浙江省宁波市余姚市兰江中学2021-2022学年下学期七年级期末数学试卷

这是一份浙江省宁波市余姚市兰江中学2021-2022学年下学期七年级期末数学试卷，共24页。
2021-2022学年浙江省宁波市余姚市兰江中学七年级（下）期末数学试卷
一.选择题（木大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图．已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1＝48°，那么∠2的度数为（　　）

A．42° B．48° C．52° D．132°
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x3＝x5 B．x2•x3＝x6 C．（x2）3＝x5 D．x5÷x3＝x2
3．（3分）新冠病毒的直径约为125纳米，已知1纳米＝0.000001毫米，则125纳米用科学记数法表示为（　　）
A．1.25×10﹣2毫米 B．1.25×10﹣3毫米
C．1.25×10﹣4毫米 D．1.25×10﹣5毫米
4．（3分）下列调查中，适用采用全面调查（普查）方式的是（　　）
A．对玉坎河水质情况的调查
B．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查
C．对某班50名同学体重情况的调查
D．对为某类烟花爆竹燃放安全情况的调查
5．（3分）已知是二元一次方程组的解，则a﹣b的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．3
6．（3分）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2+2x+2 D．x2﹣2x+1
7．（3分）若3x＝4，9y＝7，则3x﹣2y的值为（　　）
A． B． C．﹣3 D．
8．（3分）为了解某地区初一年级8000名学生的体重情况，从中抽侧了800名学生的体重，就这个问来说，下面的说法中正确的（　　）
A．8000名学生是总体
B．每个学生是个体
C．800名学生是所抽取的一个样本
D．样本容量是800
9．（3分）张老师和李老师住在同一个小区，离学校3000米．某天早晨，张老师和李老师分别于7点10分，7点15分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上．已知李老师骑车的速度是张老师的1.2倍，为了求他们各自骑自行车的速度，设张老师骑自行车的速度是x米/分，则可列得方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为54，大长方形的周长为42，则一张小长方形的面积为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）分式有意义的条件是 　 　．
12．（4分）分解因式：4x2﹣16＝　 　．
13．（4分）定义运“*”，规定x*y＝ax2+by，其中a，b为常数，且1*2＝5，2*3＝10，则4*5＝　 　．
14．（4分）若关于x的方程无解，则m＝　 　．
15．（4分）若（2x+3）x+2022＝1，则x＝　 　．
16．（4分）如图，直线PQ∥MN，点A在PQ上，△BEF的一条边BE在MN上，且∠FBE＝90°，∠BEF＝30°．现将△BEF绕点B以每秒2°的速度按逆时针方向旋转（E，F的对应点分别是E′，F′），同时，射线AQ绕点A以每秒4°的速度按顺时针方向旋转（Q的对应点是Q′）．设旋转时间为t秒（0≤t≤45°）．
（1）∠MBF'＝　 　．（用含t的代数式表示）
（2）在旋转的过程中，若射线AQ′与边E′F′平行时，则t的值为 　 　秒．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）|1﹣4|+（﹣3）0﹣54×3﹣3；
（2）（x+6）2+（3+x）（3﹣x）．
18．（6分）解方程（组）
（1）
（2）．
19．（6分）如图，在正方形网格中有一个三角形ABC，图中每一个小正方形边长为1，按要求完成下列各题：
（1）将三角形ABC向右平移2格，再向上平移3格后得到三角形DEF，画出三角形DEF；
（2）求三角形DEF的面积．

20．（8分）先化简代数式，再选择一个你喜欢的数代入求值．
21．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE＝∠EFC．
（1）请说明∠B＝∠EFC的理由；
（2）若∠A＝60°，∠ACB＝76°，求∠CDE的度数．

22．（10分）为了加强学生对新冠肺炎的预防意识，某校组织了学生参加新冠肺炎预防的知识竞赛，从中抽取部分学生成绩（得分数取正整数，满分为100分）进行统计，绘制统计图如图（未完成），解答下列问题：
（1）若A的频数比B组小24，则a＝　 　，b＝　 　；
（2）扇形统计图中，D部分所对的圆心角为n°，求n的值并补全频数分布直方图；
（3）若成在80分以上（不包括80分）优秀，全校共有1500名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？

23．（10分）杨梅是我市特产水果之一，素有“果中珍品”之美誉！六月，正值杨梅成熟上市的时候．某杨梅基地零售批发“荸荠”，“东魁”两种杨梅．已知零售3斤“荸荠”和5斤“东魁”共需95元；零售5斤“荸荠”和8斤“东魁”共需155元，批发价是在零售价的基础上按下表进行打折：
不超过100斤
100斤～550斤
550斤～1000斤
1000斤～1550斤
1550斤以上
不打折
九五折
九折
八折
七五折
（1）求“荸荠”，“东魁”两种杨梅的零售单价；
（2）某水果商打算用12000元全部用于批发购进“东魁”杨梅，最多能购进多少斤？（不需要写出解答过程，直接写出答案就行）
（3）现用A，B，C三种不同型号的水果箱共30只，将（2）中购得的杨梅进行装箱．装完所有的杨梅时，每只箱子刚好装满．已知A种型号的水果箱每只能装30斤，B种型号的水果箱每只能装50斤，C种型号的水果箱每只能装100斤，为了方便顾客选择，三种不同型号的水果箱都要有．通过计算说明共有几种装箱方案？
24．（12分）【原题】已知直线AB∥CD，点P为平行线AB，CD之间的一点，如图1，若∠ABP＝50°，∠CDP＝60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP．
（1）则∠P＝　 　，∠E＝　 　．
（2）【探究】如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP＝α，∠CDP＝β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1，∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2，∠ABE2与∠CDE2的角平分线交于点E3，…以此类推，求∠E2的度数，并猜想∠En的度数．
（3）【变式】如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，试直接写出∠P与∠E的数量关系．


2021-2022学年浙江省宁波市余姚市兰江中学七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（木大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图．已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1＝48°，那么∠2的度数为（　　）

A．42° B．48° C．52° D．132°
【分析】由a∥b，∠1＝48°，根据两直线平行，同位角相等得到∠3＝∠1＝48°，再根据对顶角相等即可得到∠2．
【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1＝48°，
∴∠3＝∠1＝48°，
∴∠2＝∠3＝48°．
故选：B．

【点评】本题考查了两直线平行的性质：两直线平行，同位角相等；也考查了对顶角的性质．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x3＝x5 B．x2•x3＝x6 C．（x2）3＝x5 D．x5÷x3＝x2
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，分别进行计算，即可选出答案．
【解答】解：A、x2与x3不是同类项，不能合并，故此选项错误；
B、x2•x3＝x2+3＝x5，故此选项错误；
C、（x2）3＝x6，故此选项错误；
D、x5÷x3＝x2，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
3．（3分）新冠病毒的直径约为125纳米，已知1纳米＝0.000001毫米，则125纳米用科学记数法表示为（　　）
A．1.25×10﹣2毫米 B．1.25×10﹣3毫米
C．1.25×10﹣4毫米 D．1.25×10﹣5毫米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：125纳米＝125×0.000001毫米＝0.000125毫米＝1.25×10﹣4毫米，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列调查中，适用采用全面调查（普查）方式的是（　　）
A．对玉坎河水质情况的调查
B．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查
C．对某班50名同学体重情况的调查
D．对为某类烟花爆竹燃放安全情况的调查
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、对玉坎河水质情况的调查适合抽样调查，故A错误；
B、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查无法进行全面调查，适合抽样调查，故B错误；
C、某班50名同学体重情况适用于全面调查，故C正确；
D、对于某类烟花爆竹燃放安全情况的调查，无法进行全面调查，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．（3分）已知是二元一次方程组的解，则a﹣b的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．3
【分析】把代入二元一次方程组得出关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，进而求出a﹣b的值，即可得出答案．
【解答】解：把代入二元一次方程组得：，
解得：，
∴a﹣b＝2﹣3＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的定义，掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键．
6．（3分）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2+2x+2 D．x2﹣2x+1
【分析】对每个选项逐一进行因式分解即可．
【解答】解：A．x2+x+1不能因式分解，
故A选项不符合题意；
B．x2+2x﹣1不能因式分解，
故B选项不符合题意；
C．x2+2x+2不能因式分解，
故C选项不符合题意；
D．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法进行因式分解是解题的关键．
7．（3分）若3x＝4，9y＝7，则3x﹣2y的值为（　　）
A． B． C．﹣3 D．
【分析】由3x＝4，9y＝7得3x﹣2y＝3x÷32y＝3x÷（32）y，代入即可求得答案．
【解答】解：∵3x＝4，9y＝7，
∴3x﹣2y＝3x÷32y＝3x÷（32）y＝4÷7＝．
故选：A．
【点评】此题考查了同底数幂的除法与幂的乘方的应用．此题难度适中，注意将3x﹣2y变形为3x÷（32）y是解此题的关键．
8．（3分）为了解某地区初一年级8000名学生的体重情况，从中抽侧了800名学生的体重，就这个问来说，下面的说法中正确的（　　）
A．8000名学生是总体
B．每个学生是个体
C．800名学生是所抽取的一个样本
D．样本容量是800
【分析】本题考查的对象是某地区初一年级学生的体重，根据总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目即可作出判断．
【解答】解：总体为“某地区初一年级8000名学生的体重情况”因此A不正确，
个体为“每个学生的体重情况”故B不正确，
样本为“抽测了800名学生的体重”因此C不正确，
样本容量为“从总体中抽取个体的数量”因此D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了问题中的总体、个体、样本、样本容量等概念；关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小；样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
9．（3分）张老师和李老师住在同一个小区，离学校3000米．某天早晨，张老师和李老师分别于7点10分，7点15分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上．已知李老师骑车的速度是张老师的1.2倍，为了求他们各自骑自行车的速度，设张老师骑自行车的速度是x米/分，则可列得方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设张老师骑自行车的速度是x米/分，则李老师骑自行车的速度是1.2x米/分，根据题意可得等量关系：张老师行驶的路程3000÷他的速度﹣李老师行驶的路程3000÷他的速度＝5分钟，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设张老师骑自行车的速度是x米/分，由题意得：
，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，表示出李老师和张老师各行驶3000米所用的时间，根据时间关系列出方程．
10．（3分）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为54，大长方形的周长为42，则一张小长方形的面积为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】大长方形的长＝2x+y，大长方形的宽＝x+2y，根据阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣5个小长方形的面积，以及大长方形的周长等于42，列出含有x和y的等式，通过变形得出小长方形的面积，即xy的值，从而求出结果．
【解答】解：由题意知，大长方形的长＝2x+y，
大长方形的宽＝x+2y，
则大长方形的周长＝2[（2x+y）+（x+2y）]＝42，
化简得x+y＝7，
∵阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣5个小长方形的面积，
∴54＝（2x+y）（x+2y）﹣5xy，
化简得x2+y2＝27，
∵大长方形的周长＝2[（2x+y）+（x+2y）]＝42，
化简得x+y＝7，
∴（x+y）2＝72，
即x2+2xy+y2＝49，
把x2+y2＝27代入得，
27+2xy＝49，
解得xy＝11，
则一张小长方形的面积＝xy＝11．
故选：B．
【点评】本题考查列代数式，通过观察图形特点并结合已知条件列出代数式，运用完全平方公式求解是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）分式有意义的条件是 　x≠2　．
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：要使分式有意义，
则x﹣2≠0，
解得，x≠2，
故答案是：x≠2．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
12．（4分）分解因式：4x2﹣16＝　4（x+2）（x﹣2）　．
【分析】先提取公因式4，再对剩余项x2﹣4利用平方差公式继续进行因式分解．
【解答】解：4x2﹣16，
＝4（x2﹣4），
＝4（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底．
13．（4分）定义运“*”，规定x*y＝ax2+by，其中a，b为常数，且1*2＝5，2*3＝10，则4*5＝　26　．
【分析】根据已知定义得出方程a×12+b×2＝5，a×22+b×3＝10，整理后得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，再根据定义得出算式，最后求出答案即可．
【解答】解：∵1*2＝5，2*3＝10，
∴a×12+b×2＝5，a×22+b×3＝10，
即，
解得：a＝1，b＝2，
∴4*5＝1×42+2×5＝1×16+10＝16+10＝26，
故答案为：26．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
14．（4分）若关于x的方程无解，则m＝　1或2　．
【分析】去分母得（m﹣2）x+1＝0，根据方程无解分情况讨论，求解即可．
【解答】解：去分母，得mx+1﹣2x＝0，
化简得（m﹣2）x+1＝0，
当方程有增根为x＝0时，m不存在；
当方程有增根x＝1时，得m﹣2+1＝0，
解得m＝1；
当m﹣2＝0时，原方程无解，此时m＝2，
综上所述：m＝1或2，
故答案为：1或2．
【点评】本题考查了分式方程的解，理解分式方程无解的含义是解题的关键．
15．（4分）若（2x+3）x+2022＝1，则x＝　﹣1或﹣2或﹣2022　．
【分析】根据零指数幂的意义以及乘方运算法则即可求出答案．
【解答】解：当x+2020＝0时，
∴x＝﹣2020，
∴2x+3≠0，此时符合题意．
当2x+3＝1时，
∴x＝﹣1，
∴x+2022＝2021，符合题意．
当2x+3＝﹣1时，
∴x＝﹣2，
∴x+2022＝2020，符合题意．
故答案为：﹣1或﹣2或﹣2022．
【点评】本题考查零指数幂的意义、有理数的乘方，解题的关键是正确理解零指数幂的意义以及有理数的乘方，本题属于基础题型．
16．（4分）如图，直线PQ∥MN，点A在PQ上，△BEF的一条边BE在MN上，且∠FBE＝90°，∠BEF＝30°．现将△BEF绕点B以每秒2°的速度按逆时针方向旋转（E，F的对应点分别是E′，F′），同时，射线AQ绕点A以每秒4°的速度按顺时针方向旋转（Q的对应点是Q′）．设旋转时间为t秒（0≤t≤45°）．
（1）∠MBF'＝　（90﹣t）°　．（用含t的代数式表示）
（2）在旋转的过程中，若射线AQ′与边E′F′平行时，则t的值为 　6秒或42秒　秒．

【分析】（1）直接根据速度和时间可得：∠FBF'＝t°，所以根据余角的定义可得结论；
（2）有两种情况：利用数形结合，画图后作辅助线，构建平行线的性质和外角的性质可得结论．
【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠FBF'＝t°，∠FBM＝90°，
∴∠MBF'＝90°﹣t°＝（90﹣t）°，
故答案为：（90﹣t）°；
（2）①如图2，AQ'∥E'F'，
延长BE'交AQ'于C，则∠F'E'B＝∠ACB＝30°，
由题意得：∠EBE'＝t°，∠QAQ'＝4t°，
∴t+4t＝30，
t＝6；
②如图3，AQ'∥E'F'，
延长BE'，交PQ于D，交直线AQ'于C，则∠F'E'B＝∠ACD＝30°，
由题意得：∠NBE'＝t°，∠QAQ'＝4t°，
∴∠ADB＝∠NBE'＝t°，
∵∠ADB＝∠ACD+∠DAC，
∴30+180﹣4t＝t，
t＝42，
综上，在旋转的过程中，若射线AQ′与边E′F′平行时，则t的值为6秒或42秒；
故答案为：6秒或42秒．



【点评】本题考查的是旋转变换和平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是关键，在解答（2）时，要采用分类讨论的思想，作延长线构建出平行线的截线，从而可得同位角相等解决问题．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）|1﹣4|+（﹣3）0﹣54×3﹣3；
（2）（x+6）2+（3+x）（3﹣x）．
【分析】（1）利用绝对值的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义进行计算，即可得出答案；
（2）利用平方差公式，完全平方公式，合并同类项法则进行计算，即可得出答案．
【解答】解：（1）|1﹣4|+（﹣3）0﹣54×3﹣3
＝3+1﹣54×
＝3+1﹣2
＝2；
（2）（x+6）2+（3+x）（3﹣x）
＝x2+12x+36+9﹣x2
＝12x+45．
【点评】本题考查了实数的运算，平方差公式，完全平方公式，掌握绝对值的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，平方差公式，完全平方公式是解决问题的关键．
18．（6分）解方程（组）
（1）
（2）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1），
①×2+②得：7x＝14，
解得：x＝2，
将x＝2代入①得：4﹣y＝3，
解得：y＝1，
则原方程组的解是；
（2）两边同时乘以x﹣3，得2﹣x﹣（x﹣3）＝﹣1，
解得：x＝3，
经检验x＝3时原分式方程无意义，
则原分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（6分）如图，在正方形网格中有一个三角形ABC，图中每一个小正方形边长为1，按要求完成下列各题：
（1）将三角形ABC向右平移2格，再向上平移3格后得到三角形DEF，画出三角形DEF；
（2）求三角形DEF的面积．

【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用三角形面积公式得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△DEF即为所求；

（2）△DEF的面积为：×2×3＝3．

【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
20．（8分）先化简代数式，再选择一个你喜欢的数代入求值．
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，再根据分式的加法法则进行计算，根据分式有意义的条件得出a不能为2，﹣2，1，取a＝0，把a＝0代入化简结果，再求出答案即可．
【解答】解：
＝÷+
＝÷+
＝•+
＝+
＝
＝，
要使分式有意义，a﹣2≠0，a+2≠0，a﹣1≠0，
所以a不能为2，﹣2，1，
取a＝0，
当a＝0时，原式＝＝0．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
21．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE＝∠EFC．
（1）请说明∠B＝∠EFC的理由；
（2）若∠A＝60°，∠ACB＝76°，求∠CDE的度数．

【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行得AB∥EF，再根据平行线的性质得结论；
（2）先由三角形内角和定理求得∠B，进而求得∠BCD，再证明DE∥BC，再根据平行线的性质求得结果．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，
∴AB∥EF，
∴∠B＝∠EFC；
（2）解：∵∠A＝60°，∠ACB＝76°，
∴∠B＝44°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝46°，
∵AB∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF，
∵∠ADE＝∠EFC，
∴∠DEF＝∠EFC，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∴∠CDE＝46°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，关键是综合应用这些定理解题．
22．（10分）为了加强学生对新冠肺炎的预防意识，某校组织了学生参加新冠肺炎预防的知识竞赛，从中抽取部分学生成绩（得分数取正整数，满分为100分）进行统计，绘制统计图如图（未完成），解答下列问题：
（1）若A的频数比B组小24，则a＝　16　，b＝　40　；
（2）扇形统计图中，D部分所对的圆心角为n°，求n的值并补全频数分布直方图；
（3）若成在80分以上（不包括80分）优秀，全校共有1500名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？

【分析】（1）从统计图中可知，A组比B组少20%﹣8%＝12%，A组比B组少24人，可求出调查人数，进而求出a、b的值；
（2）D部分占整体的，因此相应的圆心角占360°的即可；求出C部分的人数，即可补全频数分布直方图；
（3）样本估计总体，样本中优秀占，因此估计总体1500人的即为优秀的人数．
【解答】解：（1）24÷（20%﹣8%）＝200（人），
a＝200×8%＝16（人），b＝200×20%＝40（人），
故答案为：16，40；
（2）n＝360×＝126，200×25%＝50（人），
E组人数：200﹣16﹣40﹣50﹣70＝24（人），
补全频数分布直方图如图所示：

（3）1500×＝705（名），
答：全校共有1500名学生，估计成绩优秀的学生有705名．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．
23．（10分）杨梅是我市特产水果之一，素有“果中珍品”之美誉！六月，正值杨梅成熟上市的时候．某杨梅基地零售批发“荸荠”，“东魁”两种杨梅．已知零售3斤“荸荠”和5斤“东魁”共需95元；零售5斤“荸荠”和8斤“东魁”共需155元，批发价是在零售价的基础上按下表进行打折：
不超过100斤
100斤～550斤
550斤～1000斤
1000斤～1550斤
1550斤以上
不打折
九五折
九折
八折
七五折
（1）求“荸荠”，“东魁”两种杨梅的零售单价；
（2）某水果商打算用12000元全部用于批发购进“东魁”杨梅，最多能购进多少斤？（不需要写出解答过程，直接写出答案就行）
（3）现用A，B，C三种不同型号的水果箱共30只，将（2）中购得的杨梅进行装箱．装完所有的杨梅时，每只箱子刚好装满．已知A种型号的水果箱每只能装30斤，B种型号的水果箱每只能装50斤，C种型号的水果箱每只能装100斤，为了方便顾客选择，三种不同型号的水果箱都要有．通过计算说明共有几种装箱方案？
【分析】（1）设“荸荠”杨梅的零售单价为x元，“东魁”杨梅的零售单价为y元，根据零售3斤“荸荠”和5斤“东魁”共需95元，零售5斤“荸荠”和8斤“东魁”共需155元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该水果商购进m斤“东魁”杨梅，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过12000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（3）设需要A种型号的水果箱a只，B种型号的水果箱b只，则需要C种型号的水果箱（30﹣a﹣b）只，根据用30只箱子装1500斤杨梅且每只箱子刚好装满，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b，（30﹣a﹣b）均为正整数，即可得出共有4种装箱方案．
【解答】解：（1）设“荸荠”杨梅的零售单价为x元，“东魁”杨梅的零售单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：“荸荠”杨梅的零售单价为15元，“东魁”杨梅的零售单价为10元．
（2）设该水果商购进m斤“东魁”杨梅，
依题意得：10×0.8m≤12000，
解得：m≤1500．
答：该水果商最多能购进1500斤“东魁”杨梅．
（3）设需要A种型号的水果箱a只，B种型号的水果箱b只，则需要C种型号的水果箱（30﹣a﹣b）只，
依题意得：30a+50b+100（30﹣a﹣b）＝1500，
∴b＝30﹣a．
又∵a，b，（30﹣a﹣b）均为正整数，
∴或或或，
∴共有4种装箱方案．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
24．（12分）【原题】已知直线AB∥CD，点P为平行线AB，CD之间的一点，如图1，若∠ABP＝50°，∠CDP＝60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP．
（1）则∠P＝　110°　，∠E＝　55°　．
（2）【探究】如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP＝α，∠CDP＝β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1，∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2，∠ABE2与∠CDE2的角平分线交于点E3，…以此类推，求∠E2的度数，并猜想∠En的度数．
（3）【变式】如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，试直接写出∠P与∠E的数量关系．

【分析】（1）过E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠ABE+∠CDE，依据角平分线即可得出∠BED和∠P的度数；
（2）依据平行线的性质以及三角形外角性质，求得∠E1＝（β﹣α），∠E2＝（β﹣α），∠E3＝（β﹣α），以此类推∠En的度数为（β﹣α）；
（3）过E作EG∥AB，进而得出∠DEB＝∠BEG+∠DEG＝∠MBE+∠FDE＝∠ABQ+∠FDE，再根据平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠DEB＝90°﹣（∠CDP﹣∠ABP）＝90°﹣（∠AHP﹣∠ABP）＝90°﹣∠P．
【解答】解：（1）如图1，过E作EF∥AB，而AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠FEB，∠CDE＝∠FED，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠ABE+∠CDE，
又∵∠ABP＝50°，∠CDP＝60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，
∴∠ABE＝∠ABP＝25°，∠CDE＝∠CDP＝30°，
∴∠BED＝25°+30°＝55°，
同理：∠BPD＝110°．
故答案为：110°，55°；
（2）如图2，∵∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1，
∴∠ABE1＝∠ABP＝α，∠CDE1＝∠CDP＝，
∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠AFE1＝，
∴∠E1＝∠AFE1﹣∠ABE1＝＝（β﹣α），
∵∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2，
∴∠ABE2＝∠ABE1＝α，∠CDE2＝∠CDE1＝，
∵AB∥CD，
∴∠CDG＝∠AGE2＝，
∴∠E2＝∠AGE2﹣∠ABE2＝（β﹣α），
同理可得，∠E3＝（β﹣α），
以此类推，∠En的度数为（β﹣α）；
（3）∠DEB＝90°﹣∠P．理由如下：
如图3，过E作EG∥AB，而AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠MBE＝∠BEG，∠FDE＝∠GED，
∴∠DEB＝∠BEG+∠DEG＝∠MBE+∠FDE＝∠ABQ+∠FDE，
又∵∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，
∴∠FDE＝∠PDF＝（180°﹣∠CDP），∠ABQ＝∠ABP，
∴∠DEB＝∠ABP+（180°﹣∠CDP）＝90°﹣（∠CDP﹣∠ABP），
∵AB∥CD，
∴∠CDP＝∠AHP，
∴∠DEB＝90°﹣（∠CDP﹣∠ABP）＝90°﹣（∠AHP﹣∠ABP）＝90°﹣∠P．

【点评】本题考查了平行线性质以及三角形外角性质的应用，在解答此题时要注意作出辅助线，构造出平行线求解．