2022-2023学年北师大版（2019）必修一5.1 方程解的存在性及方程的近似解 同步课时训练(word版含答案)

5.1  方程解的存在性及方程的近似解 同步课时训练

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共40分)

1、(4分)已知函数在内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间至少需要二等分(   )

A.8次 B.9次 C.10次 D.11次

2、(4分)若为奇函数，且是的一个零点，则一定是下列函数_________的零点.(   )

A. B. C. D.

3、(4分)在用二分法求方程在内近似根的过程中，已经得到，，，则方程的根落在区间(   ).

A. B. C. D.不能确定

4、(4分)设，函数，若在区间内恰有4个零点，则a的取值范围是(   )

A.   B.

C.   D.

5、(4分)已知函数为偶函数，则函数的零点之和为(   )

A. B. C. D.0

6、(4分)若函数的图象是在上连续不断的曲线，且满足，，，则下列说法正确的是(   )

A.在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点

B.在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点

C.在区间上一定有零点，在区间上可能没有零点

D.在区间上可能有零点，在区间上一定有零点

7、(4分)函数的零点所在的区间为(   )

A. B. C. D.

8、(4分)已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的顺序为(   ).

A. B. C. D.

9、(4分)函数在内的零点个数为(   ).

A.0 B.1 C.2 D.3

10、(4分)设，在用二分法求方程在内近似解的过程中，已经得到，，，则方程的根落在区间(   )

A．   B．   C．  D．不能确定

二、填空题(共25分)

11、(5分)已知函数若函数有两个零点，则实数k的取值范围是__________.

12、(5分)已知函数，若，则函数的所有零点构成的集合是________；若方程有两个解，则实数m的取值范围是________.

13、(5分)已知函数函数满足以下三点条件：①定义域为R；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为_________个.

14、(5分)已知函数，，则函数的零点个数为________个．

15、(5分)已知函数.若方程在区间有三个不等实根，实数的取值范围为___________.

三、解答题(共35分)

16、(8分)已知函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围.

17、(9分)已知函数的两个零点分别为1和2.

（1）求实数m、n的值；

（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围.

18、(9分)已知函数.

（1）讨论的零点个数；

（2）当时，设的极值点为，一个零点为，证明：.

19、(9分)已知函数，若有两个零点，.

（1）求的取值范围；

（2）若，证明：.

参考答案

1、答案：D

解析：本题考查二分法求方程近似值的过程.设对区间至少二等分n次，此时区间长度为2，则第n次二等分后区间长为，依题意得，，，所以.

2、答案：A

解析：是奇函数，，又是的一个零点，，，把分别代入下面四个选项.

对于A，，故A正确；

对于B，，当时不为0，故B不正确；

对于C，，故C不正确；

对于D，，故D不正确.故选A.

3、答案：B

解析：设，，，，在R上连续且单调递增，在区间内，函数存在一个零点，又，，同理可知，在区间内，函数存在一个零点，由此可得方程的根落在区间内，故选B.

4、答案：A

解析：由题意在上有零点.

而的对称轴为，

故有，解得.

注意到.

（1）当时，即时，在上有两个零点.

（事实上，在上有两个零点）

此时，，且在上有两个零点.

又，，

故在上有两个零点.

所以，当时，在区间内恰有4个零点

（2）当时，即时，在上有一个零点.

要是在区间内恰有4个零点，则必在区间上.

从而，解得.

又区间的长度大于6，得.此时，.

（注：当时，在，，上各有一个零点）

故当时，在区间内恰有4个零点.

而，

解得.

所以，当时，在区间内恰有4个零点.

（3）当时，即时，易知在内仅有2个零点，不符.

综上，.

5、答案：B

解析：

6、答案：D

解析：本题考查零点存在的定理判断.由于，，所以在区间上一定有零点，在区间上无法确定，可能有，也可能没有.

7、答案：C

解析：

8、答案：B

解析：函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，

函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，

函数的零点为函数与的图象交点的横坐标.

在同一平面直角坐标系内分别作出函数，，与的图象如图所示：

由图可知，，，，所以.故选B.

9、答案：B

解析：由可得或.

当时，由可得，方程在时无解.

综上所述，函数在内的零点个数为1.故选B.

10、答案：B

解析：方程的解等价于的零点.由于在R上连续且单调递增, ,所以在内有零点且唯一,所以方程的根落在区间,故选B.

11、答案：

解析：有两个零点，即有两个根，即函数的图象与直线有两个交点，如图所示，显然，当或时，函数与有两个交点，故k的取值范围为.

12、答案：；

解析：本题考查分段函数的零点问题.当时，，令，得；当时，，令，得或（舍去）.故的零点为-1和2.根据函数的示意图（如图）可知或.

13、答案：6

解析：当时，，故，

同理可得当时，，此时，故在无零点，

同理在也无零点.因为，故将，上的图象向右平移个单位后，图象伸长为原来的两倍，在平面直角坐标系，、在上的图象如图所示：因为，，，

故、在上的图象共有5个不同交点，

下证：当，有且只有一个零点.

此时，而，故在上为减函数，

故当，有，当且仅当时等号成立.故、在上的图象共有6个不同交点，即在有6个不同的零点，故填：6.

14、答案：10

解析：令 得 ， 令 得 或 ， 解得 或 或. 或 或. 作出 的函数图象如图所示:

由图象可知 有 4 个解， 有两个解， 有 4 个解，
共有 10 个零点.

15、答案：

解析：当时，，
当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
作出函数在区间上的图象如图：

设直线，要使在区间上有3个不等实根，
即直线与函数的图象在区间上有个交点，
由图象可知或，
所以实数的取值范围是．

故答案为．

16、答案：

解析：，则，令，解得或（舍去），
所以在区间上必有一个解，则，
所以实数a的取值范围是.

17、答案：（1）

（2）

解析：（1）由函数的两个零点分别为1和2，可得

解得

（2）由（1）可得，

由不等式在上恒成立，可得不等式在上恒成立，可将化为，

所以在上的最小值为，所以.

18、答案：（1）当或时，仅有一个零点；当或时，有两个零点

（2）见解析

解析：（1）由题意得的定义域为，，

当时，，在上单调递增，

易知有且仅有一个零点.

当时，有唯一解，

易知在上，，单调递减，

且，，

所以在上有一个零点，

在上，，单调递增，结合，可得在上有一个零点，

故在，上各有一个零点.

当时，令，得，易知在上，，单调递减，在上，，单调递增，故的最小值为，故仅有一个零点.

当时，有唯一解，

易知在上，，单调递减，且，所以在上有一个零点，

在上，，单调递增，且，，所以在上有一个零点，

故在，上各有一个零点.

综上，当或时，仅有一个零点；当或时，有两个零点.

（2）由（1）知有和两个零点，

因为，所以，.

要证，即证，

因为在上单调递增，，

所以只需证，

易知，代入上式并整理，得，

即证，

令，

则，

所以在上单调递减，，

故，得证.

将代入，

得，即，

易知当时，，

所以，得.

综上，.

19、答案：（1）（2）证明见解析

解析：（1）∵

有两个零点，且，，是方程的两个根

由即有两个实数根，

设，所以所以得，得，

所以在上单调递增，在单调递减，

又趋近于0时，趋近于；趋近于时，趋近于0，且，

所以作出函数的大致图像，如图，

（2）设，，

由已知

，

，即

设，，

设

当时，，，在递增，又，，