人教A版 (2019)第七章 随机变量及其分布7.5 正态分布教学设计

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课后篇巩固提升
基础达标练
1.关于正态分布N(μ,σ2),下列说法正确的是( )
A.随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B.随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C.随机变量落在[-3σ,3σ]之外是一个小概率事件
D.随机变量落在[μ-3σ,μ+3σ]之外是一个小概率事件
答案D
2.(2020山东高三期末)已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,则P(-2<ξ<1)=( )
A.0.2B.0.3
C.0.4D.0.6
解析由题意可知正态曲线关于x=1对称,P(ξ>4)=1-P(ξ<4)=0.1,
根据对称性可知,P(ξ<-2)=P(ξ>4)=0.1,
故P(-2<ξ<1)=0.5-P(ξ<-2)=0.5-0.1=0.4.
答案C
3.已知X~N(0,1),则X在区间(-∞,-2)内取值的概率为( )
5
5
3
75
解析由题知对应的正态曲线的对称轴为x=0,
所以P(X<-2)=0.5-12P(-2≤X≤2)≈0.5-12×0.954 5=0.022 75.
答案D
4.若随机变量X~N(1,22),则D12X等于( )
A.4B.2
C.12D.1
解析因为X~N(1,22),所以D(X)=4,
所以D12X=14D(X)=1.
答案D
5.若随机变量X~N(1,22),则Y=3X-1服从的总体分布可记为 .
解析∵X~N(1,22),
∴μ=1,σ=2,∴E(X)=1,D(X)=4.
又Y=3X-1,∴E(Y)=3E(X)-1=2,
D(Y)=9D(X)=62.
∴Y~N(2,62).
答案Y~N(2,62)
6.某班有50名学生,一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为 .
解析由题意知,P(ξ>110)=1-2P(90≤ξ≤100)2=0.2,故估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10.
答案10
7.已知某地农民工年均收入X服从正态分布,其正态曲线如图所示.
(1)写出此地农民工年均收入的密度函数解析式;
(2)求此地农民工年均收入在8 000~8 500元之间的人数所占的百分比.
解设此地农民工年均收入X~N(μ,σ2),
结合题图可知,μ=8 000,σ=500.
(1)此地农民工年均收入的密度函数解析式为
f(x)=15002πe-(x-8 000)22×5002,x∈R.
(2)∵P(7 500≤X≤8 500)
=P(8 000-500≤X≤8 000+500)≈0.682 7,
∴P(8 000故此地农民工年均收入在8 000~8 500元之间的人数所占的百分比为34.135%.
8.设X~N(4,1),证明P(2证明因为μ=4,所以正态曲线关于直线x=4对称,所以P(2又因为P(2所以P(2能力提升练
1.若随机变量X的正态分布密度函数为f(x)=12πe-x22,X在(-2,-1)和(1,2)内取值的概率分别为p1,p2,则p1,p2的关系为( )
A.p1>p2B.p1C.p1=p2D.不确定
解析由题意知μ=0,σ=1,所以正态曲线关于直线x=0对称,所以p1=p2.
答案C
2.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1<ξ<0)=( )
A.12+p
B.1-p
C.1-2p
D.12-p
解析由已知得P(-1<ξ<0)=12P(-1<ξ<1)
=12[1-2P(ξ>1)]=12-p.
答案D
3.(2019山东菏泽一中高二月考)设随机变量ξ服从正态分布N(3,7),若P(ξ>a+2)=P(ξA.1B.2
C.3D.4
解析∵随机变量ξ服从正态分布N(3,7),P(ξ>a+2)=P(ξ答案C
4.已知X~N(4,σ2),且P(2≤X≤6)≈0.682 7,则σ= ,P(|X-2|≤4)= .
解析∵X~N(4,σ2),
∴μ=4.
∵P(2≤X≤6)≈0.682 7,∴μ+σ=6,μ-σ=2,
∴σ=2.
∴P(|X-2|≤4)=P(-2≤X≤6)
=P(-2≤X<2)+P(2≤X≤6)
=12[P(-2≤X≤10)-P(2≤X≤6)]+P(2≤X≤6)
=12P(-2≤X≤10)+12P(2≤X≤6)≈0.84.
答案2 0.84
5.某投资者在两个投资方案中选择一个,这两个投资方案的利润X(单位:万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12).投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大,那么他应该选择哪一个方案?
解对于第一个方案有X~N(8,32),其中μ1=8,σ1=3,
P(X>5)=1+P(5≤X≤11)2≈1+0.682 72=0.841 35.
对于第二个方案有X~N(7,12),其中μ2=7,σ2=1,
P(X>5)=1+P(5≤X≤9)2≈1+0.954 52=0.977 25.
显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大,故他应该选择第二个方案.
素养培优练
从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得频率分布直方图如图所示.
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果,求E(X).
附:150≈12.2.
若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,
s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.
(2)①由(1)知,Z~N(200,150),
从而P(187.8②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 7,
依题意知X~B(100,0.682 7),所以E(X)=100×0.682 7=68.27.