


数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课后测评
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课时分层作业(二十九) 直线与直线垂直(建议用时:60分钟)[合格基础练]一、选择题1.已知直线a,b,c,下列三个命题:①若a与b异面,b与c异面,则a与c异面;②若a∥b,a和c相交,则b和c也相交;③若a⊥b,a⊥c,则b∥c.其中,正确命题的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3A [①不正确如图;②不正确,有可能相交也有可能异面;③不正确.可能平行,可能相交也可能异面.]2.如图正方体ABCDA1B1C1D1中,异面直线A1B与AD1所成角为( )A.30° B.45°C.60° D.90°C [连接BC1、A1C1(图略),∵BC1∥AD1,∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.在△A1BC1中,A1B=BC1=A1C1,∴∠A1BC1=60°.故异面直线A1B与AD1所成角为60°.]3.如图,三棱柱ABCA1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( )A.CC1与B1E是异面直线B.C1C与AE共面C.AE,B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60°C [由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.综上所述,故选C.]4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,面对角线中与AD1成60°的有( )A.4条 B.6条C.8条 D.10条C [如图所示在正方体ABCDA1B1C1D1中,△AD1B1是等边三角形,故B1D1,AB1与AD1所成的角是60°,同理△ACD1也是等边三角形,AC,CD1与AD1也成60°角,则在面对角线中,与AC,CD1,B1D1,AB1分别平行的对角线与AD1也成60°角.]5.在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与BC1所成的角的大小是( )A.60° B.75°C.90° D.105°C [设BB1=1,如图,延长CC1至C2,使C1C2=CC1=1,连接B1C2,则B1C2∥BC1,所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角).连接AC2,因为AB1=,B1C2=,AC2=,所以AC=AB+B1C,则∠AB1C2=90°.]二、填空题6.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 .90° [如图,过点M作ME∥DN交CC1于点E,连接A1E,则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角).设正方体的棱长为a,则A1M=a,ME=a,A1E=a,所以A1M2+ME2=A1E2,所以∠A1ME=90°,即异面直线A1M与DN所成的角为90°.]7.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN等于 .5 [取AD的中点P,连接PM,PN,则BD∥PM,AC∥PN,∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角,∴∠MPN=90°,PN=AC=4,PM=BD=3,∴MN=5.]8.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为 .①③ [把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.]三、解答题9.如图所示,空间四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角.[解] 如图所示,取BD的中点G,连接EG,FG.∵E,F分别为BC,AD的中点,AB=CD,∴EG∥CD,GF∥AB,且EG=CD,GF=AB.∴∠GFE就是EF与AB所成的角,EG=GF.∵AB⊥CD,∴EG⊥GF.∴∠EGF=90°.∴△EFG为等腰直角三角形.∴∠GFE=45°,即EF与AB所成的角为45°.10.如图,已知长方体ABCDA1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点.求证:CD1⊥EF.[解] 取CD1的中点G,连接EG,DG,∵E是BD1的中点,∴EG∥BC,EG=BC.∵F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,∴DF∥BC,DF=BC,∴EG∥DF,EG=DF,∴四边形EFDG是平行四边形,∴EF∥DG,∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又∵A1A=AB,∴四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形.且G为CD1的中点,∴DG⊥CD1.∴∠D1GD=90°,∴异面直线CD1,EF所成的角为90°.∴CD1⊥EF.[等级过关练]1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( )A.0°<θ<60° B.0°≤θ<60°C.0°≤θ≤60° D.0°<θ≤60°D [如图,连接CD1,AC,因为CD1∥BA1,所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角,即θ=∠D1CP.当点P从D1向A运动时,∠D1CP从0°增大到60°,但当点P与D1重合时,CP∥BA1,与CP与BA1为异面直线矛盾,所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.]2.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中, E,F分别是棱BC,CC1的中点,则异面直线EF与B1D1所成的角为 .60° [连接BC1,AD1,AB1,则EF为△BCC1的中位线,∴EF∥BC1.又∵AB綊CD綊C1D1,∴四边形ABC1D1为平行四边形.∴BC1∥AD1,∴EF∥AD1.∴∠AD1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角.在△AB1D1中,易知AB1=B1D1=AD1,∴△AB1D1为正三角形,∴∠AD1B1=60°.∴EF与B1D1所成的角为60°.]
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