高中数学3.1.2 函数的单调性公开课课件ppt

这是一份高中数学3.1.2 函数的单调性公开课课件ppt，共34页。PPT课件主要包含了学习目标，新知学习，即时巩固，函数的最值与最值点，题型训练，方法感悟等内容，欢迎下载使用。

1.理解函数单调性与函数平均变化率的定义.2.运用单调性的定义及函数平均变化率的正负判断函数的单调性.并会求函数的单调区间.3.会根据函数的单调性求参数或解含有参数的不等式.4.会利用函数的单调性求函数的最值.核心素养：数学运算、逻辑推理
情境与问题我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题.德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律. 如果我们以x表示时间间隔（单位：h），y表示记忆保持量（单位：%），则不难看出，上图中，y是x的函数，记这个函数为y=f（x）. 这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
怎样用不等式符号表示“y随着x的增大而增大”“y随着x的增大而减小”？
1.增函数、减函数一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，且I ⊆ D：（1）如果对任意x1，x2∈I，当x1f（x2），则称y＝f（x）在I上是减函数（也称在I上单调递减），如图（2）所示2.函数的单调性，单调区间两种情况下，都称函数在I上具有单调性（当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）.
这就是我们马上要学习的知识-函数的单调性
从函数的图像能方便地看出函数的单调性.但一般情况下，得到函数的图像并不容易，而且手工作出的图像往往都不精确，因此我们要探讨怎样从函数的解析式来证明函数的单调性.这可以利用函数单调性的定义和不等式的证明方法.
如下图所示的函数y=f（x），在[-6，-4]上是增函数，在[-4，-2]上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在[1，3]上是减函数，在[3，6]上是增 函数.
证明 任取x1，x2∈R且x10，从而f（x1）>f（x2）.因此，函数f（x）=-2x在R上是减函数.
例1 求证：函数f（x）=-2x在R上是减函数.
一般地，设函数f（x）的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f（x）≤f（x0），则称f（x）的最大值为f（x0），而x0称为f（x）的最大值点如果对任意x∈D，都有f（x）≥f（ x0 ），则称f（x）的最小值为f（x0），而x0称为f（x）的最小值点最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.
解 任取x1，x2∈[-1，6]且x1例2 判断函数f（x）=3x+5，x∈[-1，6]的单调性，并求这个函数的最值.
提示 例2的结论也可由不等式的知识得到：因为-1≤x≤6，所以3≤3x≤18，2≤3x+5≤23，即f（-1）≤f（x）≤f（6），其余同上.
如图所示，直线AB的斜率即为Rt△ACB中BC与AC的比.另外，图中，直线AB的斜率大于零，而直线AD的斜率小于零.不难看出，平面直角坐标系中的三个点共线，当且仅当其中任意两点确定的直线的斜率都相等或都不存在.下面我们用直线的斜率来研究函数的单调性.由函数的定义可知，任何一个函数图像上的两个点，它们所确定的直线的斜率一定存在.
判断函数单调性的充要条件如下图所示，观察函数图像上任意两点连线的斜率的符号与函数单调性之间的关系，并总结出一般规律
例4 判断一次函数y＝kx+b（k≠0）的单调性.
例5 证明函数f（x）＝x2+2x在（-∞，-1］上是减函数，在［-1，+∞） 上是增函数，并求这个函数的最值.
题型1 函数单调性的判断与证明
利用定义证明函数单调性的方法注意：作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多为几个因式乘积的形式.
3.用图像法证明函数的单调性例3　求下列函数的单调区间：（1）y＝|x2+2x-3|；（2）y＝-x2+2|x|+1.
利用图像法判断函数单调性的注意点凡是能作出函数图像的单调性问题，都可用图像法解决.此法主要用于我们熟悉其图像特点的函数（如一次函数、二次函数、反比例函数等）的单调性判断，或应用于能通过常见函数图像的平移，翻折等变换得到其图像的其他函数的单调性的判断.图像法具有直观性，常用于判断分段函数或含绝对值的函数的单调性.
题型2 函数单调性的应用1.利用函数单调性比较大小
利用函数单调性比较大小的方法利用函数的单调性可比较函数值或自变量的大小，在比较函数值的大小时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.常用结论如下：（1）若y＝f（x）在给定区间M上是增函数，则当x1，x2∈M时，x1f（x2）.
题型2 函数单调性的应用2.利用函数单调性解不等式
题型2 函数单调性的应用3.利用函数单调性求参数的取值范围
例6　函数f（x）＝ax2+2x-1在［1，2］上是增函数，则a的取值范围是 .
利用函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）将参数看成已知数，先求出函数的单调区间，再与已知的此类函数的单调区间比较，列出关于参数的不等式，求出参数的取值范围； （2）运用函数的单调性的定义建立关于参数的不等式（组）或方程（组），解不等式（组）或方程（组），求出参数的取值范围. （3）解决分段函数的单调性问题时，一般要从两个方面思考：一是考虑每个分段区间上函数的单调性；二是考虑端点处的衔接情况.由这两方面列不等式组求解. 
题型3 求函数的最值
求函数最值的方法求函数最值的问题实质上就是求函数的值域问题，因此求函数值域的方法也可用来求函数最值.求函数最值的常用方法如下： （1）配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围； （2）换元法：用换元法时一定要注意新元的取值范围； （3）数形结合法：对于图像较容易画出的函数的最值问题，可借助图像直观得到； （4）利用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值.