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高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.3 函数的奇偶性优秀ppt课件
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.3 函数的奇偶性优秀ppt课件，共32页。PPT课件主要包含了学习目标，新知学习，即时巩固，函数的奇偶性的应用，题型训练，方法感悟等内容，欢迎下载使用。
1.了解奇函数、偶函数的定义及其判断方法.2.了解函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系.3.会利用函数的奇偶性求函数的解析式.4.能运用函数的单调性与奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题.核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象
知识回顾初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道，在平面直角坐标系中，点（x，y）关于y轴的对称点为（-x，y），关于原点的对称点为（-x，-y）.例如，（-2，3）关于y轴的对称点为（2，3） ，关于原点的对称点为（2，-3） .
尝试与发现填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图像应具有的特征.
1.偶函数一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f（-x）＝f（x），则称y＝f（x）为偶函数.2.偶函数的图像特征我们知道，点P（x，f（x））与Q（-x，f（-x））都是函数y＝f（x）图像上的点，按照偶函数的定义，点Q又可以写成Q（-x，f（x）），因此点P和点Q关于y轴对称，所以偶函数的图像关于y轴对称；反之，结论也成立，即图像关于y轴对称的函数一定是偶函数.如图所示是尝试与发现中两个函数的图像.
3.奇函数一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都-x∈D，且f（-x）＝-f（x），则称y=f（x）为奇函数.4.奇函数的图像特征奇函数的图像特征也可按照下述方式得到：点P（x，f（x））与Q（-x，f（-x））都是函数y＝f（x）图像上的点，如果y＝f（x）是奇函数，则点Q又可以写成Q（-x，-f（x）），因此点P和点Q关于原点对称，所以奇函数的图像关于原点对称；反之，结论也成立，即图像关于原点对称的函数一定是奇函数.如图所示是奇函数f（x）＝x3和g（x）＝ 的图像.
如果一个函数是偶函数或是奇函数，则称这个函数具有奇偶性.可以看出，当n是正整数时，函数f（x）＝x2n是偶函数，函数g（x）＝x2n-1是奇函数.
一个函数奇偶性的四种可能（1）是奇函数但不是偶函数；（2）是偶函数但不是奇函数；（3）既是奇函数又是偶函数；（4）既不是奇函数也不是偶函数.
解 （1）因为函数的定义域为R，所以x∈R时，-x∈R.又因为f（-x）＝（-x）+（-x）3+（-x）5＝-（x+x3+x5）＝-f（x），所以函数f（x）＝x+x3+x5是奇函数.（2）因为函数的定义域为R，所以x∈R时，-x∈R.又因为f（-x）＝（-x）2+1＝x2+1＝f（x），所以函数f（x）＝x2+1是偶函数.
例1 判断下列函数是否具有奇偶性：（1）f（x）＝x+x3+x5；（2）f（x）＝x2+1；（3）f（x）＝x+1；（4）f（x）＝x2，x∈［-1，3］.
（3）因为函数的定义域为R，所以x∈R时，-x∈R.又因为f（-1）＝0，f（1）＝2，所以f（-1）≠-f（1）且f（-1）≠f（1） ， 因此函数f（x）＝x+1既不是奇函数也不是偶函数（也可说成f（x）是非奇非偶函数）.（4）因为函数的定义域为［-1，3］，而3∈［-1，3］，但-3∈［-1，3］，所以函数f（x）＝x2，x∈［-1，3］是非奇非偶函数.
说明 设函数f（x）的定义域为D，如果存在x0∈D，但-x0∈D，即函数f（x）的定义域不关于原点对称，则f（x）既不是奇函数也不是偶函数.
证明 因为f（x）是奇函数，所以f（-0）＝-f（0），即f（0）＝-f（0），所以2f（0）＝0，因此f（0）＝0.
例2 已知奇函数f（x）的定义域为D，且0∈D，求证：f（0）＝0.
因为函数的奇偶性描述了函数图像具有的对称性，所以利用函数的奇偶性能简化函数性质的研究.如果知道一个函数是奇函数或是偶函数，那么其定义域能分成关于原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图像，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像.
尝试与发现已知函数f（x）满足f（5）＝-3，分别在条件“f（x）是偶函数”与“f（x）是奇函数”下求出f（-5）的值.
提示 如果f（x）是偶函数，则f（-5）＝f（5）＝-3； 如果f（x）是奇函数，则f（-5）＝-f（5）＝3.
解 （1）因为f（x）是偶函数，所以f（-x）＝f（x），因此f（-5）＝f（5），f（-3）＝f（3），从而由条件可知f（-5）-f（3），从而f（-5）>f（-3）.
例3 已知函数f（x）满足f（5）
尝试与发现已知函数y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数，且它们的部分图像如图所示，补全函数图像，并总结出当函数具有奇偶性时，函数单调性的规律.
1.函数奇偶性与单调性的关系 如果y＝f（x）是偶函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相反；如果y＝f（x）是奇函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相同.
2.函数对称性的证明初中时，我们就在观察图像的基础上总结出过这个结论，但当时并没有给出严格的证明.为了证明函数的图像关于x＝0（即y轴）对称，只需证明x轴上关于原点对称的两点对应的函数值相等，那么该怎样证明函数的图像关于x＝-2对称呢？如图所示，已知数轴上的A，B两点关于-2对应的点对称，而且点A的坐标是-2+h，则点B的坐标是-2-h
证明 任取h∈R，因为f（-2+h）＝（-2+h）2+4（-2+h）+6＝h2+2，f（-2-h）＝（-2-h）2+4（-2-h）+6＝h2+2，所以f（-2+h）＝f（-2-h），这就说明函数的图像关于x＝-2对称.
例5 求证：二次函数f（x）＝x2+4x+6的图像关于x＝-2对称.
题型1 函数奇偶性的判断
题型2 奇、偶函数图像特征的应用
例2 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝x2-4x，则不等式f（x）>x的解集用区间表 示为 .
解题提示 先由已知画出函数图像的示意图，再结合所画的示意图求解.
解析 如图，作出f（x）＝x2-4x（x>0）的图像，由于f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，利用奇函数的图像关于原点对称可作出当x<0时f（x）的图像.又f（x）的图像与y＝x的图像交于点P（5，5），Q（-5，-5）及坐标原点，不等式f（x）>x表示函数y＝f（x）的图像在函数y＝x的图像的上方，观察图像知不等式f（x）>x的解集为（-5，0）∪（5，+∞）.答案 （-5，0）∪（5，+∞）
（-5，0）∪（5，+∞）
解决奇、偶函数图像问题的方法 （1）解决奇、偶函数的图像问题，一般需要借助奇、偶函数图像的对称性，由y轴一侧的图像画出另一侧的图像，有了图像，我们可直观地研究函数的性质. （2）利用奇、偶函数图像的对称性作出函数图像的简图，使问题直观明了，这是我们处理有关不等式、方程等问题的常用方法，是数形结合思想的应用.
题型3 函数奇偶性的简单应用
1.利用函数的奇偶性求函数值例3 已知f（x）＝ax3+bx+1（ab≠0），若f（2 018）＝k，则f（-2 018）＝（ ）A.kB.-kC.1-kD.2-k
解析 （方法一）设g（x）＝f（x）-1＝ax3+bx，则g（x）为奇函数.∵ g（2 018）＝f（2 018）-1＝k-1，∴ g（-2 018）＝f（-2 018）-1＝-（k-1），∴ f（-2 018）＝1-（k-1）＝2-k.（方法二）∵ f（x）＝ax3+bx+1，∴ f（2 018）＝a·2 0183+b·2 018+1＝k.∴ f（-2 018）＝a·（-2 018）3+b·（-2 018）+1＝-（a·2 0183+b·2 018）+1＝-（k-1）+1＝2-k.答案 D
利用函数的奇偶性求函数值的方法利用函数的奇偶性求函数值的题型一般是已知f（a）求f（-a），解题思路就是判断f（x）的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，然后利用函数的奇偶性找出f（a）与f（-a）的关系，进而求得f（-a）.
题型3 函数奇偶性的简单应用2.利用函数奇偶性求解析式
根据函数的奇偶性求函数解析式的方法已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式时，先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后利用函数的奇偶性求解即可.具体过程如下：（1）在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间上；（2）将-x代入已知区间上的解析式；（3）利用f（x）的奇偶性把f（-x）写成-f（x）或f（x）的形式，从而解出f（x）.
题型3 函数奇偶性的简单应用3.利用函数奇偶性求参数值
例5 若f（x）＝（x+a）（x-4）为偶函数，则实数a＝ .
解析 （方法一）由f（x）为偶函数，可得f（x）＝（x+a）（x-4）＝x2+（a-4）x-4a， f（-x）＝（-x+a）（-x-4）＝x2-（a-4）x-4a两式恒相等，则a-4＝0，可得a＝4. （方法二）f（x）＝（x+a）（x-4）＝x2+（a-4）x-4a，要使函数f（x）为偶函数，只需等号右边的奇次项系数为0即可，即a-4＝0，可得a＝4.（方法三）∵ 函数在x＝±1处有意义且f（x）是偶函数，∴ f（-1）＝f（1），∴ （a-1）×（-5）＝（a+1）×（-3），解得a＝4.答案 4
已知函数的奇偶性求参数值的解题方法（1）若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程并求解.（2）一般化策略：取定义域内的任意一个值，利用f（-x）与f（x）的关系来确定参数的值. （3）特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值列方程求解.注意这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去.
题型4 函数奇偶性的综合应用
奇偶性与单调性综合的常见题型及其解法 （1）比较大小问题.一般解法是利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较其函数值的大小. （2）抽象不等式问题.抽象不等式的解题步骤：①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；②利用单调性脱去符号“f ”，转化为解不等式（组）的问题.在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上，当不等式一边没有符号“f ”时，需转化为含符号“f ”的形式.在解决以上两种题型的问题时，经常要用到f（-x）与f（x）的转化，尤其要注意当函数f（x）为偶函数时f（x）＝f（|x|）的结论的灵活运用.
1.了解奇函数、偶函数的定义及其判断方法.2.了解函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系.3.会利用函数的奇偶性求函数的解析式.4.能运用函数的单调性与奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题.核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象
知识回顾初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道，在平面直角坐标系中，点（x，y）关于y轴的对称点为（-x，y），关于原点的对称点为（-x，-y）.例如，（-2，3）关于y轴的对称点为（2，3） ，关于原点的对称点为（2，-3） .
尝试与发现填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图像应具有的特征.
1.偶函数一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f（-x）＝f（x），则称y＝f（x）为偶函数.2.偶函数的图像特征我们知道，点P（x，f（x））与Q（-x，f（-x））都是函数y＝f（x）图像上的点，按照偶函数的定义，点Q又可以写成Q（-x，f（x）），因此点P和点Q关于y轴对称，所以偶函数的图像关于y轴对称；反之，结论也成立，即图像关于y轴对称的函数一定是偶函数.如图所示是尝试与发现中两个函数的图像.
3.奇函数一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都-x∈D，且f（-x）＝-f（x），则称y=f（x）为奇函数.4.奇函数的图像特征奇函数的图像特征也可按照下述方式得到：点P（x，f（x））与Q（-x，f（-x））都是函数y＝f（x）图像上的点，如果y＝f（x）是奇函数，则点Q又可以写成Q（-x，-f（x）），因此点P和点Q关于原点对称，所以奇函数的图像关于原点对称；反之，结论也成立，即图像关于原点对称的函数一定是奇函数.如图所示是奇函数f（x）＝x3和g（x）＝ 的图像.
如果一个函数是偶函数或是奇函数，则称这个函数具有奇偶性.可以看出，当n是正整数时，函数f（x）＝x2n是偶函数，函数g（x）＝x2n-1是奇函数.
一个函数奇偶性的四种可能（1）是奇函数但不是偶函数；（2）是偶函数但不是奇函数；（3）既是奇函数又是偶函数；（4）既不是奇函数也不是偶函数.
解 （1）因为函数的定义域为R，所以x∈R时，-x∈R.又因为f（-x）＝（-x）+（-x）3+（-x）5＝-（x+x3+x5）＝-f（x），所以函数f（x）＝x+x3+x5是奇函数.（2）因为函数的定义域为R，所以x∈R时，-x∈R.又因为f（-x）＝（-x）2+1＝x2+1＝f（x），所以函数f（x）＝x2+1是偶函数.
例1 判断下列函数是否具有奇偶性：（1）f（x）＝x+x3+x5；（2）f（x）＝x2+1；（3）f（x）＝x+1；（4）f（x）＝x2，x∈［-1，3］.
（3）因为函数的定义域为R，所以x∈R时，-x∈R.又因为f（-1）＝0，f（1）＝2，所以f（-1）≠-f（1）且f（-1）≠f（1） ， 因此函数f（x）＝x+1既不是奇函数也不是偶函数（也可说成f（x）是非奇非偶函数）.（4）因为函数的定义域为［-1，3］，而3∈［-1，3］，但-3∈［-1，3］，所以函数f（x）＝x2，x∈［-1，3］是非奇非偶函数.
说明 设函数f（x）的定义域为D，如果存在x0∈D，但-x0∈D，即函数f（x）的定义域不关于原点对称，则f（x）既不是奇函数也不是偶函数.
证明 因为f（x）是奇函数，所以f（-0）＝-f（0），即f（0）＝-f（0），所以2f（0）＝0，因此f（0）＝0.
例2 已知奇函数f（x）的定义域为D，且0∈D，求证：f（0）＝0.
因为函数的奇偶性描述了函数图像具有的对称性，所以利用函数的奇偶性能简化函数性质的研究.如果知道一个函数是奇函数或是偶函数，那么其定义域能分成关于原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图像，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像.
尝试与发现已知函数f（x）满足f（5）＝-3，分别在条件“f（x）是偶函数”与“f（x）是奇函数”下求出f（-5）的值.
提示 如果f（x）是偶函数，则f（-5）＝f（5）＝-3； 如果f（x）是奇函数，则f（-5）＝-f（5）＝3.
解 （1）因为f（x）是偶函数，所以f（-x）＝f（x），因此f（-5）＝f（5），f（-3）＝f（3），从而由条件可知f（-5）
例3 已知函数f（x）满足f（5）
尝试与发现已知函数y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数，且它们的部分图像如图所示，补全函数图像，并总结出当函数具有奇偶性时，函数单调性的规律.
1.函数奇偶性与单调性的关系 如果y＝f（x）是偶函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相反；如果y＝f（x）是奇函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相同.
2.函数对称性的证明初中时，我们就在观察图像的基础上总结出过这个结论，但当时并没有给出严格的证明.为了证明函数的图像关于x＝0（即y轴）对称，只需证明x轴上关于原点对称的两点对应的函数值相等，那么该怎样证明函数的图像关于x＝-2对称呢？如图所示，已知数轴上的A，B两点关于-2对应的点对称，而且点A的坐标是-2+h，则点B的坐标是-2-h
证明 任取h∈R，因为f（-2+h）＝（-2+h）2+4（-2+h）+6＝h2+2，f（-2-h）＝（-2-h）2+4（-2-h）+6＝h2+2，所以f（-2+h）＝f（-2-h），这就说明函数的图像关于x＝-2对称.
例5 求证：二次函数f（x）＝x2+4x+6的图像关于x＝-2对称.
题型1 函数奇偶性的判断
题型2 奇、偶函数图像特征的应用
例2 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝x2-4x，则不等式f（x）>x的解集用区间表 示为 .
解题提示 先由已知画出函数图像的示意图，再结合所画的示意图求解.
解析 如图，作出f（x）＝x2-4x（x>0）的图像，由于f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，利用奇函数的图像关于原点对称可作出当x<0时f（x）的图像.又f（x）的图像与y＝x的图像交于点P（5，5），Q（-5，-5）及坐标原点，不等式f（x）>x表示函数y＝f（x）的图像在函数y＝x的图像的上方，观察图像知不等式f（x）>x的解集为（-5，0）∪（5，+∞）.答案 （-5，0）∪（5，+∞）
（-5，0）∪（5，+∞）
解决奇、偶函数图像问题的方法 （1）解决奇、偶函数的图像问题，一般需要借助奇、偶函数图像的对称性，由y轴一侧的图像画出另一侧的图像，有了图像，我们可直观地研究函数的性质. （2）利用奇、偶函数图像的对称性作出函数图像的简图，使问题直观明了，这是我们处理有关不等式、方程等问题的常用方法，是数形结合思想的应用.
题型3 函数奇偶性的简单应用
1.利用函数的奇偶性求函数值例3 已知f（x）＝ax3+bx+1（ab≠0），若f（2 018）＝k，则f（-2 018）＝（ ）A.kB.-kC.1-kD.2-k
解析 （方法一）设g（x）＝f（x）-1＝ax3+bx，则g（x）为奇函数.∵ g（2 018）＝f（2 018）-1＝k-1，∴ g（-2 018）＝f（-2 018）-1＝-（k-1），∴ f（-2 018）＝1-（k-1）＝2-k.（方法二）∵ f（x）＝ax3+bx+1，∴ f（2 018）＝a·2 0183+b·2 018+1＝k.∴ f（-2 018）＝a·（-2 018）3+b·（-2 018）+1＝-（a·2 0183+b·2 018）+1＝-（k-1）+1＝2-k.答案 D
利用函数的奇偶性求函数值的方法利用函数的奇偶性求函数值的题型一般是已知f（a）求f（-a），解题思路就是判断f（x）的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，然后利用函数的奇偶性找出f（a）与f（-a）的关系，进而求得f（-a）.
题型3 函数奇偶性的简单应用2.利用函数奇偶性求解析式
根据函数的奇偶性求函数解析式的方法已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式时，先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后利用函数的奇偶性求解即可.具体过程如下：（1）在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间上；（2）将-x代入已知区间上的解析式；（3）利用f（x）的奇偶性把f（-x）写成-f（x）或f（x）的形式，从而解出f（x）.
题型3 函数奇偶性的简单应用3.利用函数奇偶性求参数值
例5 若f（x）＝（x+a）（x-4）为偶函数，则实数a＝ .
解析 （方法一）由f（x）为偶函数，可得f（x）＝（x+a）（x-4）＝x2+（a-4）x-4a， f（-x）＝（-x+a）（-x-4）＝x2-（a-4）x-4a两式恒相等，则a-4＝0，可得a＝4. （方法二）f（x）＝（x+a）（x-4）＝x2+（a-4）x-4a，要使函数f（x）为偶函数，只需等号右边的奇次项系数为0即可，即a-4＝0，可得a＝4.（方法三）∵ 函数在x＝±1处有意义且f（x）是偶函数，∴ f（-1）＝f（1），∴ （a-1）×（-5）＝（a+1）×（-3），解得a＝4.答案 4
已知函数的奇偶性求参数值的解题方法（1）若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程并求解.（2）一般化策略：取定义域内的任意一个值，利用f（-x）与f（x）的关系来确定参数的值. （3）特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值列方程求解.注意这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去.
题型4 函数奇偶性的综合应用
奇偶性与单调性综合的常见题型及其解法 （1）比较大小问题.一般解法是利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较其函数值的大小. （2）抽象不等式问题.抽象不等式的解题步骤：①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；②利用单调性脱去符号“f ”，转化为解不等式（组）的问题.在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上，当不等式一边没有符号“f ”时，需转化为含符号“f ”的形式.在解决以上两种题型的问题时，经常要用到f（-x）与f（x）的转化，尤其要注意当函数f（x）为偶函数时f（x）＝f（|x|）的结论的灵活运用.
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