高中数学选择性必修一江苏省无锡市第一中学-2021学年度第一学期高二数学期中试卷（含答案）

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这是一份高中数学选择性必修一江苏省无锡市第一中学-2021学年度第一学期高二数学期中试卷（含答案），共15页。
无锡市第一中学2020—2021学年度第一学期期中试卷高二数学 2020.11命题：吴明飞审核：程言峰一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果命题，命题，那么命题是命题的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.在平面内，到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.直线 3.在等差数列中，，则 A.2 B. 3 C. 4 D.54.已知等比数列的各项均为正实数，其前项和为，若，，则A.32 B.31 C.64 D.635.若椭圆的焦距为2，则实数的值为A.5 B.2 C.2或9 D.5或7 6.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1,3,6,10，前后两项之差得到新数列2,3,4，新数列2,3,4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为A. 184 B. 174 C. 188 D. 1607.已知数列满足，．设，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是A. B. C. D.8.数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于A.9 B.10 C.11 D.12二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.设等差数列的前项和为，若，，则有 A. B. C. D.10.已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是A.双曲线的方程为 B.双曲线的离心率为C.曲线经过双曲线的一个焦点 D.焦点到渐近线的距离为11.下列说法正确的是A.“”是“”的必要不充分条件B.“”是“”的充分不必要条件C.“”是“成等比数列”的充要条件D.设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件12.已知两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是A.爆炸点在以为焦点的椭圆上B.爆炸点在以为焦点的双曲线的一支上C.若监测点的声强是监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到监测点的距离为米D.若监测点的声强是监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到监测点的距离为米三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.命题“”的否定是 ▲ .14.椭圆的右焦点为，以点为焦点的抛物线的标准方程是 ▲ .15.已知是椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为 ▲ .16.如图，在中，，点为的中点，点为线段垂直平分线上的一点，且，固定边，在平面内移动顶点，使得的内切圆始终与切于线段的中点，且在直线的异侧，在移动过程中，当取得最大值时，的面积为 ▲ . 四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列.(1)求的通项公式；(2)已知，求数列的前项和. ▲ ▲ ▲18.（本小题满分10分）已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“曲线表示双曲线”.（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． ▲ ▲ ▲ 19.（本小题满分12分）已知直线与椭圆交于两点.（1）在，条件下，求的面积的最大值；（2）当，时，求直线的方程. ▲ ▲ ▲ 20.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列，其前项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和． ▲ ▲ ▲ 21.（本小题满分12分）某同学尝试用数学模型来说明隔离和医疗两大因素在对抗传染病时的作用.模型假设如下：假设1、传染病在人群中的表现有潜伏期和爆发期两种形式，潜伏期无症状，爆发期可以被人识别，无论在潜伏期还是爆发期的病人都具有相同的传染性.潜伏期时间记为m0，以潜伏期时间m0为一个传染周期；假设2、记r0为一个病人在一个传染周期内平均感染人数；假设3、某一固定区域（如某个城市）的人群，保持原有的生活习惯，即r0不变.（1）第一模型：无干预模型.在上述模型假设中，取m0=1天，r0=1.2，假设初始的潜伏期人数为1万人，那么1天后将有1万人处于爆发期，1.2万人处于潜伏期，感染总人数为2.2万人，…，请问9天后感染总人数是多少？（2）第二模型：无限医疗模型.增加两个模型假设：假设4、政府和社会加大医疗投入，将所有爆发期的病人“应收尽收”；假设5、潜伏期病人在传染健康人群后转为爆发期病人，然后被收入医院，收入医院的病人即失去传染性；在第二模型中，取m0=1天，r0=1.2，假设初始的潜伏期人数为1万人，请问多少天后感染总人数将超过1000万？（参考数据：，，，，，，）. ▲ ▲ ▲ 22.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离为，为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上两点（异于顶点），且的面积为，设射线，的斜率分别为，求的值；（3）设直线与椭圆交于两点（直线不过顶点），且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点. ▲ ▲ ▲ 无锡市第一中学2020—2021学年度第一学期期中试卷高二数学 2020.11命题：吴明飞审核：程言峰一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果命题，命题，那么命题是命题的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A解析：∵，但，∴命题是命题的充分不必要条件，故选A．2．在平面内，到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线答案：A解析：根据抛物线的定义即可判断出来，选A．3．在等差数列中，，则 A．2 B．3 C．4 D．5答案：C解析：，∴．4．已知等比数列的各项均为正实数，其前项和为，若，，则A．32 B．31 C．64 D．63答案：B解析：数列的各项均为正实数，， ∴．5．若椭圆的焦距为2，则实数的值为A．5 B．2 C．2或9 D．5或7 答案：D解析：9﹣(m＋3)＝±1，解得m＝5或7．6．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1,3,6,10，前后两项之差得到新数列2,3,4，新数列2,3,4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为A．184 B．174 C．188 D．160答案：B解析：由题意知：，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故，，所以．7．已知数列满足，．设，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是A． B． C． D．答案：C解析：，，对恒成立，参变分离得，，故选C．8．数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于A．9 B．10 C．11 D．12答案：D解析：，，当1≤n≤13时，＞0；当n≥14时，＜0，又，故当n＝12时，取得最大值．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．设等差数列的前项和为，若，，则有 A． B． C． D．答案：AC解析：，，，．10．已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为C．曲线经过双曲线的一个焦点 D．焦点到渐近线的距离为答案：ACD解析：设双曲线方程为：，双曲线C过点，，即，所以双曲线C的方程为，A正确；，故B错误；曲线经过点(2，0)，该点为双曲线的右焦点，故C正确；焦点到渐近线的距离为1，故D正确．故选ACD．11．下列说法正确的是A．“”是“”的必要不充分条件B．“”是“”的充分不必要条件C．“”是“成等比数列”的充要条件D．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件答案：AB解析：∵，，故A正确； ∵，，故B正确；当a＝b＝c＝0时，不成等比数列，故C错误；当，时，等比数列为递减数列，故D错误．故选AB．12．已知两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是A．爆炸点在以为焦点的椭圆上B．爆炸点在以为焦点的双曲线的一支上C．若监测点的声强是监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到监测点的距离为米D．若监测点的声强是监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到监测点的距离为米答案：BD解析：设爆炸点为P，由题意知PA﹣PB＝680，故爆炸点在以为焦点的双曲线的一支上，A错，B正确；若监测点的声强是监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），∴PA2＝4PB2，即PA＝2PB，∵PA﹣PB＝680，∴PB＝680，故C错，D正确．故选BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．命题“”的否定是 ▲ ．答案：解析：全称量词命题的否定，首先全称量词变为存在量词，其次否定结论．14．椭圆的右焦点为，以点为焦点的抛物线的标准方程是 ▲ ．答案：解析：首先求得F(，0)，则抛物线方程为．15．已知是椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为 ▲ ．答案：解析：由题意知点(，)在椭圆上，所以，，，．16．如图，在中，，点为的中点，点为线段垂直平分线上的一点，且，固定边，在平面内移动顶点，使得的内切圆始终与切于线段的中点，且在直线的异侧，在移动过程中，当取得最大值时，的面积为 ▲ ．答案：解析：首先判断出点C在以A、B为焦点的双曲线的右支上，以E为坐标原点建立平面直角坐标系，得动点C的轨迹方程为：，从而CA﹣CB＝2， CD﹣CA＝CD﹣CB﹣2，当C、B、D三点共线时取最大值，此时求得点C纵坐标为，此时三角形ABC的面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列.(1)求的通项公式；(2)已知，求数列的前项和.解：（1）设公差为，由成等比数列所以，所以，所以，所以所以（2）由（1）得，所以所以所以 18.（本小题满分10分）已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“曲线表示双曲线”.（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．解：（1）若是真命题，所以所以的取值范围是。（2）由（1）得，是真命题时，的取值范围是为真命题时，，所以的取值范围是因为是的必要不充分条件，所以，所以，等号不同时取得所以 19.（本小题满分12分）已知直线与椭圆交于两点.（3）在，条件下，求的面积的最大值；（4）当，时，求直线的方程.解：当时，，所以两点关于轴对称，设，所以所以所以当且仅当，即，等号成立，所以的面积的最大值为1（1）当时，设，得所以，所以又因为所以，所以所以直线的方程为 20.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列，其前项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：因为，当时，，所以所以因为，所以（没写的扣一分）所以（常数）所以是首项为1，公差为1的等差数列（不下结论的扣一分）所以（1）由题得 21.（本小题满分12分）某同学尝试用数学模型来说明隔离和医疗两大因素在对抗传染病时的作用.模型假设如下：假设1、传染病在人群中的表现有潜伏期和爆发期两种形式，潜伏期无症状，爆发期可以被人识别，无论在潜伏期还是爆发期的病人都具有相同的传染性.潜伏期时间记为m0，以潜伏期时间m0为一个传染周期；假设2、记r0为一个病人在一个传染周期内平均感染人数；假设3、某一固定区域（如某个城市）的人群，保持原有的生活习惯，即r0不变.（1）第一模型：无干预模型.在上述模型假设中，取m0=1天，r0=1.2，假设初始的潜伏期人数为1万人，那么1天后将有1万人处于爆发期，1.2万人处于潜伏期，感染总人数为2.2万人，…，请问9天后感染总人数是多少？（2）第二模型：无限医疗模型.增加两个模型假设：假设4、政府和社会加大医疗投入，将所有爆发期的病人“应收尽收”；假设5、潜伏期病人在传染健康人群后转为爆发期病人，然后被收入医院，收入医院的病人即失去传染性；在第二模型中，取m0=1天，r0=1.2，假设初始的潜伏期人数为1万人，请问多少天后感染总人数将超过1000万？（参考数据：，，，，，，）.解：（1）记为天后感染总人数，则，，所以答：9天后感染总人数是1207万人注：若用递推关系得，求通项公式得最终结果同样得分（2）记为第天收入医院的人数所以，，由题易得为首项为1，公比为1.2的等比数列所以若天后总感染人数超过1000万即所以所以又因为，所以，所以答：29天后感染总人数将超过1000万 22.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离为，为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上两点（异于顶点），且的面积为，设射线，的斜率分别为，求的值；（3）设直线与椭圆交于两点（直线不过顶点），且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点.解：由题得，所以所以椭圆的标准方程为（1）设设直线，直线，所以，同理得点到直线的距离，所以平方得所以（3）设，（i）直线的斜率存在时，设直线，得所以由题得所以化简得代入韦达定理得所以或当时，，定点为，为右顶点（舍）。当时，，定点为，满足题意（ii）直线的斜率不存在时，设直线，所以（不妨设在第一象限）又因为所以化简得，所以所以或（舍）所以，直线过点综上（i）（ii）所得直线过定点