数学必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法评优课ppt课件

这是一份数学必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法评优课ppt课件，共37页。PPT课件主要包含了学习目标，新知学习，定义域，对应关系，即时巩固，跟踪训练，题型训练，方法感悟等内容，欢迎下载使用。

1.理解函数的概念，会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应法则在刻画函数概念中的作用.2.了解构成函数的三个要素，会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单应用.3.了解函数的三种表示方法（图像法，列表法，解析法），会根据不同需要选择适当的方法表示函数，掌握求函数解析式的常用方法.4.了解简单的分段函数，会画分段函数的图像，会求分段函数的函数值.核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理
初中定义：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数.如y＝x2+2x-3 y＝-3x-1等.
高中定义：一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有 唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f（x），x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围（即数集A）称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f（x），x∈A}称为函数的值域.函数的这种定义强调的是“ 对应关系 ”，对应关系也可用其他小写英文字母如g，h等表示.
函数的三个特性：从函数的定义中可得到三个特性（1）任意性：即定义域A中的每一个实数都有函数值对应；（2）唯一性：每一个自变量有唯一的函数值与之对应； （3）非空性：函数定义中的集合A与B必须是非空的数集.
对比上上述两种定义，他们之间有什么相同点和不同点呢？
（1）相同点：两种对应关系满足的条件是相同的，即“变量x的每一个值”以及“A中的任意数x”都有唯一一个“y值”及“数y”分别与之对应.（2）不同点：初中定义是从变量变化的角度来刻画两个变量之间的对应关系，强调变量的依赖关系，生动直观，是客观的、动态的；高中定义则是从集合间的对应关系的角度来刻画两个非空数集间的对应关系，强调近代数学中集合间的对应关系，细致入微.
函数的自变量取值的范围称为这个函数的定义域.定义域必须是非空的数集；考虑问题要全面，要找出所有制约自变量取值的条件，一般没有给出定义域，通常认为定义域为R.
函数的概念中的核心是“对应” ，函数的中两个非空数集A,B之间必须有一种确定的对应关系 f . 对应关系主要包括图像、列表、解析式三种形式，其中以解析式为主.
函数的值域是函数值的集合.
通常一个函数的定义域和对应关系确定后，值域就确定了.所以有 时候也称定义域和对应关系为函数的二要素.
定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一个函数，因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应关系.如y＝x，y＝2x，它们的定义域、值域都是R，但它们不是同一个函数.
在初中我们已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图像法.
【1】解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如y=2x+3
【2】列表法，就是列出表格表示两个变量之间的对应关系.
【3】图像法，就是画出函数图像来表示两个变量之间的对应关系.
用什么方法来表示函数呢？
用列表法，不用计算，看表就知道函数值
用解析法，便于研究函数性质
用图像法，容易表示出函数的变化情况
【1】解析法必须标明函数的定义域
在用三种方法表示函数时要注意：
【2】列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系
【3】图像法必须搞清楚函数图像是“点”还是“线”
并不是所有函数都能用解析法表示，如某地一年中每天的最高气温是日期的函数，该函数就不能用解析法表示；也不是所有函数都可以用列表法表示，如函数f(x)=x.
【例】某种笔记本的单价是5元，买m(m∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用 函数的三种表示法来表示函数y=f(m).
【解析法】y=5m,m∈{1,2,3,4,5}
【列表法】函数可以表示如下表：
【图像法】函数图像可以表示如图：
25201510 5
0 1 2 3 4 5
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.
（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数，处理分段函数的问题时，首 先要明确自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.
（2）分段函数在书写的时候左边用大括号把几个对应关系括在一起，在每 段对应关系表达式的后面用小括号写上相应的取值范围.
（3）分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，只能写成一个集合 的形式；值域是各段函数在对应自变量取值范围内值域的并集.
（2）含绝对值符号的函数：
例 北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价.其中年用水量不超过180 m3的部分，综合用水单价为5元/m3；超过180 m3但不超过260 m3的部分，综合用水单价为7元/m3.如果北京市一居民年用水量为x m3，其要缴纳的水费为f（x）元.假设0≤x≤260，试写出f（x）的解析式.
画函数图像的常用方法是描点法，有列表、描点、连线三个步骤.
1.先确定函数的定义域，要在定义域内取点；要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等，而要画出更精确的图像，需要取更多的点.2.函数图像可以是连续的曲线、直线、折线，也可以是离散的点等，因此第三步“连线”有时不需要.3.对于已经熟悉形状的一次函数的图像——直线（或线段），只需选出2个特殊点即可作出全图（图像与坐标轴的交点或两端点）；二次函数的图像——选3类点（图像的顶点、端点、与坐标轴的交点）即可画出图像的大致轮廓，也利于减少取点的数量，比较准确地作出函数的图像.  
例 作出下列函数的图像：（1）y=-x2+2x+3；（2）y= （x∈［0，16］）.
解 （1）函数f（x）=-x2+2x+3的定义域为R，列表如下：在平面直角坐标系中描点、连线，得到如图所示的函数图像.
（2）在定义域内选择容易计算的几个x的值，列出x，y的对应值如下：根据表中数据在平面直角坐标系中描点、连线，得到如图所示的函数图像.
题型1 同一函数的判定
判断两个函数是否为同一个函数的方法先求函数f（x）和g（x）的定义域，如果定义域不同，那么它们不是同一函数，如果定义域相同，再化简函数的表达式，如果化简后的函数表达式相同，那么它们是同一函数，否则它们不是同一函数.
题型2 求函数的定义域
求函数定义域的方法（1）列不等式（组）：根据使解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组）；（2）解不等式（组）：解出所列不等式或不等式组中每个不等式的解集后求交集；（3）得定义域：把不等式（组）的解集表示成集合或区间的形式；（4）求由实际问题给出的函数定义域，不仅要确保其解析式有意义，更要确保有实际意义.
题型3 求函数值和函数的值域
题型4 求函数的解析式
答案 （1）f（x）＝-2x+1 （2）A （3）D
题型5 分段函数问题
解析 由题意，得f（1）＝12-4×1+6＝3.当x≥0时，f（x）>f（1），即x2-4x+6>3，即x2-4x+3>0，即（x-1）（x-3）>0，∴ 0≤x<1或x>3；当x<0时，f（x）>f（1），即x+6>3，即x>-3，∴ -33.故原不等式的解集为{x|-33}.答案 {x|-33}
{x|-33}
分段函数问题的常见解法（1）求分段函数的函数值的方法：先确定自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值.（2）已知分段函数的函数值求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验.（3）在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可.
题型6 函数的图像问题
例6　函数y= 的图像是（　　 ） A B C D
解决函数图像识别问题的方法解决函数图像识别问题的基本方法是排除法，即根据函数的定义域确定图像所在的范围；根据特殊点确定图像的位置，一般为图像与坐标轴的交点、图像的最高（低）点.若解析式中含有参数，关键有两点：一是抓住函数解析式的特征，注意解析式中的参数在函数图像中的体现；二是由已知函数图像得出相关信息，由此确定解析式中参数的取值.