湖南省各地区2022年中考数学真题按题型难易度分层分类汇编-12解答题（压轴题）

这是一份湖南省各地区2022年中考数学真题按题型难易度分层分类汇编-12解答题（压轴题），共35页。试卷主要包含了的顶点P在抛物线F，已知抛物线y＝x2+bx+c，，与y轴交于点C，顶点为点D等内容，欢迎下载使用。

湖南省各地区2022年中考数学真题按题型难易度分层分类汇编-12解答题（压轴题）
一．二次函数综合题（共6小题）
1．（2022•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．
（1）求a的值；
（2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？
（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2022•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．
（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2022•湘潭）已知抛物线y＝x2+bx+c．
（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB．
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；
（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）如图②，直线y＝x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x2+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．


4．（2022•衡阳）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．
（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．
（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．


6．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE＝．
①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；
②若NP＝2BP，令T＝c，求T的最小值．
阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式Δ≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2＝，x1x2＝”．此关系通常被称为“韦达定理”．

二．三角形综合题（共2小题）
7．（2022•郴州）如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4cm．点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．
（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：
变量a（cm）
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
变量h（cm）
0
0.5
1
1.5
2
1.5
1
0.5
0
在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2﹣1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2﹣2．

根据探究的结果，解答下列问题：
①当a＝1.5时，h＝　 　；当h＝1时，a＝　 　．
②将图2﹣1，图2﹣2中描出的点顺次连接起来．
③下列说法正确的是 　 　．（填“A”或“B”）
A．变量h是以a为自变量的函数
B．变量a是以h为自变量的函数
（2）如图3，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积（cm2）为s．
①分别求出当0≤a≤2和2＜a≤4时，s关于a的函数表达式；
②当s＝时，求a的值．

8．（2022•岳阳）如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2．
（1）特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：＝　 　，直线AD与直线CE的位置关系是 　 　；
（2）探究证明：如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接EC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α（19°＜α＜60°），连接AD、EC，它们的延长线交于点F，当DF＝BE时，求tan（60°﹣α）的值．


三．四边形综合题（共1小题）
9．（2022•益阳）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．
（1）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；
（2）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；
（3）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？


四．相似形综合题（共1小题）
10．（2022•常德）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE＝FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD；②BO•GD＝GO•FC．
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明．



湖南省各地区2022年中考数学真题按题型难易度分层分类汇编-12解答题（压轴题）
参考答案与试题解析
一．二次函数综合题（共6小题）
1．（2022•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．
（1）求a的值；
（2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？
（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意可知，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P的坐标为（m，2m2），
∵点P在抛物线F：y＝ax2上，
∴am2＝2m2，
∴a＝2．
（2）∵直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B，
∴yA＝﹣（t﹣m）2+2m2＝﹣t2+2mt+m2，yB＝2t2，
∴s＝yA﹣yB
＝﹣t2+2mt+m2﹣2t2
＝﹣3t2+2mt+m2
＝﹣3（t﹣m）2+m2，
∵﹣3＜0，
∴当t＝m时，s的最大值为m2，
∵s的最大值为4，
∴m2＝4，解得m＝±，
∵m＜0，
∴m＝﹣．
（3）存在，理由如下：
设点M的坐标为n，则M（n，2n2），
∴Q（2n﹣m，4n2﹣m2），
∵点Q在x轴正半轴上，
∴2n﹣m＞0且4n2﹣m2＝0，
∴n＝﹣m，
∴M（﹣m，m2），Q（﹣m﹣m，0）．
如图，过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，

∴∠K＝∠N＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，
∵∠PQG＝90°，
∴∠PQK+∠GQN＝90°，
∴∠QPK＝∠GQN，
∴△PKQ∽△QNG，
∴PK：QN＝KQ：GN，即PK•GN＝KQ•QN．
∵PK＝﹣m﹣m﹣m＝﹣m﹣2m，KQ＝2m2，GN＝﹣m﹣m，
∴（﹣m﹣2m）（﹣m﹣m）＝2m2•QN
解得QN＝．
∴G（0，﹣）．
2．（2022•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．
（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
当y＝0时，x2﹣2x﹣6＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（6，0）；
（2）方法一：如图1，

连接OP，
设点P（m，﹣2m﹣6），
∴S△POC＝xP＝＝3m，
S△BOP＝|yP|＝+2m+6），
∵S△BOC＝＝18，
∴S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC
＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC
＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18
＝﹣（m﹣3）2+，
∴当m＝3时，S△PBC最大＝；
方法二：如图2，

作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，
∵B（6，0），C（0，﹣6），
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，
∴D（m，m﹣6），
∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，
∴S△PBC＝＝＝﹣（m﹣3）2+，
∴当m＝3时，S△PBC最大＝；
（3）如图3，


当▱ACFE时，AE∥CF，
∵抛物线对称轴为直线：x＝＝2，
∴F1点的坐标：（4，﹣6），
如图4，

当▱ACEF时，
作FG⊥AE于G，
∴FG＝OC＝6，
当y＝6时，x2﹣2x﹣6＝6，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，
∴F2（2+2，6），F3（2﹣2，6），
综上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．
3．（2022•湘潭）已知抛物线y＝x2+bx+c．
（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB．
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；
（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）如图②，直线y＝x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x2+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．


【解答】（1）解：（Ⅰ）由题意得，
，
∴，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（Ⅱ）存在点P，使得点M是线段PH的三等分点，理由如下：
∵B（0，﹣3），A（3，0），
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣3，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），M（m，m﹣3），
∴PH＝﹣m2+2m+3，HM＝3﹣m，
当PH＝3HM时，
﹣m2+2m+3＝3（3﹣m），
化简得，
m2﹣5m+6＝0，
∴m1＝2，m2＝3，
当m＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴P（2，﹣3），
当m＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0，
此时P（3，0）（舍去），
当PH＝HM时，
﹣m2+2m+3＝（3﹣m），
化简得，
2m2﹣7m+3＝0，
∴m3＝3（舍去），m2＝，
当m＝时，y＝（）2﹣2×﹣3＝﹣，
∴P（，﹣），
综上所述：P（2，﹣3）或（，﹣）；
（2）如图1，

∵抛物线y＝x2+bx+c过点D（﹣3，0），
∴（﹣3）2﹣3b+c＝0，
∴c＝3b﹣9，
∴y＝x2+bx+（3b﹣9），
把x＝﹣3，y＝0代入y＝+n得，
0＝+n，
∴n＝4，
∴OC＝4，
∵∠COD＝90°，OD＝3，OC＝4，
∴CD＝5，
∵四边形CDFE是菱形，
∴CE＝CD＝5，
∴E（5，4），
当﹣＜0时，即b＞0时，
当x＝0时，y＝3b﹣9，
∴G（0，3b﹣9），
∵该抛物线与线段CE没有交点，
∴3b﹣9＞4，
∴b＞，
当b＜0时，
当x＝5时，y＝25+5b+3b﹣9＝8b+16，
∴H（5，8b+16），
∵抛物线与CE没有交点，
∴8b+16＜4，
∴b＜﹣，
综上所述：b＞或b＜﹣．
4．（2022•衡阳）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．
（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2，
∴C（0，2），
当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（2，0），
设图象W的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2），
把C（0，2）代入得：﹣2a＝2，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2，
∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y＝﹣x2+x+2（﹣1＜x＜2）；
（2）由图象得直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况：
①当直线y＝﹣x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b＝2；
②当直线y＝﹣x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，

﹣x+b＝﹣x2+x+2，
x2﹣2x+b﹣2＝0，
Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（b﹣2）＝0，
∴b＝3，
综上，b的值是2或3；
（3）∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，

∵PN∥y轴，
∴P（1，0）；
如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC，

当y＝2时，x2﹣x﹣2＝2，
x2﹣x﹣4＝0，
∴x1＝，x2＝，
∴P（，0）；
如图4，当∠MCN＝90°时，△OBC∽△CMN，

∴CN的解析式为：y＝x+2，
∴x+2＝x2﹣x﹣2，
∴x1＝1+，x2＝1﹣（舍），
∴P（1+，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（，0）或（1+，0）．
5．（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．
（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．


【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，可得y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；

（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），

∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵PF∥AB，
∴∠PFE＝∠OBC＝45°，
∵PE⊥BC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，
∵S△PBC＝S△POB+S△POC﹣S△OBC
＝×3×（﹣m2+2m+3）+×3×m﹣×3×3
＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝时，△PBC的面积最大，面积的最大值为，此时PE的值最大，
∵×3×PE＝，
∴PE＝，
∴△PEF的周长的最大值＝++＝+，此时P（，）；

（3）存在．
理由：如图二中，设M（1，t），G（m，﹣m2+2m+3）．

当BC为平行四边形的边时，则有|1﹣m|＝3，
解得m＝﹣2或4，
∴G（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），
当BC为平行四边形的对角线时，（1+m）＝（0+3），
∴m＝2，
∴G（2，3），
综上所述，满足条件的点G的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）或（2，3）．
6．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE＝．
①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；
②若NP＝2BP，令T＝c，求T的最小值．
阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式Δ≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2＝，x1x2＝”．此关系通常被称为“韦达定理”．

【解答】解：（1）当a＝1，b＝3时，y＝x2+3x+c，
把x＝1，y＝1代入得，
1＝1+3+c，
∴c＝﹣3；
（2）①方法（一）由ax2+bx+c＝0得，
x1＝，x2＝，
∴AB＝x2﹣x1＝，
∵抛物线的顶点坐标为：（﹣，），
∴AE＝，OM＝，
∵∠BAE＝90°，
∴tan∠ABE＝＝，
∴＝，
∴b2﹣4ac＝9；
（方法二）由ax2+bx+c＝0得，
∵x1+x2＝，x1x2＝，
∴|x1﹣x2|＝＝＝，
下面过程相同；
②∵b2﹣4ac＝9，
∴x2＝，
∵OP∥MN，
∴，
∴：＝2，
∴b＝2，
∴22﹣4ac＝9，
∴c＝﹣，
∴T＝c＝﹣＝﹣＝（﹣2）2﹣4，
∴当＝2时，T最小＝﹣4，
即a＝时，T最小＝﹣4．
二．三角形综合题（共2小题）
7．（2022•郴州）如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4cm．点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．
（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：
变量a（cm）
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
变量h（cm）
0
0.5
1
1.5
2
1.5
1
0.5
0
在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2﹣1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2﹣2．

根据探究的结果，解答下列问题：
①当a＝1.5时，h＝　1.5　；当h＝1时，a＝　1或3　．
②将图2﹣1，图2﹣2中描出的点顺次连接起来．
③下列说法正确的是 　A　．（填“A”或“B”）
A．变量h是以a为自变量的函数
B．变量a是以h为自变量的函数
（2）如图3，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积（cm2）为s．
①分别求出当0≤a≤2和2＜a≤4时，s关于a的函数表达式；
②当s＝时，求a的值．

【解答】解：（1）①从图1中，当a＜2时，△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝1.5，
从图2，当h＝1时，横坐标a对应1或3，
故答案为：1.5；1或3；
②如图，

③当自变量a变化时，h随之变化，当a确定时，h有唯一一个值与之对应，所以h是a的函数；
当自变量h确定时，a有两个值与之对应，所以a不是h的函数，
故答案为A；
（2）①当0≤a≤2时，DE＝AD＝a，
S△ADE＝AD•DE＝；
当2＜a≤4时，DE＝AB﹣AD＝4﹣a，
∴S＝＝，
∴S＝；
②当S＝时，当0≤a≤2时，
＝，
∴a1＝1，a2＝﹣1（舍去），
当2＜≤4时，
＝，
∴a3＝3，a4＝5（舍去），
综上所述：当S＝时，a＝1或3．
8．（2022•岳阳）如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2．
（1）特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：＝　　，直线AD与直线CE的位置关系是 　垂直　；
（2）探究证明：如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接EC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α（19°＜α＜60°），连接AD、EC，它们的延长线交于点F，当DF＝BE时，求tan（60°﹣α）的值．


【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，∠A＝30°，
∴AB＝BC＝3，
在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，BE＝2，
∴BD＝BE＝2，
∴EC＝1，AD＝，
∴＝，此时AD⊥EC，
故答案为：，垂直；

（2）结论成立．
理由：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵AB＝BC，BD＝BE，
∴＝，
∴△ABD∽△CBE，
∴＝＝，∠ADB＝∠BEC，
∵∠ADB+∠CDB＝180°，
∴∠CDB+∠BEC＝180°，
∴∠DBE+∠DCE＝180°，
∵∠DBE＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴AD⊥EC；

（3）如图3中，过点B作BJ⊥AC于点J，设BD交AK于点K，过点K作KT⊥AC于点K．

∵∠AJB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABJ＝60°，
∴∠KBJ＝60°﹣α．
∵AB＝3，
∴BJ＝AB＝，AJ＝BJ＝，
当DF＝BE时，四边形BEFD是矩形，
∴∠ADB＝90°，AD＝＝＝，
设KT＝m，则AT＝m，AK＝2m，
∵∠KTB＝∠ADB＝90°，
∴tanα＝＝，
∴＝，
∴BT＝m，
∴m+m＝3，
∴m＝，
∴AK＝2m＝，
∴KJ＝AJ﹣AK＝﹣＝，
∴tan（60°﹣α）＝＝．
解法二：证明∠CAF＝60°﹣α，
通过tan（60°﹣α）＝求解即可．
三．四边形综合题（共1小题）
9．（2022•益阳）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．
（1）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；
（2）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；
（3）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？


【解答】解：（1）（任意回答一个即可）；
①如图1，△AFB∽△BCE，理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠BCE＝∠ABC＝90°，
∴∠BEC＝∠ABF，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠BCE＝90°，
∴△AFB∽△BCE；
②△AFB∽△CGE，理由如下：
∵CG⊥BE，
∴∠CGE＝90°，
∴∠CGE＝∠AFB，
∵∠CEG＝∠ABF，
∴△AFB∽△CGE；
③△AFB∽△BGC，理由如下：
∵∠ABF+∠CBG＝∠CBG+∠BCG＝90°，
∴∠ABF＝∠BCG，
∵∠AFB＝∠CGB＝90°，
∴△AFB∽△BGC；
（2）∵四边形AFCC'是平行四边形，
∴AF＝CC'，
由（1）知：△AFB∽△BGC，
∴＝，即＝＝，
设AF＝5x，BG＝3x，
∴CC'＝AF＝5x，
∵CG＝C'G，
∴CG＝C'G＝2.5x，
∵△AFB∽△BCE∽△BGC，
∴＝，即＝，
∴CE＝7.5；
（3）分两种情况：
①当C'F＝BC'时，如图2，

∵C'G⊥BE，
∴BG＝GF，
∵CG＝C'G，
∴四边形BCFC'是菱形，
∴CF＝CB＝9，
由（2）知：AF＝5x，BG＝3x，
∴BF＝6x，
∵△AFB∽△BCE，
∴＝，即＝，
∴＝，
∴CE＝；
②当C'F＝BF时，如图3，

由（1）知：△AFB∽△BGC，
∴＝＝＝，
设BF＝5a，CG＝3a，
∴C'F＝5a，
∵CG＝C'G，BE⊥CC'，
∴CF＝C'F＝5a，
∴FG＝4a，
∵tan∠CBE＝＝，
∴＝，
∴CE＝3；
综上，当CE的长为或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形．
四．相似形综合题（共1小题）
10．（2022•常德）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE＝FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD；②BO•GD＝GO•FC．
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明．


【解答】（1）证明：连接CG，过点G作GJ⊥CD于点J．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∴∠AFB＝∠BAF＝45°，
∴BA＝BF，
∵BE＝CF，
∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD，
∵AG＝AG，
∴△EAG≌△DAG（SAS），
∴EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，
∵AD∥FC，AG＝GF，
∴DJ＝JC，
∵GJ⊥CD，
∴GD＝GC，
∴∠GDC＝∠GCD，
∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ADG＝∠GCO，
∴∠OEB＝∠OCG，
∵∠BOE＝∠GOC，
∴△OBE∽△OGC，
∴＝，
∵GC＝GD，BE＝CF，
∴BO•GD＝GO•FC；

（2）解：过点D作DT⊥BC于点T，连接GT．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠AFB，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAG＝∠BAF，
∴BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD，
∵AG＝AG，
∴△EAG≌△DAG（SAS），
∴∠AEG＝∠ADG，
∵AD∥FT，AG＝GF，
∴DJ＝JT，
∵GJ⊥DT，
∴GD＝GT，
∴∠GDT＝∠GTD，
∵∠ADT＝∠BTD＝90°，
∴∠ADG＝∠GTO，
∴∠OEB＝∠OTG，
∵∠BOE＝∠GOT，
∴△OBE∽△OGT，
∴＝，
∵GT＝GD，BE＝CF，
∴BO•GD＝GO•FC．
解法二：延长EG交AD于点M，在DM上取一点N，使得GN＝GM．

证明△OGF≌△MGA，推出GM＝OG＝GN，∠AMG＝∠GOF，
再证明△BOE∽△GDN，可得结论．