2021-2022学年福建省泉州市永春县七年级（下）期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年福建省泉州市永春县七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（共10小题，共40分）.

1. 方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 用下列一种正多边形不能铺满地面的是(    )

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形

4. 下列防疫图标，是轴对称图形的是(    )

A. 少出门，少聚众
B. 打喷嚏，捂口鼻
C. 勤洗手，勤通风
D. 戴口罩，讲卫生

5. 下列每组数表示根小木棒的长度单位：，其中能用根小木棒搭成一个三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6. 已知是方程的一个解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若，则下列变形正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若不等式组有解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 我国古代孙子算经记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是说：“每人共乘一辆车，最终剩余辆车；每人共乘一辆车，最终有人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”设共有辆车，人，则下面方程组正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，在中，，按图进行翻折，使，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共24分）

11. 用不等式表示：与的和大于零______．
12. 八边形内角和度数为______．
13. 已知方程和方程的解互为倒数，那么的值是______．
14. 如图，沿所在直线向右平移得到，若，，则______．

15. 如图是由四个相同的小正方形组成的网格图，则______．

16. 如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点在的延长线上，于，交射线于，交于，下列结论：；；；其中正确的是______写出所有正确结论的序号．

三、解答题（本题共9小题，共86分）

17. 解方程：．
    
     
18. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
    
    
     
19. 在等式中，当时，当时，求，的值．
    
     
20. 如图，为的中线，点在上，．
    当，时，求的度数；
    若的面积为，求的面积．

21. 如图，在网格中，最小正方形的边长为点、、都在格点上．
    画出关于直线对称的图形；
    点在直线上，直接写出的最大值．

22. 如图，是的角平分线，，点、分别在射线、上．
    若，求的度数；
    若，试判断是否平分，并说明理由．

23. 阅读材料：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：一元一次不等式组的解集是，是它的一个解，则称一元一次方程是一元一次不等式组的关联方程．
    解决下列问题：
    判断方程是否为不等式组的关联方程，并说明理由；
    若，关于的不等式组的所有关联方程的整数解是同一个整数，求的最大值．
    
     
24. 甲乙两家商店同时销售某种品牌的运动鞋各双，每双运动鞋的进价为元，标价为元．
    按标价销售，每双运动鞋的利润是多少元？
    甲店按标价卖出双后，剩余的按标价打八折全部售出；乙店同样按标价卖出双后，将双按标价打九折售出，再将剩余的按标价打七折全部售出，结果利润与甲店相同．
    请用含的代数式表示；
    已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，求乙店卖完这批鞋获得利润的最大值．
     
25. 如图，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“倍分线”．
    如图，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转秒，且．
    当秒时， ______的“倍分线”；填“是”或“不是”
    若射线是的“倍分线”，求的值；
    如图，射线绕点从位置开始逆时针旋转，同时射线绕点从的位置开始顺时针旋转，且，两条射线相交于点、分别是的高和角平线，是否存在是的“倍分线”的情况？若存在，请求出与应满足的数量关系；若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据解一元一次方程的方法，求出方程的解即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据不等式的解集表示的右边部分，则可用数轴表示为：
，
故选：．
根据不等式画出数轴，实心圆点包括该点，空心圆点不包括该点，大于向右，小于向左即可得出答案．
本题考查不等式组解集的表示方法，关键在于熟练掌握不等式解集在数轴上表示的基本步骤．
 

3.【答案】 

【解析】解：、正三角形的每个内角是，能整除，能密铺，不符合题意；
B、正方形的每个内角是，个能密铺，不符合题意；
C、正五边形的每个内角是，不能整除，不能密铺，符合题意；
D、正六边形每个内角是，能整除，能密铺，不符合题意．
故选：．
根据一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除即可得到结论．
本题意在考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况，体现了学数学用数学的思想．由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．
 

4.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．
本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，不能构成三角形；
B、，能构成三角形；
C、，不能构成三角形；
D、，不能构成三角形．
故选：．
看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．
 

6.【答案】 

【解析】解：把代入方程，得，
解得：．
故选：．
把与的值代入方程计算即可求出的值．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

7.【答案】 

【解析】解：在不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，即，原变形错误，故此选项不符合题意．
B.在不等式的两边同时除以，不等号的方向不变，即，原变形错误，故此选项不符合题意．
C.，不妨设，，则，原变形不一定成立，故此选项不符合题意．
D.在不等式的两边同时乘以，不等号的方向改变，即，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：．
根据不等式的性质解答．
本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，，且不等式组有解，
所以，
故选：．
根据题目给定的条件，求不等式组解集，使其有意义即可．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，关键在于能够正确分析题意写出的范围．
 

9.【答案】 

【解析】解：若每人共乘一辆车，最终剩余辆车，
；
若每人共乘一辆车，最终剩余人无车可乘，
．
所列方程组为．
故选：．
根据“若每人共乘一辆车，最终剩余辆车；若每人共乘一辆车，最终剩余人无车可乘”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
可得，
．
故选：．
设，，，，利用平行线的性质，三角形内角和定理构建方程组即可解决问题．
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：．
故答案为：．
根据题意得出大于，进而得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据多边形的内角和公式进行计算即可得解．
本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：方程的解是，
两个方程的解互为倒数，
把代入，得，
解得：．
故答案为：．
求出第一个方程的解，确定出其倒数，代入第二个方程计算即可求出的值．
此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

14.【答案】 

【解析】解：由平移的性质可知，，
，即，
，，
，
，
故答案为：．
根据平移的性质得到，进而得到，计算即可．
本题考查的是平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
 

15.【答案】 

【解析】】解：由题意得：，，，
≌，
，
．
故答案为：．
根据可证得≌，可得出，继而可得出答案．
本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出≌．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
若，则，
则有，而已知条件并不能对此证明，
因此错误．
，
又平分，
，
，
由于不能证明，故也不能证明．
显然，对顶角，
，，
，
，，
，
又平分，
，
，
因此，，正确．
，
，
，
，
又平分，
，
，
又，
，
即，
故正确，
故答案为：．
根据已知条件，可以推出，，若结论成立，则应有，即，而根据所给条件不能证明，不成立；由于，平分，因此，根据的结论不成立可以得到的结论不成立；要证明，根据直角三角形的内角关系，可以推出，再根据角平分线的性质，可以推出；要证明，仍然利用直角三角形内角关系推出，再根据角平分线的性质推出，根据外角的性质得到，并替换掉，可以变形得到结论．
本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为得：． 

【解析】方程去括号，移项，合并，把系数化为，即可求出解．
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
 

【解析】不等式去分母，去括号，移项合并，把系数化为，求出解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】解：把，与，代入等式得：
，即，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：． 

【解析】把与的两对值分别代入等式得到方程组，求出方程组的解即可得到与的值．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

20.【答案】解：是的外角，


．
的度数为．
为的中线，
，
的面积为，
，
，，
，
．
的面积为． 

【解析】根据三角形外角的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和的和．
根据三角形的中线的性质，三角形的一条中线可以把三角形分成面积相等的两个三角形，所以由为的中线，得出和面积相等，都是大三角形面积的一半；利用三角形的面积公式可知，和的高相同时，他们的面积比等于与的比．
本题考查三角形的中线、三角形外角的性质，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求角度，利用三角形的中线可以把三角形分成面积相等的两个三角形及同高的三角形的面积关系求面积．
 

21.【答案】解：如图，为所作；

当、、共线时，取等号，
的最大值为的长，即的最大值为． 

【解析】利用网格特点和轴对称的性质画出、、关于直线的对称点即可；
利用三角形三边的关系得到当、、共线时，取等号，从而得到的最大值．
本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
 

22.【答案】解：，，
，
又是的角平分线，
，


；
平分，理由如下：
是的角平分线，
，
，，
又，，即，
，
即平分． 

【解析】根据三角形的内角和定理可求出；再根据角平分线的定义求出；最后由三角形的内角和定理求出答案即可；
根据角平分线的定义得出，再根据外角的性质得出，，由各个角之间的关系得出答案．
本题考查角平分线，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解决问题的前提．
 

23.【答案】解：解方程得，
解不等式组得，
方程是不等式组的关联方程；
解不等式组得，
由题意得只有一个正整数解，
所以的最大值是． 

【解析】利用题中的新定义进行判断；
利用新定义，结合整数的特征进行推理求解．
本题考查了解不等式组，理解题中的新定义是解题的关键．
 

24.【答案】解：元．
答：按标价销售，每双运动鞋的利润是元．
根据题意，可知：甲店的销售利润为元，乙店的销售利润为元，
甲、乙两店的利润相同，
，
．
依题意得：，
即，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
按标价销售的数量越多获得的利润越多，
当时，甲店卖完这批鞋获得的利润最大，最大值为，
甲、乙两店的利润相同，
乙店卖完这批鞋获得利润的最大值为元．
答：乙店卖完这批鞋获得利润的最大值为元． 

【解析】利用利润标价进价，即可求出结论；
利用总利润每双运动鞋的销售利润销售数量，即可用含或，的代数式表示出两店的销售利润，由甲、乙两店的利润相同，即可得出关于，的二元一次方程，化简后即可用含的代数式表示；
由乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，由按标价销售的数量越多获得的利润越多，可求出甲店获得的最大利润，结合甲、乙两店的利润相同，即可得出乙店卖完这批鞋获得利润的最大值．
本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算；根据各数量之间的关系，用含或，的代数式表示出两店的销售利润；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】是 

【解析】解：当时，在内部，且，
，
是的“倍分线”，
故答案为：是；
Ⅰ当在内部且时，

，
，
；
Ⅱ当在内部且时，如图：

，
，
；
Ⅲ当在内部且时，如图：

，
，
综上所述，的值为或或；
存在是的“倍分线”的情况，理由如下：
如图：

由已知可得：，，
，
当时，如图：

，
，
当时，如图：

，
整理得：，
当时，如图：

，
整理得，
综上所述，与应满足的数量关系为：或或．
当时，在内部，且，及知是的“倍分线”；
分三种情况：Ⅰ当在内部且时，；Ⅱ当在内部且时，；Ⅲ当在内部且时，；
由已知可得：，，，分三种情况：当时，，可得，当时，，有，当时，，可得．
本题考查角的和差，角平分线，解题的关键是读懂“倍分线”的定义及分类讨论思想的应用．