∴B（﹣4，﹣1），
∵A（1，4），
∴AE＝BF，OE＝OF，
∴∠AEO＝∠BFO，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，
由（2）知，b＝3，
∴平移后直线AB的解析式为y＝x+3，
又∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点C，D，
∴C（﹣3，0），D（0，3），
∴OC＝OD，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）．
20．（2022•泸州）如图，直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝的图象相交于点A，B，已知点A的纵坐标为6．
（1）求b的值；
（2）若点C是x轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．

【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y＝上，且A的纵坐标为6，
∴点A（2，6），
∵直线y＝﹣x+b经过点A，
∴6＝﹣×2+b，
∴b＝9；
（2）如图，设直线AB与x轴的交点为D，

设点C（a，0），
∵直线AB与x轴的交点为D，
∴点D（6，0），
由题意可得：，
∴，，
∴点B（4，3），
∵S△ACB＝S△ACD﹣S△BCD，
∴3＝×CD×（6﹣3），
∴CD＝2，
∴点C（4，0）或（8，0）．
21．（2022•自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，2），B（m，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，求点C的坐标．

【解答】解：（1）∵A（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝2×（﹣1）＝﹣2，
∴其函数解析式为y＝﹣；
∵B（m，﹣1）在反比例函数的图象上，
∴﹣m＝﹣2，
∴m＝2，
∴B（2，﹣1）．
∵A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+1；

（2）∵直线l∥y轴，AD⊥l，
∴AD＝3，D（2，2），
∵DC＝2DA，
∴DC＝6，
∵点C是直线l上一动点，
∴C（2，8）或（2，﹣4）．
一十一．全等三角形的判定与性质（共2小题）
22．（2022•宜宾）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝EF．求证：AD＝CF．

【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠EDF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∴AC＝DF，
∴AC﹣DC＝DF﹣DC，
即：AD＝CF．
23．（2022•自贡）如图，△ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DB＝EC．求证：∠D＝∠E．

【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABD＝∠ACE＝120°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠D＝∠E．
一十二．平行四边形的性质（共1小题）
24．（2022•泸州）如图，E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的点，已知AE＝CF．求证：DE＝BF．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF．
一十三．菱形的性质（共1小题）
25．（2022•南充）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分别与AC交于点M，N．
求证：（1）△ADE≌△CDF．
（2）ME＝NF．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB，
∵BE＝BF，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）由（1）知△ADE≌△CDF，
∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAM＝∠DCN，
∵∠ADM＝∠CDN，
∴∠DMA＝∠DNC，
∴∠DMN＝∠DNM，
∴DM＝DN，
∴DE﹣DM＝DF﹣DN，
∴ME＝NF．
一十四．菱形的判定与性质（共1小题）
26．（2022•凉山州）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．

【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△FAE≌△CDE（AAS），
∴AF＝CD，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BD＝BC，
∴四边形ADBF是菱形；
（2）解：∵四边形ADBF是菱形，
∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，
∵点D是BC的中点，
∴△ABC的面积＝2△ABD的面积，
∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40，
∴AB•AC＝40，
∴×8•AC＝40，
∴AC＝10，
∴AC的长为10．
一十五．矩形的判定与性质（共1小题）
27．（2022•德阳）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H．点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动．设点E，F的运动时间为t（单位：s），且0＜t＜3，过F作FG⊥BC于点G，连结EF．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）连结FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

【解答】（1）证明：∵EH⊥BC，FG⊥BC，
∴EH∥FG，
由题意知BF＝2tcm，EH＝tcm，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴FG＝BF＝t，
∴EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵∠FGH＝90°，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）△BFC与△DCE能够全等，
理由：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝2cm，AB∥CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∠DCH＝∠ABC＝60°，
∵DH⊥BC，
∴∠CHD＝90°，
∴∠CDH＝90°﹣60°＝30°＝∠CBF，
在Rt△CDH中，cos∠CDH＝，
∴DH＝2×＝3，
∵BF＝2tcm，
∴EH＝tcm，
∴DE＝（3﹣t）cm，
∴当BF＝DE时，△BFC≌△DEC，
∴2t＝3﹣t，
∴t＝1．
一十六．正方形的性质（共1小题）
28．（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°，
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
又∵DF＝BE，
∴OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形，
∵AB＝3，
∴AC＝BD＝6，
∵BE＝DF＝2，
∴四边形AECF的面积＝AC•EF＝×6×2＝6．

一十七．切线的判定与性质（共1小题）
29．（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝∠BAC，连接OD交BC于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．

【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠BCD＝∠BAC，
∴∠OCB+∠DCB＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：过点O作OH⊥BC于点H．
∵sin∠BAC＝＝，
∴可以假设BC＝4k，AB＝5k，则AO＝OC＝CE＝2.5k，
∵OH⊥BC，OC＝OB
∴CH＝BH＝2k，
∵OA＝OB，AC2＝AB2﹣BC2，
∴OH＝AC＝k，
∴EH＝CE﹣CH＝2.5k﹣2k＝0.5k，
∴tan∠CEO＝＝＝3．

一十八．圆的综合题（共3小题）
30．（2022•内江）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

【解答】解：（1）直线AF与⊙O相切．
理由如下：连接OC，

∵PC为圆O切线，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠AOF＝∠COF，
∵在△AOF和△COF中，
，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF＝∠OCF＝90°，
∴AF⊥OA，
又∵OA为圆O的半径，
∴AF为圆O的切线；
（2）∵∠AOF＝∠COF，OA＝OC，
∴E为AC中点，
即AE＝CE＝AC，OE⊥AC，
∵∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2，
∴tan∠AOF＝，
∴∠AOF＝30°，
∴AE＝OA＝3，
∴AC＝2AE＝6；
（3）∵AC＝OA＝6，OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OC＝6，
∵∠OCP＝90°，
∴CP＝OC＝6，
∴S△OCP＝OC•CP＝＝18，S扇形AOC＝＝6π，
∴阴影部分的面积为S△OCP﹣S扇形AOC＝18﹣6π．
31．（2022•雅安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接CE，求证：△ACE∽△ADC；
（3）若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC．

【解答】（1）证明：过点O作OF⊥AB于F，

∵AO是△ABC的角平分线，OF⊥AB，OC⊥AC，
∴OF＝OC（即OF是⊙O的半径），
∴AB是⊙O的切线；
（2）证明：∴OC是⊙O的半径，OC⊥AC，
∴∠ACE+∠ECO＝90°，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠DCE＝90°，
∴∠EDC+∠DEC＝90°，
∵∠DEC＝∠ECO，
∴∠ACE＝∠EDC，
∵∠EAC＝∠CAD，
∴△ACE∽△ADC；
（3）解：∵＝，△ACE∽△ADC，
∴，
∴AC2＝AE•AD，
设AE为a，则AC＝2a，AD＝a+12，
∴（2a）2＝a（a+12），
∴a1＝4，a2＝0（舍去），
∴AC＝8，
∴tan∠OAC＝＝．
32．（2022•眉山）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：BC是∠ABD的角平分线；
（2）若BD＝3，AB＝4，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接OC，如图1，

∵CD与⊙O相切于点C，OC为半径，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠DBC＝∠OBC，
∴BC平分∠ABD；
（2）解：如图2，

∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC＝∠CBD，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BD⊥DC，
∴∠D＝90°，
∴∠ACB＝∠D，
∴△ABC∽△CBD，
∴，
∴BC2＝AB•BD，
∵BD＝3，AB＝4，
∴BC2＝3×4＝12，
∴或﹣2（不符合题意，舍去），
∴BC的长为2；
（3）解：如图3，作CE⊥AO于E，连接OC，

∵AB是直径，AB＝4，
∴OA＝OC＝2，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝2，
∴AO＝CO＝AC＝2，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵CE⊥OA，
∵OE＝OA＝1，
∴，
∴阴影部分的面积为：．
一十九．利用旋转设计图案（共1小题）
33．（2022•广安）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．（规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形），

【解答】解：图形如图所示：

二十．相似三角形的判定与性质（共3小题）
34．（2022•宜宾）如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且EG＝EC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，BD＝4，sin∠D＝，求EC的长．

【解答】（1）证明：连接OC，如图所示，
∵EF⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴∠GFA＝90°，∠ACB＝90°，
∴∠A+∠AGF＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∴∠AGF＝∠ABC，
∵EG＝EC，OC＝OB，
∴∠EGC＝∠ECG，∠ABC＝∠BCO，
又∵∠AGF＝∠EGC，
∴∠ECG＝∠BCO，
∵∠BCO+∠ACO＝90°，
∴∠ECG+∠ACO＝90°，
∴∠ECO＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，DE是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵BD＝4，sin∠D＝，OC＝OB，
∴＝，
即＝，
解得OC＝2，
∴OD＝6，
∴DC＝＝＝4，
∵点F为OA的中点，OA＝OC，
∴OF＝1，
∴DF＝7，
∵∠EFD＝∠OCD，∠EDF＝∠ODC，
∴△EFD∽△OCD，
∴，
即，
解得DE＝，
∴EC＝ED﹣DC＝﹣4＝，
即EC的长是．

35．（2022•广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：连接OD，CD，

∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDB＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵点E是边BC的中点，
∴DE＝CE＝BC，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴∠ODC+∠CDE＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AD＝4，BD＝9，
∴AB＝AD+BD＝4+9＝13，
∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠A＝∠A，
∴△ACB∽△ADC，
∴＝，
∴AC2＝AD•AB＝4×13＝52，
∴AC＝2，
∴⊙O的半径为．

36．（2022•遂宁）如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．

【解答】（1）证明：如图1，连接OD．

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD＝90°，
∵BC∥PD，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴OD⊥PD，
∵OD是半径，
∴PD是⊙O的切线．
（2）证明：∵BC∥PD，
∴∠PDC＝∠BCD．
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，
∴∠ABD＝∠PCD，
∴△ABD∽△DCP；
（3）解：如图，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵BD＝CD，
∴BD＝CD＝5，
由（2）知：△ABD∽△DCP，
∴＝，即＝，
∴CP＝，
∴AP＝AC+CP＝8+＝，
∵∠ADB＝∠ACB＝∠P，∠BAD＝∠DAP，
∴△BAD∽△DAP，
∴＝，即＝，
∴AD2＝6×＝98，
∴AD＝7，
∵OE⊥AD，
∴DE＝AD＝，
∴OE＝＝＝，
即点O到AD的距离是．
二十一．相似形综合题（共1小题）
37．（2022•内江）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．
（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
（2）若＝2，求的值；
（3）若MN∥BE，求的值．

【解答】（1）证明：∵F为BE的中点，
∴BF＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠BMF＝∠ECF，
∵∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF≌△ECF（AAS），
∴BM＝CE，
∵点E为CD的中点，
∴CE＝DE，
∴BM＝CE＝DE，
∵AB＝CD，
∴AM＝CE；
（2）解：∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF∽△ECF，
∴，
∵CE＝3，
∴BM＝，
∴AM＝，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMN+∠BMC＝90°，
∵∠AMN+∠ANM＝90°，
∴∠ANM＝∠BMC，
∵∠A＝∠MBC，
∴△ANM∽△BMC，
∴，
∴，
∴，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，
∴；
（3）解：∵MN∥BE，
∴∠BFC＝∠CMN，
∴∠FBC+∠BCM＝90°，
∵∠BCM+∠BMC＝90°，
∴∠CBF＝∠CMB，
∴tan∠CBF＝tan∠CMB，
∴，
∴，
∴，
∴＝，
由（2）同理得，，
∴，
解得AN＝，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，
∴＝．
二十二．解直角三角形（共1小题）
38．（2022•乐山）如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，＝，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．
（1）求证：CG＝DG；
（2）已知⊙O的半径为6，sin∠ACE＝，延长AC至点B，使BC＝4．求证：BD是⊙O的切线．

【解答】证明：（1）连接AD，
∵线段AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDG＝90°，
∵DF⊥BC，
∴∠DFA＝∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠CDG＝∠DAF，
∵＝，
∴∠DAF＝∠DCG，
∴∠CDG＝∠DCG，
∴CG＝DG；
（2）连接OD，交CE于H，

∵＝，
∴OD⊥EC，
∵sin∠ACE＝＝，
∵BC＝4，OD＝OC＝6，
∴＝＝，
∴＝，
∵∠COH＝∠BOD，
∴△COH∽△BOD，
∴∠BDO＝∠CHO＝90°，
∴OD⊥BD，
∵OD是⊙O的半径，
∴BD是⊙O的切线．
二十三．解直角三角形的应用（共3小题）
39．（2022•内江）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．
（1）求河的宽度；
（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）

【解答】解：（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，

设CE＝x米，
∵CD＝60米，
∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，
∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，
在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝30+30，
经检验：x＝30+30是原方程的根，
∴AE＝（30+30）米，
∴河的宽度为（30+30）米；
（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，

则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，
在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，
∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），
∴古树A、B之间的距离为20米．


40．（2022•达州）某老年活动中心欲在一房前3m高的前墙（AB）上安装一遮阳篷BC，使正午时刻房前能有2m宽的阴影处（AD）以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，遮阳篷BC与水平面的夹角为10°．如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷BC的长度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18；sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00）

【解答】解：作DF⊥CE交CE于点F，
∵EC∥AD，∠CDG＝63.4°，
∴∠FCD＝∠CDG＝63.4°，
∵tan∠FCD＝，tan63.4°≈2.00，
∴＝2，
∴DF＝2CF，
设CF＝xm，则DF＝2xm，BE＝（3﹣2x）m，
∵AD＝2m，AD＝EF，
∴EF＝2m，
∴EC＝（2+x）m，
∵tan∠BCE＝，tan10°≈0.18，
∴0.18＝，
解得x≈1.21，
∴BE＝3﹣2x＝0.58（m），
∵sin∠BCE＝，
∴BC＝＝≈3.4（m），
即此遮阳篷BC的长度约为3.4m．

41．（2022•成都）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A'OB＝108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长．（结果精确到1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

【解答】解：∵∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOB＝30°，
在Rt△ACO中，AC＝10cm，
∴AO＝2AC＝20（cm），
由题意得：
AO＝A′O＝20cm，
∵∠A′OB＝108°，
∴∠A′OD＝180°﹣∠A′OB＝72°，
在Rt△A′DO中，A′D＝A′O•sin72°≈20×0.95＝19（cm），
∴此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长约为19cm．
二十四．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
42．（2022•凉山州）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．

【解答】解：由已知可得，
BD∥EF，AB＝16米，∠E＝30°，∠BDA＝∠BDC＝90°，
∴∠E＝∠DBA＝30°，
∴AD＝8米，
∴BD＝＝＝8（米），
∵∠CBD＝45°，∠CDB＝90°，
∴∠C＝∠CBD＝45°，
∴CD＝BD＝8米，
∴BC＝＝＝8（米），
∴AC+CB＝AD+CD+CB＝（8+8+8）米，
答：压折前该输电铁塔的高度是（8+8+8）米．

二十五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共4小题）
43．（2022•宜宾）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：≈1.7，≈1.4）


【解答】解：由已知可得，
tan∠BAF＝＝，AB＝25米，∠DBE＝60°，∠DAC＝45°，∠C＝90°，
设BF＝7a米，AF＝24a米，
∴（7a）2+（24a）2＝252，
解得a＝1，
∴AF＝24米，BF＝7米，
∵∠DAC＝45°，∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠ADC＝45°，
∴AC＝DC，
设DE＝x米，则DC＝（x+7）米，BE＝CF＝x+7﹣24＝（x﹣17）米，
∵tan∠DBE＝＝，
∴tan60°＝，
解得x≈41，
答：东楼的高度DE约为41米．
44．（2022•广元）如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度．

【解答】解：过点A作AH⊥DE，垂足为H，

设EH＝x米，
在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，
∴AH＝EH•tan45°＝x（米），
∵CE＝80米，
∴CH＝CE+EH＝（80+x）米，
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝40+40，
经检验：x＝40+40是原方程的根，
∴AH＝EH＝（40+40）米，
在Rt△AHD中，∠ADH＝45°，
∴DH＝＝（40+40）米，
∴EF＝EH+DH﹣DF＝（80+70）米，
∴隧道EF的长度为（80+70）米．

45．（2022•自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理
制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这两个角相等的理由．

（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH．（≈1.73，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角α、β，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH（用α、β、m表示）．

【解答】解：（1）∵∠COG＝90°，∠AON＝90°，
∴∠POC+∠CON＝∠GON+∠CON，
∴∠POC＝∠GON；
（2）由题意可得，
KH＝OQ＝5米，QH＝OK＝1.5米，∠PQO＝90°，∠POQ＝60°，
∵tan∠POQ＝，
∴tan60°＝，
解得PQ＝5，
∴PH＝PQ+QH＝5+1.5≈10.2（米），
即树高PH为10.2米；
（3）由题意可得，
O1O2＝m，O1E＝O2F＝DH＝1.5米，
由图可得，tanβ＝，tanα＝，
∴O2D＝，O1D＝，
∵O1O2＝O2D﹣O1D，
∴m＝﹣，
∴PD＝，
∴PH＝PD+DH＝（+1.5）米．
46．（2022•遂宁）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝5：12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．
（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）

【解答】解：如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP是矩形，

∴FB＝PH，FH＝PB，
由i＝5：12，可以假设BP＝5x，AP＝12x，
∵PB2+PA2＝AB2，
∴（5x）2+（12x）2＝26，
∴x＝2或﹣2（舍去），
∴PB＝FH＝10，AP＝24，
设EF＝a米，BF＝b米，
∵tan∠EBF＝，
∴≈2，
∴a≈2b①，
∵tan∠EAH＝＝＝，
∴≈1.2②，
由①②得a≈47，b≈23.5，
答：塔顶到地面的高度EF约为47米．
二十六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
47．（2022•泸州）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．

【解答】解：由题意得，∠CAB＝∠ABC＝45°，BC＝8nmile．
∴∠C＝90°，
∴AB＝＝BC＝8＝16（nmile），
过D作DH⊥AB于H，
则∠AHD＝∠BHD＝90°，
在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，AD＝10nmile，cos∠ADH＝，
∴AH＝AD＝5nmile，DH＝10•cos30°＝10×＝5，
∴BH＝AB﹣AH＝11nmile，
在Rt△BDH中，
BD＝＝＝14（nmile），
答：B，D间的距离是14nmile．

二十七．列表法与树状图法（共6小题）
48．（2022•广安）某校在开展线上教学期间，为了解七年级学生每天在家进行体育活动的时间（单位：h），随机调查了该年级的部分学生．根据调查结果，绘制出如下的扇形统计图1和条形统计图2，请根据相关信息，解答下列问题：

（1）本次随机调查的学生共有 　40　人，图1中m的值为 　15　．
（2）请补全条形统计图．
（3）体育活动时间不足1小时的四人中有3名女生A1、A2、A3和1名男生B．为了解他们在家体育活动的实际情况，从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用列表法或画树状图法，求恰好抽到两名女生的概率，
【解答】解：（1）本次随机调查的学生共有4÷10%＝40（人），
m%＝1﹣（10%+7.5%+30%+37.5%）＝15%，即m＝15；
故答案为：40，15；
（2）1.2h的人数为40×15%＝6（人），
补全图形如下：

（3）列表如下：

A1
A2
A3
B
A1

（A2，A1）
（A3，A1）
（B，A1）
A2
（A1，A2）

（A3，A2）
（B，A2）
A3
（A1，A3）
（A2，A3）

（B，A3）
B
（A1，B）
（A2，B）
（A3，B）

共有12种可能的结果，恰好抽到两名女生的有6种结果，
所以抽到两名女生的概率为＝．
49．（2022•内江）为让同学们了解新冠病毒的危害及预防措施，某中学举行了“新冠病毒预防”知识竞赛．数学课外活动小组将八（1）班参加本校知识竞赛的40名同学的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组进行统计，并绘制了下列不完整的统计图表：
分数段
频数
频率
74.5﹣79.5
2
0.05
79.5﹣84.5
8
n
84.5﹣89.5
12
0.3
89.5﹣94.5
m
0.35
94.5﹣99.5
4
0.1
（1）表中m＝　14　，n＝　0.2　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．

【解答】解：（1）m＝40×35%＝14，n＝8÷40＝0.2，
故答案为：14，0.2；
（2）补全频数分布直方图如下：

（3）∵成绩在94.5分以上的选手有4人，男生和女生各占一半，
∴2名是男生，2名是女生，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
∴确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为＝．
50．（2022•广元）为丰富学生课余活动，明德中学组建了A体育类、B美术类、C音乐类和D其它类四类学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动．学校随机抽取八年级（1）班全体学生进行调查，以了解学生参团情况．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）八年级（1）班学生总人数是 　40　人，补全条形统计图，扇形统计图中区域C所对应的扇形的圆心角的度数为 　90°　；
（2）明德中学共有学生2500人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数；
（3）校园艺术节到了，学校将从符合条件的4名社团学生（男女各2名）中随机选择两名学生担任开幕式主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．


【解答】解：（1）八年级（1）班学生总人数是：12÷30%＝40，
选择C的学生有：40﹣12﹣14﹣4＝10（人），
扇形统计图中区域C所对应的扇形的圆心角的度数为：360°×＝90°，
故答案为：40，90°，
补全的条形统计图如右图所示；
（2）2500×＝1625（人），
答：估算该校参与体育类和美术类社团的学生有1625人；
（3）设男生用A表示，女生有B表示，
树状图如下所示：

由上可得，存在12种可能性，其中恰好选中1名男生和1名女生的可能性有8种，
故恰好选中1名男生和1名女生的概率是＝．

51．（2022•凉山州）为丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展．某中学团委组建了各种兴趣社团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自己的爱好从美术、演讲、声乐、舞蹈、书法中选择其中1个社团．某班班主任对该班学生参加社团的情况进行调查统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息完成下列各题：

（1）该班的总人数为 　50　人，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数）；
（2）在该班团支部4人中，有1人参加美术社团，2人参加演讲社团，1人参加声乐社团．如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率．
【解答】解：（1）该班总人数为12÷24%＝50（人），
则选择“演讲”人数为50×16%＝8（人），
补全图形如下：

故答案为：50；
（2）设美术社团为A，演讲社团为B，声乐社团为C．画树状图为：

由树状图知，共有12种等可能的结果数，其中选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的有4种结果，
所以选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率为＝．
52．（2022•德阳）据《德阳县志》记载，德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间，明末因兵灾焚毁，清乾隆五十二年重建．在没有高层建筑的时代，德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在云里头”的故事．1971年，因破四旧再次遭废．现在的钟鼓楼是老钟鼓楼的仿制品，于2005年12月27日破土动工，2007年元旦落成，坐落东山之巅，百尺高楼金碧辉煌，流光溢彩；万丈青壁之间，银光闪烁，蔚为壮观，已经成为人们休闲的打卡胜地．
学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：

（1）设本次问卷调查共抽取了m名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是n度，分别写出m，n的值；
（2）根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？
（3）为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率．
【解答】解：（1）由图（1）可知：“基本了解”的人数为40人，
由图（2）可知：“基本了解”的人数占总数的20%，
∴m＝40÷20%＝200（人）；
由图（1）可知：“比较了解”有100人，
∴“比较了解”所对应扇形的圆心角是180°，
由图2知：“不太了解”所对应扇形的圆心角是n＝360°×（50%﹣20%﹣28%）＝7.2度；
（2）由图2知：“非常了解”的人数占总人数的28%，
于是估计在12000名市民中，“非常了解”的人数有12000×28%＝3360（人）．
答：在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有3360人．
（3）从3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，抽查情况列表如下：

由上表可知，一共有20种等可能，其中恰好抽到一男一女的情况有12种，
∴恰好抽到一男一女的概率为．
53．（2022•南充）为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了四个项目：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．挑战数学游戏．要求七年级学生每人只能参加一项．为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图（如图），请根据图表信息解答下列问题：
项目
A
B
C
D
人数/人
5
15
a
b
（1）a＝　20　，b＝　10　．
（2）扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为 　108　度．
（3）在月末的展示活动中，“C”项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有2人获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用列表或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率．

【解答】解：（1）被调查的总人数为5÷10%＝50（人），
∴b＝50×20%＝10（人），
则a＝50﹣（5+15+10）＝20，
故答案为：20，10；
（2）扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为360°×＝108°，
故答案为：108；
（3）七（1）班3人分别用A、B、C表示，七（2）班2人分别D、E表示，
根据题意列表如下：

A
B
C
D
E
A

（B，A）
（C，A）
（D，A）
（E，A）
B
（A，B）

（C，B）
（D，B）
（E，B）
C
（A，C）
（B，C）

（D，C）
（E，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）

（E，D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
（D，E）

共有20种等可能的情况数，其中这两人来自不同班级的有12种，
则这两人来自不同班级的概率是＝．