+广东省揭阳市普宁市2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题

这是一份+广东省揭阳市普宁市2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级质量监测等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年度七、八年级质量监测
八年级数学试题卷
一、选择题（每题3分，共30分．每题只有一个选项符合题意）
1. 将图中可爱的“小鸭子”图片按逆时针方向旋转90°后得到的图片是( )

A. B. C. D.
2. 如图，数轴上所表示关于x的不等式组的解集是（　 　）

A. B. C. D.
3. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，ADBC，添加如下一个条件，使四边形ABCD为平行四边形（不添加任何辅助线），其中错误是（ ）．

A. AD=BC B. AB=CD C. AO=CO D. ABCD
4. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数等于（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
5. 要把分式方程化为整式方程，方程两边要同时乘以( )
A. B. C. D.
6. 下列因式分解正确的是（　　）
A. （x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 B. x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
C. （x+y） 2＝x2+y2 D. x2+y2＝（x+y）2
7. 如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是(　　)

A. 10cm B. 12cm C. 15cm D. 17cm
8. 一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）

A. B. C. D.
9. 下列命题的逆命题是假命题是( )
A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 平行四边形对边平行且相等
C. 如果，那么或 D. 如果两个角是对顶角，那么它们相等
10. 如图，已知平行四边形ABCD中，3AB＝2BC，点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，过点O作EFAB，分别交AD、BC于E、F两点，连接OD、OC．则下列结论：①AO⊥BO；②点O是EF的中点；③DE＝2AE；④S△OCD＝4S△OAE，其中正确的有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（每题4分，共28分）
11. 分解因式：_______.
12. 如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为______．


13. 若，则的值是______．
14. 分式方程的解是______．
15. 如图，在中，，，以点圆心，以任意长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点，则的长为_____．

16. 如图，在中，，过点B作，交于点D，若，则的长度为_________．

17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B在第一象限角平分线上，且BA⊥x轴，现将点A、B绕点O同时逆时针匀速旋转，当点A绕点O旋转90°到达y轴上的点C时，点B刚好绕点O旋转了45°到达y轴上的点D'处．则当点A旋转一周回到（2，0）时，点B所在的位置坐标为 _____．

三、解答题
18. 先化简，再求值，其中.
19. 解不等式组，并在数轴上表示出不等式组的解集．
20. 如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O，

（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
21. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．

22. 某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商城准备一次性购进这两种家电共100台，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，一共有多少种合理的购买方案？
23. 阅读与思考：分组分解法指通过分组分解方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式


例2：“三一分组”：
解：原式


归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：①；②；
（2）已知的三边a，b，c满足，试判断的形状．
24. 已知M是等边的边BC上的点．


（1）如图①，过点M作，交AB于点N，求证：；
（2）如图②，连接AM，过点M作，MH与的邻补角的平分线交于点H，过点H作，交BC延长线于点D．求证：；
（3）在（2）的条件下，猜想CB，CM，CD之间的数量关系，并证明．
25. 如图，在ABCD中，AE⊥BC于点E，BE=3，AB=5，连接AC，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是AF，EF的中点，连接GH．设点F运动的时间为t．

（1）判断GH与AE的位置关系和数量关系，并求出GH的长；
（2）若CE＝AB．
①求点F由点A向点C匀速运动过程中，线段GH所扫过区域的面积；
②若△FGH是等腰三角形，求t的值．
2021-2022学年度七、八年级质量监测
八年级数学试题卷解析版
一、选择题（每题3分，共30分．每题只有一个选项符合题意）
1. 将图中可爱的“小鸭子”图片按逆时针方向旋转90°后得到的图片是( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用旋转的性质得出对应图形即可．
【详解】解：将图中可爱的“小鸭子”图片按逆时针方向旋转90°后得到的图片是：

故选D
【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确掌握旋转方向是解题关键．
2. 如图，数轴上所表示关于x的不等式组的解集是（　 　）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题解析：由数轴可得：关于x的不等式组的解集是：x≥2．
故选A．

3. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，ADBC，添加如下一个条件，使四边形ABCD为平行四边形（不添加任何辅助线），其中错误的是（ ）．

A. AD=BC B. AB=CD C. AO=CO D. ABCD
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：A、添加条件AD=BC，再由ADBC，可以证明四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；
B、添加条件AB=CD，再由ADBC，不可以证明四边形ABCD是平行四边形，故B符合题意；
C、∵ADBC，
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
添加条件AO=CO，
∴△AOB≌△COB（AAS），
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故C不符合题意；
D、添加条件AB∥CD，再由AD∥BC，可以证明四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知平行四边形的判定是解题的关键．
4. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数等于（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数.
【详解】∵一个多边形的每一个外角都等于36°，
∴多边形的边数为360°÷36°=10．
故选B.
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°，已知多边形的外角求多边形的边数是一个考试中经常出现的问题.
5. 要把分式方程化为整式方程，方程两边要同时乘以( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简公分母的确定方法确定分式的最简公分母即可解答.
【详解】解：∵分式的最简公分母2x(x-2),
∴把分式方程化为整式方程，方程两边要同时乘以2x(x-2).
故选D.
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
6. 下列因式分解正确的是（　　）
A. （x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 B. x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
C （x+y） 2＝x2+y2 D. x2+y2＝（x+y）2
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解的定义，利用提公因式法、公式法分解因式后，并逐项进行判断即可．
【详解】解：A．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2不符合因式分解的意义，因此选项A不符合题意；
B．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）是利用平方差公式进行的因式分解，因此选项B符合题意；
C．（x+y） 2＝x2+2xy+y2，且不符合因式分解的意义，因此选项C不符合题意；
D．（x+y）2＝x2+2xy+y2≠x2+y2，且不符合因式分解的意义，因此选项D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查因式分解的定义和方法，解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的定义和方法.
7. 如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是(　　)

A. 10cm B. 12cm C. 15cm D. 17cm
【答案】C
【解析】
【分析】由DE是△ABC中边AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得BD=AD，AB=2AE，又由△ADC的周长为9cm，即可得AC+BC=9cm，继而求得△ABC的周长．
【详解】解：∵DE是△ABC中边AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AB=2AE=2×3=6（cm），
∵△ADC的周长为9cm，
即AD+AC+CD=BD+CD+AC=BC+AC=9cm，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=6+9=15（cm）．
∴△ABC的周长为15cm
故答案选C．
8. 一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】写出函数图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】当x＞-3时，y＜0，
所以不等式kx+b＜0的解集是x＞-3．
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9. 下列命题的逆命题是假命题是( )
A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 平行四边形的对边平行且相等
C. 如果，那么或 D. 如果两个角是对顶角，那么它们相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意写出每个命题的逆命题，即可求解．
【详解】解：A、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故本选项不符合题意；
B、逆命题为对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题，故本选项不符合题意；
C、逆命题为如果或，那么，是真命题，故本选项不符合题意；
D、逆命题为如果两个角相等，那么它们是对顶角，是假命题，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了真假命题的判定，平行四边形的判定，平行线的判定等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
10. 如图，已知平行四边形ABCD中，3AB＝2BC，点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，过点O作EFAB，分别交AD、BC于E、F两点，连接OD、OC．则下列结论：①AO⊥BO；②点O是EF的中点；③DE＝2AE；④S△OCD＝4S△OAE，其中正确的有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质得到ADBC，ABCD，AB＝CD，AD＝BC，利用平行线的性质和角平分线的定义计算出∠OAB＋∠OBA＝90°，则∠AOB＝90°，于是可对①进行判断；利用平行线的性质证明∠EAO＝∠AOE，∠OBF＝∠BOF得到AE＝OE，BF＝OF，再证明四边形ABFE为平行四边形得到AE＝BF，所以OE＝OF，则可对②进行判断；设AB＝2x，BC＝3x，则EF＝2x，AD＝3x，EA＝OE＝x，DE＝2x，则可对③进行判断；利用三角形面积公式和平行四边形的面积公式得到S平行四边形ABFE＝S平行四边形FEDC，S△OAB＝S平行四边形ABFE，S△OCD＝S平行四边形FEDC，S△OAB＝S△OCD，S△AOE＝S△OAB，所以S△AOE＝S△OCD，从而可对④进行判断．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADBC，ABCD，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，
∴∠OAB＝∠BAD，∠OBA＝∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAD+∠ABC）＝×180°＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AO⊥BO，所以①正确；
∵EFAB，
∴∠OAE＝∠AOE，∠OBA＝∠BOF，
∴∠EAO＝∠AOE，∠OBF＝∠BOF，
∴AE＝OE，BF＝OF，
∵AEBF，ABEF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴AE＝BF，
∴OE＝OF，即O点为EF的中点，所以②正确；
∵3AB＝2BC，
∴设AB＝2x，BC＝3x，
∴EF＝2x，AD＝3x，
∴EA＝OE＝EF＝x，
∴DE＝AD﹣AE＝3x﹣x＝2x，
∴DE＝2AE，所以③正确；
而AB＝CD，
∴S平行四边形ABFE＝S平行四边形FEDC，
∵S△OAB＝S平行四边形ABFE，S△OCD＝S平行四边形FEDC，
∴S△OAB＝S△OCD，
∵OE＝OF，
∴S△AOE＝S△BOF，
∴S△AOE＝S△OAB，
∴S△AOE＝S△OCD，所以④正确．
故选：D．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．也考查了等腰三角形的判定与性质．
二、填空题（每题4分，共28分）
11. 分解因式：_______.
【答案】．
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可
【详解】解：，
故答案为：．
12. 如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为______．


【答案】1.6
【解析】
【分析】由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．
【详解】解：由旋转的性质可得：AD=AB，
∵∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，
∵AB=2，BC=3.6，
∴CD=BC-BD=3.6-2=1.6．
故答案为1.6．
【点睛】此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
13. 若，则的值是______．
【答案】-3
【解析】
【分析】先根据题意得出-3（a-b）=ab，再代入原式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴-3（a-b）=ab．
原式==-3．
故答案为：-3．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
14. 分式方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得：，
解得，
经检验是原方程的解，
故答案为：
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．．
15. 如图，在中，，，以点的圆心，以任意长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点，则的长为_____．

【答案】2
【解析】
【分析】根据作图过程可得平分；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明，证出，即可得出的长．
【详解】根据作图的方法得：平分，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出是解决问题的关键．
16. 如图，在中，，过点B作，交于点D，若，则的长度为_________．

【答案】2
【解析】
【分析】过点B作BE⊥AC于点E，设DE=x，然后通过直角三角形30°角的性质求得BD=2x，CD=4x，CE=3x，再运用由等腰三角形的性质得到AE=CE，列方程求解x，即可求出CD的长．
【详解】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，设DE=x，则AE=AD+DE=1+x．

∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°
∵，∴∠DBC=90°
∴∠EDB=60°，∠DBE=30°
∴BD=2DE=2x，DC=2DB=4x
∴CE=DC-DE=3x
∵AB=BC， BE⊥AC，
∴AE=CE
∴1+x=3x，解得x=
∴CD=4x=2．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形30°所对的边等于斜边的一般，需要熟练运用考查的性质进行解题．
17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B在第一象限角平分线上，且BA⊥x轴，现将点A、B绕点O同时逆时针匀速旋转，当点A绕点O旋转90°到达y轴上的点C时，点B刚好绕点O旋转了45°到达y轴上的点D'处．则当点A旋转一周回到（2，0）时，点B所在的位置坐标为 _____．

【答案】（-2，-2）
【解析】
【分析】由题意，△AOB是等腰直角三角形，判断出点B的位置，可得结论．
【详解】解：∵当点A绕点O旋转90°到达y轴上的点C时，点B刚好绕点O旋转了45°到达y轴上的点D'处，
∴点A每旋转90°，点B才旋转45°，
由题意，△AOB是等腰直角三角形，
∵A（2，0），
∴OA=OB=2，OB=2，
当点A旋转一周回到（2，0）时，即点A旋转了360°，则点B才旋转了180°，
∴点B位于第三象限角平分线上，此时B（-2，-2），
故答案为：（-2，-2）．
【点睛】本题考查了图形变化-旋转，坐标确定位置，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题
18. 先化简，再求值，其中.
【答案】
【解析】
【分析】先把分式通分，把除法转换成乘法，再化简，然后进行计算
【详解】解：
＝
=·
＝x-1
当x=+1时，原式＝+1-1＝
故答案为
【点睛】本题考查了分式的混合运算-化简求值，是中考常考题，解题关键在于细心计算.
19. 解不等式组，并在数轴上表示出不等式组的解集．
【答案】．在数轴上表示见解析
【解析】
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再把两个不等式的解集在数轴上表示出来，确定解集的公共部分，从而可得答案.
【详解】解：
由①得：
由②得：

在数轴上分别表示①②的解集如下：

所以不等式组的解集为：
【点睛】本题考查的是解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，掌握解不等式组的方法与步骤是解题的关键.
20. 如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O，

（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
【答案】（1）见解析；（2）78°
【解析】
【分析】（1）由AE＝DB得出AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE，利用HL即可证明Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得∠ABC＝39°，根据全等三角形的性质得∠ABC＝∠DEF＝39°，由三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE．
又∵∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF．
（2）∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝∠C－∠A＝90°－51°＝39°．
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF．
∴∠DEF＝39°．
∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝39°＋39°＝78°．
【点睛】本题主要考查直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
21. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．

【答案】（1）见解析；（2）平行四边形DEFB的周长＝
【解析】
【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；
（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．
【详解】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，
∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12cm，
∴CD＝AC＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝＝10（cm），
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键．
22. 某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商城准备一次性购进这两种家电共100台，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，一共有多少种合理的购买方案？
【答案】（1）每台空调进价为1600元，电冰箱进价为2000元
（2）共有七种合理的购买方案
【解析】
【分析】（1）设每台空调的进价为元，每台电冰箱的进价为元，根据题意可列出分式方程，故可求解；
（2）先表示出y，再求出x的取值，根据一次函数的性质即可求解．
小问1详解】
解：设每台空调的进价为元，每台电冰箱的进价为元．
根据题意得，
解得，
经检验符合题意，
，
故每台空调进价1600元，电冰箱进价为2000元；
【小问2详解】
解：设购进电冰箱台，则进购空调 台，
，

解得：，
∵购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，
，
解得，
，
∵为正整数，
、、、、、、，
共有七种合理的购买方案．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式与分式方程的求解，解题的关键是根据题意得到方程或不等式是解题的关键．
23. 阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式


例2：“三一分组”：
解：原式


归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：①；②；
（2）已知的三边a，b，c满足，试判断的形状．
【答案】（1）①；②
（2）等腰三角形
【解析】
【分析】（1）①将原式进行分组，然后再利用提取公因式法进行因式分解；
②将原式进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（2）将原式进行分组，然后利用平方差公式和提公因式法进行因式分解，然后结合三角形三边关系和多项式乘法的计算法则分析判断．
【小问1详解】
（1）①x2-xy+5x-5y
=（x2-xy）+（5x-5y）
=x（x-y）+5（x-y）
=（x-y）（x+5）；
②m2-n2-6m+9
=（m2-6m+9）-n2
=（m-3）2-n2
=（m-3+n）（m-3-n）；
【小问2详解】
∵a2-b2-ac+bc=0，
∴（a2-b2）-（ac-bc）=0，
∴（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，
∴（a-b）（a+b-c）=0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a+b-c＞0，
∴a-b=0，
∴a=b，
即△ABC等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）是解题关键．
24. 已知M是等边的边BC上的点．


（1）如图①，过点M作，交AB于点N，求证：；
（2）如图②，连接AM，过点M作，MH与的邻补角的平分线交于点H，过点H作，交BC延长线于点D．求证：；
（3）在（2）的条件下，猜想CB，CM，CD之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）BC=MC+2CD
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质和等边三角形的性质可得∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°，根据等角对等边可得MB=BN；
（2）过M点作交AB于N，然后证明△AMN≌△MHC，再根据全等三角形的性质可得MA=MH；
（3） 过M点作MG⊥AB于G，再证明△BMG≌△CHD可得CD=BG，因为BM=2CD可得BC=MC+2CD；
【小问1详解】
证明：∵，
∴∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°，
∴∠BMN=∠BNM ，
∴BM=BN；为等边三角形．
【小问2详解】
证明：如图2，过M点作交AB于N， 则BM=BN，∠ANM=120°


∵等边，
∴AB=BC，
∴AN=MC，
∵CH是∠ACB外角平分线，所以∠ACH=60°，
∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，
又∵∠NMC=，∠AMH=60°，
∴∠HMC+∠AMN=60° ，
又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°，
∴∠HMC=∠MAN，
在△ANM和△MCH中 ， ，
∴△AMN≌△MHC（ASA），
∴MA=MH；
【小问3详解】
CB=CM+2CD；
证明：过M点作MG⊥AB于G，如图2，
∵△AMN≌△MHC，
∴MN=HC，
∵为等边三角形，
∴MN=MB，
∴HC=BM，
∵△BMN为等边三角形，
∴BM=2BG，
平分
而，
在△BMG和△CHD中， ，
∴△BMG≌△CHD（AAS），
∴BG=CD，
∴BM=2CD，
∴BC=MC+2CD．
【点睛】本题主要考查了等边三角形性质，等腰三角形的判定，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线，熟练掌握证明三角形全等的方法．
25. 如图，在ABCD中，AE⊥BC于点E，BE=3，AB=5，连接AC，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是AF，EF的中点，连接GH．设点F运动的时间为t．

（1）判断GH与AE的位置关系和数量关系，并求出GH的长；
（2）若CE＝AB．
①求点F由点A向点C匀速运动的过程中，线段GH所扫过区域的面积；
②若△FGH是等腰三角形，求t的值．
【答案】（1）GH∥AE，GH=2；
（2）①5；②t的值为秒或4秒或秒．
【解析】
【分析】（1）利用三角形中位线定理即可求解；
（2）①取EC的中点M，AC的中点N，AE的中点O，先确定线段GH所扫过区域是▱AOMN，根据平行四边形的面积公式计算可得结论；
②分FH=FG、GH=FG、GH=HF三种情况讨论，即可求得t的值；
【小问1详解】
解：∵AE⊥BC于点E，BE=3，AB=5，
∴AE=4，
∵G，H分别是AF，EF的中点，
∴GH∥AE，GH=AE=2；
【小问2详解】
解：①∵CE=AB=5，
∴AC=，
取EC的中点M，AC的中点N，AE的中点O，线段GH所扫过区域是▱AOMN，
EM=CE=，
∴线段GH所扫过区域的面积=MN•EM=GH•EM=2×=5；
；
②当FH=FG时，△FGH是等腰三角形，
此时FE=FA，
∴∠FEA=∠FAE，
∵∠FEA+∠FEC=90°，∠FAE+∠FCE=90°，
∴∠FEC=∠FCE，
∴FE=FC，
∴FE=FA=FC，
∴AF=AC=，
∴t的值为（秒）；
当GH=FG时，△FGH是等腰三角形，
此时AE=FA=4，
∴t的值为4（秒）；
当GH=HF时，△FGH是等腰三角形，
此时AE=EF=4，连接EG，
∵G是AF的中点，
∴EG⊥AC，

∵S△AEC=AE•EC=AC•EG，
∴EG=，
∴AG=，
∴AF= 2AG，
∴t的值为（秒）；
综上，t的值为秒或4秒或秒．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．