人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时训练

《13．4课题学习 最短路径问题》课时练

一、选择题

1. 如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　）

A．  B．
C．  D．

2. 如图，已知，点为其内一定点，分别在的两边上找点、，使周长最小的是

A．  B．
C．  D．

3. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（　　）

1. 4
   B． 5
   C． 6
   D． 7

4. A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（        ）

1.  B．
   C．  D．

5. 如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6 cm，则∠AOB的度数是(      )

1. 
   B．
   C．
   D．

6. 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．则△APC周长的最小值为（      ）

1. 
   10 B． 11 C．  D． 13

7. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上一动点，则下列线段的长度等于PC+PE的最小值的是（　　）

A． BE
B． AD
C． AC
D． BC

8. 在平面直角坐标系xOy中，A（1，3），B（5，1），点M在x轴上，当MA+MB取得最小值时，点M的坐标为（　　）

1. 
   B．
   C．
   D．

二、填空题

9. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC=8，∠B=30°，AD⊥BC于点D，点E为AC
   边上的中点，点P为BC上一动点，则PA+PE的最小值为______．

10. 在直角坐标系中，点A（-1，1），点B（3，2），P是x轴上的一点，则PA+PB的最小值是______．
    
    
    
     

11. 如图，△ABC中，AB=AC，BC=4，△ABC的面积为20，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为______．

12. 已知点P（0，1），Q（5，4），点M在x轴上运动，当MP+MQ的值最小时，点M的坐标为______ ．

13. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，AB=12，D是斜边AC的中点，P是AB上一动点，则PC+PD的最小值为_____．
    
    
     

14. 已知A（0，2），B（3，1），在x轴找一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为______ ．

15. 如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠AOB=40°，则∠OPM= ______ ．
    
     

16. 如图，在△ABC中，AC=BC=6，AD，DC分别平分∠BAC，∠ACB，E为BC上一点，若∠ADC=105°，则CD+DE的最小值为______ ．
     

三、解答题

17. 如图，在大河CD的同侧有A，B两个村庄，请在大河CD的边上找到自来水厂P的位置，满足下列条件：​​​​​

    (1) 水厂P到A，B两个村庄的距离相等；

    (2) 水厂P到A，B两个村庄的距离和最短．






 

18. 如图，在平面直角坐标系中完成下列各题：（不写作法，保留作图痕迹）
    （1）在图一中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出A1、B1、C1的坐标．
    （2）在图二中x轴上画出点P，使PA+PB的值最小．

19. 如图，点P、Q为∠MON内两点，分别在OM与ON上找点A、B，使四边形PAQB的周长最小．

20. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，网格中有一个△ABC．
    （1）请直接写出△ABC的面积为______．
    （2）利用方格找出点A、B、C关于直线MN的对称点D、E、F，并顺次连接D、E、F三点．
    （3）若点P是直线MN上的一个动点，则PC+PA的最小值为______．

21. 如图，在△ABC中，AB=AC．
    （1）利用尺规作线段AB的垂直平分线DE，垂足为E，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
    （2）在（1）的条件下，
    ①若∠A=30°，求∠DBC的度数；
    ②若△ABC的面积是12，BC=4，点M、N分别是BC、DE上的动点，求BN+NM的最小值．
    
    
    
    
    
    
     

22. 如图，为了做好2013年沈阳全运会起降的交通安全工作，某交警执勤小队从A处出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后再到B地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？
    
    
    
    
    
    
    
    

参考答案

9．4
10．5
11．12
12．（1，0）
13．12
14．（2，0）
15．50°
16．3
17．解：（1）如图：

（2）如图：
​
 

18．解：（1）如图一所示；
，
由图可知，A1（-1，2），B1（-3，1），C1（2，-1）；

（2）如图二所示．
．
 

19．解：作点P关于直线OM的对称点P′，作Q关于直线ON的对称点Q′，连接P′Q′交OM于A，ON于B，
则此时四边形PAQB的周长最小．
 

20．4   6
 

21．解：（1）如图，DE为所作；

（2）①∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=×（180°-30°）=75°，
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=30°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=75°-30°=45°；
②如图，∵DE垂直平分AB，
∴NA=NB，
∴BN+NM=AN+MN≥AM（当且仅当A、N、M共线时取等号），
∵当AM⊥BC时，AM的长度最小，
∵AM•BC=12，
∴AM=6，
∴BN+NM的最小值为6
 

22．解：如图所示，交警小队沿A→C→D→B走才能使总路程最短．