高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直巩固练习

课时分层作业(三十)　直线与平面垂直

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　　)

A．相交　　　　　　　　 B．平行

C．异面   D．相交或平行

B　[由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．]

2．已知直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则b与α所成的角等于(　　)

A．40°　　　B．50°　　　C．90°　　　D．150°

B　[根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.]

3．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是(　　)

A．l和平面α相互平行

B．l和平面α相互垂直

C．l在平面α内

D．不能确定

D　[如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D.]

4．如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　)

A．异面   B．平行  C．垂直   D．不确定

C　[∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.

同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.

∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.]

5．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的(　　)

A．内心      B．重心     C．外心    D．垂心

C　[如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC.

∵三棱锥的三条侧棱两两相等，∴PA＝PB＝PC.

∵PO⊥底面ABC，

∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，

∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，

∴OA＝OB＝OC，

故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．]

二、填空题

6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝        .

6　[因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.]

7．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此图形中有        个直角三角形．

4　[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC. 综上知： △ABC，△PAC，△PAB，△PBC都是直角三角形，共有4个．]

8．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为        ．

2　[因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在△ABC中，AC＝AB＝PA，所以tan∠PCA＝＝2.]

三、解答题

9．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. 求证：AE⊥BE.

[证明]　∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，

∴BC⊥平面ABE.

又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.

∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.

又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，

∴AE⊥平面BCE.

又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.

10．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，E，F分别是PA和AB的中点，求PA与平面PBC所成角的正弦值．

[解]　过A作AH⊥BC于H，连接PH，

∵PC⊥平面ABCD，AH⊂平面ABCD，

∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，∴AH⊥平面PBC.

∴∠APH为PA与平面PBC所成的角，

在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，

∴△ABC为正三角形，又AH⊥BC，

∴H为BC中点， AH＝，

∵PC＝AC＝2，∴PA＝2，

∴sin∠APH＝＝.

故PA与平面PBC所成角的正弦值为.

[等级过关练]

1．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(　　)

A．垂直且相交   B．相交但不一定垂直

C．垂直但不相交   D．不垂直也不相交

C　[取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选C.]

2．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长和两条对角线AC，BD都相等，且E为AD的中点，F为BC的中点，则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为        ．

　[连接EF，根据题意，BC⊥AF，BC⊥DF.

∵AF∩DF＝F，∴BC⊥平面ADF.

∴∠BEF是直线BE和平面ADF所成的角，

设BC＝2，则BF＝1，BE＝，

∴sin∠BEF＝＝.]