高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理教案设计，共18页。
1.2 空间向量基本定理 ★★★★学习目标★★★★1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标． ★★★★问题导学★★★★知识点一　空间向量基本定理思考　平面向量基本定量的内容是什么？答案　如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．梳理　(1)如果三个向量a，b，c共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a，b，c中，没有零向量．(3)单位正交基底：如果{e1，e2，e3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e1，e2，e3有公共的起点．知识点二　空间向量的坐标表示思考　平面向量的坐标是如何表示的？答案　在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是点A的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)．梳理　(1)设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(x，y，z)．(2)向量p的坐标是把向量p的起点平移到坐标原点O，则的终点P的坐标就是向量p的坐标，这样就把空间向量坐标化了. ★★★★题型探究★★★★类型一　空间向量的基底例1　若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？解　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．∴此方程组无解．∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．反思与感悟　空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．跟踪训练1　以下四个命题中正确的是________．①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．答案　②③解析　因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．类型二　用基底表示向量例2　如图，已知正方体OABC­O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c.(1)用a，b，c表示向量；(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】 (1)＝＋＝＋＋＝.＝＋＝＋＋＝＋－＝.(2)＝＝＝－ (＋)＋ (＋)＝－ ()＋ (＋)＝ (c－b)．反思与感悟　求解空间向量在某基底下的坐标的关键：一是运用空间向量的基本定理，二是理解空间向量的坐标表示的意义．跟踪训练2在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量.【答案】a－b＋c.【解析】，又故答案为类型三　应用空间向量坐标表示解题例3（2020·黑龙江高二期末（理））是空间的一个单位正交基底，在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（    ）  A．          B．        C．       D．【答案】A【解析】由题意向量，设向量在基底下的坐标为，，所以向量在基底下的坐标为，故选A．反思与感悟　(1)注意向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e1，e2，e3}，a＝λe1＋μe2＋ke3，则a的坐标为(λ，μ，k)．(2)的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标．跟踪训练3　已知点在基底下的坐标为，其中，，，则点在基底下的坐标是(    )A． B．C． D．【答案】A【解析】∵点在基底下的坐标为，∴，∴点在基底下的坐标是。故选：A★★★★综合训练★★★★一、单选题1．（2020·延安市第一中学高二月考（理））如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，所以.故选：C.2．（2020·九台市第四中学高二期末（理））如图，正四棱锥中，已知，，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图所示：连接交点为O，则，又，所以，又，所以.故选：A.3．（2020·四川省绵阳南山中学高二月考（理））已知空间四边形，其对角线为，，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（   ）A． B．C． D．【答案】C【解析】 , ,故选：C．4．（2020·四川省武胜烈面中学校高二开学考试（理））已知三棱锥，点分别为的中点，且，用，，表示，则等于(　　) A． B．)C． D．【答案】D【解析】 ，故选D.5．（2020·广东省普宁市华美实验学校高三月考（文））如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，试用，，表示（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】是的中点，.故选：A.6．（2020·吴起高级中学高二月考（理））一个向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为向量在基底下的坐标为，所以，设在基底下的坐标为，所以，有，，，在基底下的坐标为.故选：B.7．（2020·四川省绵阳南山中学高二月考（理））给出下列命题：①已知，则；②为空间四点，若不构成空间的一个基底，那么共面；③已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底；④若共线，则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①，若，则，故，故①正确；对于②，若不构成空间的一个基底，这3个向量共线面，故共面，故②正确；对于③，当时，若与不共面，则可构成空间的一个基底，故③不正确；对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确；故选：C8．（2020·六盘山高级中学高二期末（理））已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】，，，共面，不能构成基底，排除；，，，共面，不能构成基底，排除；，，，共面，不能构成基底，排除；若、，共面，则，则、、为共面向量，此与为空间的一组基底矛盾，故、，可构成空间向量的一组基底．故选：．9．（2020·陕西省西北工业大学附属中学高二月考（理））若为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】A：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；B：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；C：因为为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若不构成一组基底，则有，所以向量是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此能构成一组基底，D：因为，所以向量是共面向量，因此不能构成一组基底.故选：C10．（2020·广东省深圳中学高二期中（理））以下命题①是共线的充要条件；②若是空间的一组基底，则是空间的另一组基底；③．其中正确的命题有（    ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】①，共线，反之不成立，是，共线的充分不必要条件，因此不正确；②若，，是空间的一组基底，假设共面，则存在唯一一组实数，使成立，即，所以，显然无解，假设不成立，即不共面，则，，是空间的另一组基底，正确；③，而不一定等于1，因此不正确．其中正确的命题有一个．故选：．11．（2020·上海市七宝中学高三开学考试）如图，在斜三棱柱中，的中点为，，则可用、、表示为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为.故选：A.12．（2020·湖北省高二期中）已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则它在下的坐标为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】设向量，，；则向量，，又向量， 不妨设，则， 即，解得，所以向量在下的坐标为．故选：．二、填空题13．（2020·西宁市海湖中学高二月考（理））下列关于空间向量的命题中，正确的有______.①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；②若非零向量，，满足，，则有；③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底.【答案】①③④【解析】对于①：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故①正确；对于②：若非零向量，，满足，，则与不一定共线，故②错误；对于③：若，，是空间的一组基底，且，则，即，可得到，，，四点共面，故③正确；对于④：若向量，，，是空间一组基底，则空间任意一个向量，存在唯一实数组，使得，则，，也是空间的一组基底，故④正确.故答案为：①③④14．（2020·湖北省高二期末（理））已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若x，则x+y+z=_____.【答案】【解析】如图,根据条件: ,又,∴由空间向量基本定理得,故答案为:15．（2020·上海中学高三其他）在平行六面体中,,,,试用､､表示_____.【答案】【解析】，故答案为:.16．（2020·内蒙古自治区高二月考）已知向量{，，}是空间的一个单位正交基底，向量{+，-，}是空间另一个基底，若向量在基底{+，-，}下的坐标为（，-，3）则在基底{，，}下的坐标为______．【答案】（1，2，3）【解析】∵向量在基底{+，-，}下的坐标为（，-，3）∴向量=（+）-（-）+3=+2+3，故在基底{，，}下的坐标为（1，2，3），故答案为：（1，2，3）．三、解答题17．（2020·绵竹市南轩中学高二月考（理））如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，， （1）用表示；（2）求对角线的长；（3）求【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）连接,，，如图：，，在，根据向量减法法则可得：底面是平行四边形 且 又为线段中点 在中 （2）顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是由（1）可知平行四边形中故： 故：对角线的长为：.（3），又18．（2020·三亚华侨学校高二期中）如图，在平行六面体中，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且，记.（1）试用表示；（2）求模.【答案】（1）； （2）.【解析】（1），.（2）因为AB，AD，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1.所以，..19．（2020·济南市历城第二中学高二月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，是PC的中点，设．（1）试用表示出向量；（2）求的长．【答案】（1）（2）【解析】（1）∵是PC的中点，∴（2）.20．（2020·全国高二课时练习）已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{}能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量=2e1-e2+3e3;若不能,请说明理由.【答案】能，=17-5-30．【解析】能作为空间的一组基底．假设共面,由向量共面的充要条件知存在实数x,y使=x+y成立又因为是空间的一个基底,所以不共面.因此此方程组无解,即不存在实数x,y使=x+y,所以不共面.故{}能作为空间的一个基底.设=p+q+z,则有因为为空间的一个基底,所以解得故=17-5-30.