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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理背景图课件ppt
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理背景图课件ppt，共35页。PPT课件主要包含了激趣诱思，知识点拨，二项式定理，探究一，探究二，探究三，素养形成，当堂检测，答案44，答案B等内容，欢迎下载使用。
我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,试用多项式的乘法推导(a+b)3,(a+b)4的展开式.上述两个等式的右侧有何特点?你能用组合的观点说明(a+b)4是如何展开的吗?
1.这个公式叫做二项式定理.2.二项展开式:等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,二项展开式共有n+1项.3.二项式系数:各项的系数 (k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.
名师点析理解二项式定理的注意事项(1)二项式定理形式上的特点:①二项展开式有n+1项.②二项式系数都是组合数 (k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.(2)二项式定理中的字母a,b是不能交换的,即(a+b)n与(b+a)n的展开式是有区别的,二者的展开式中的项的排列顺序是不同的,不能混淆.(3)二项式定理表示一个恒等式,对于任意的a,b,该等式都成立.(4)二项式定理中a和b中间用加号连接,若出现减号,“-”归属后边的字母或数,仍可用二项式定理展开.
微思考二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别?
提示:二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指 ,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关,而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.
微练习化简(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1得( )A.x4B.(x-1)4C.(x+1)4D.x5解析:原式=(x-1+1)4=x4.答案:A
二、二项展开式的通项
名师点析二项展开式的通项形式上的特点
(2)字母b的次数和组合数的上标相同.(3)a与b的次数之和为n.
微思考二项式(a+b)n与(b+a)n的展开式的第 k+1项相同吗?
微练习(1)(x+2)8的展开式中的第6项为 .
A.8 B.9 C.10 D.11
答案:(1)1 792x3 (2)B
二项式定理的正用、逆用
反思感悟 1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.
变式训练1化简:(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.
利用二项式定理求待定项及系数
(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.
思路分析:先利用二项展开式的通项,求出当x的次数为0时n的值,再求解第(2)问、第(3)问.
反思感悟 求二项展开式中的特定项的常见题型及解法(1)求含xk的项(或xpyq的项),在通项中令字母的指数为给定的值;(2)求常数项,在通项中令字母的指数为0;(3)求有理项,在通项中令字母的指数为整数.
利用二项式定理解决整除和余数问题例3试判断7777-1能否被19整除.
思路分析:由于76是19的倍数,因此可将7777转化为(76+1)77,并用二项式定理展开.
反思感悟 用二项式定理解决an+b整除(或余数)问题时,一般需要将底数a写成除数m的整数倍加上或减去r(1≤r
答案:(1)B (2)5
转化思想在二项式定理中的应用典例求(1+2x-3x2)5展开式中x5的系数.审题视点 由于三项式的展开式无现成公式,因此应将其转化为二项式的展开式,然后再求x5的系数.
解:(方法一)∵(1+2x-3x2)5=[1+(2x-3x2)]5=1+5(2x-3x2)+10(2x-3x2)2+10(2x-3x2)3+5(2x-3x2)4+(2x-3x2)5=1+5x(2-3x)+10x2(2-3x)2+10x3(2-3x)3+5x4(2-3x)4+x5(2-3x)5,∴x5的系数为上式各项中含x5的项的系数和,即
(方法二)∵(1+2x-3x2)5=(1-x)5·(1+3x)5=(1-5x+10x2-10x3+5x4-x5)·(1+15x+90x2+270x3+405x4+243x5),∴展开式中x5的系数为243-5×405+270×10-10×90+5×15-1=92.
方法点睛 转化思想在二项式定理中的应用转化思想是高中数学重点考查的内容之一.在与二项式定理有关的问题中,主要表现为将多项式转化为二项式来求解;若干个二项式积的某项系数问题转化为乘法分配律问题.在高考题中,常出现三项式展开或两个二项式乘积的展开问题,所用方法一般是根据式子的特点转化为二项式展开来解决问题.
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数;(2)倒数第3项.
1.(a+b)2n的展开式的项数是( )A.2nB.2n+1C.2n-1D.2(n+1)解析:易知二项式(a+b)2n的展开式中有2n+1项,故展开式的项数为2n+1.答案:B
我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,试用多项式的乘法推导(a+b)3,(a+b)4的展开式.上述两个等式的右侧有何特点?你能用组合的观点说明(a+b)4是如何展开的吗?
1.这个公式叫做二项式定理.2.二项展开式:等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,二项展开式共有n+1项.3.二项式系数:各项的系数 (k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.
名师点析理解二项式定理的注意事项(1)二项式定理形式上的特点:①二项展开式有n+1项.②二项式系数都是组合数 (k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.(2)二项式定理中的字母a,b是不能交换的,即(a+b)n与(b+a)n的展开式是有区别的,二者的展开式中的项的排列顺序是不同的,不能混淆.(3)二项式定理表示一个恒等式,对于任意的a,b,该等式都成立.(4)二项式定理中a和b中间用加号连接,若出现减号,“-”归属后边的字母或数,仍可用二项式定理展开.
微思考二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别?
提示:二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指 ,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关,而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.
微练习化简(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1得( )A.x4B.(x-1)4C.(x+1)4D.x5解析:原式=(x-1+1)4=x4.答案:A
二、二项展开式的通项
名师点析二项展开式的通项形式上的特点
(2)字母b的次数和组合数的上标相同.(3)a与b的次数之和为n.
微思考二项式(a+b)n与(b+a)n的展开式的第 k+1项相同吗?
微练习(1)(x+2)8的展开式中的第6项为 .
A.8 B.9 C.10 D.11
答案:(1)1 792x3 (2)B
二项式定理的正用、逆用
反思感悟 1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.
变式训练1化简:(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.
利用二项式定理求待定项及系数
(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.
思路分析:先利用二项展开式的通项,求出当x的次数为0时n的值,再求解第(2)问、第(3)问.
反思感悟 求二项展开式中的特定项的常见题型及解法(1)求含xk的项(或xpyq的项),在通项中令字母的指数为给定的值;(2)求常数项,在通项中令字母的指数为0;(3)求有理项,在通项中令字母的指数为整数.
利用二项式定理解决整除和余数问题例3试判断7777-1能否被19整除.
思路分析:由于76是19的倍数,因此可将7777转化为(76+1)77,并用二项式定理展开.
反思感悟 用二项式定理解决an+b整除(或余数)问题时,一般需要将底数a写成除数m的整数倍加上或减去r(1≤r
答案:(1)B (2)5
转化思想在二项式定理中的应用典例求(1+2x-3x2)5展开式中x5的系数.审题视点 由于三项式的展开式无现成公式,因此应将其转化为二项式的展开式,然后再求x5的系数.
解:(方法一)∵(1+2x-3x2)5=[1+(2x-3x2)]5=1+5(2x-3x2)+10(2x-3x2)2+10(2x-3x2)3+5(2x-3x2)4+(2x-3x2)5=1+5x(2-3x)+10x2(2-3x)2+10x3(2-3x)3+5x4(2-3x)4+x5(2-3x)5,∴x5的系数为上式各项中含x5的项的系数和,即
(方法二)∵(1+2x-3x2)5=(1-x)5·(1+3x)5=(1-5x+10x2-10x3+5x4-x5)·(1+15x+90x2+270x3+405x4+243x5),∴展开式中x5的系数为243-5×405+270×10-10×90+5×15-1=92.
方法点睛 转化思想在二项式定理中的应用转化思想是高中数学重点考查的内容之一.在与二项式定理有关的问题中,主要表现为将多项式转化为二项式来求解;若干个二项式积的某项系数问题转化为乘法分配律问题.在高考题中,常出现三项式展开或两个二项式乘积的展开问题,所用方法一般是根据式子的特点转化为二项式展开来解决问题.
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数;(2)倒数第3项.
1.(a+b)2n的展开式的项数是( )A.2nB.2n+1C.2n-1D.2(n+1)解析:易知二项式(a+b)2n的展开式中有2n+1项,故展开式的项数为2n+1.答案:B
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