北师大版2022年中考数学专项复习：16正多边形与圆的有关的证明和计算（含答案）

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16正多边形与圆的有关的证明和计算 【考纲要求】1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；
2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
 【知识网络】     【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
　　(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.
　　(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.
　　(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径.）
　　(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.
2、正多边形与圆的关系：
　　(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
　　(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.
　 （3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
3、正多边形性质：
　　(1)任何正多边形都有一个外接圆.
　　(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是；所以正n边形的中心角等于它的外角.
（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.
考点二、圆中有关计算
1．圆中有关计算
　　圆的面积公式：，周长.
　　圆心角为、半径为R的弧长.
　　圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.
　　弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
　　圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.
　　圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.弓形的面积（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S弓形=S扇形-S△OAB；（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB.  要点诠释：
　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；
　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
 【典型例题】类型一、正多边形有关计算 1．如图，矩形ABCD中，AB=4，以点B为圆心，BA为半径画弧交BC于点E，以点O为圆心的⊙O与弧AE，边AD，DC都相切．把扇形BAE作一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆恰好是⊙O，则AD的长为（　　） A.4  B.      C.  D.5【思路点拨】首先求得弧AE的长，然后利用弧AE的长正好等于圆的底面周长，求得⊙O的半径，则BE的长加上半径即为AD的长．【答案】D；【解析】解：∵AB=4，∠B=90°，∴，∵圆锥的底面圆恰好是⊙O，∴⊙O的周长为2π，∴⊙O的半径为1，∴AD=BC=BE+EC=4+1=5.故选D．【总结升华】本题考查了圆锥的计算及相切两圆的性质，解题的关键是熟记弧长的计算公式.举一反三：【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算  自主学习7】【变式1】如图，两个相同的正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．求重叠部分面积与阴影部分面积之比.        【答案】解：连结OA、OB、OC，设OA′交AB于K，OE′交CD于H，∵∠AOK=∠AOC-∠KOC=120°-∠KOC，∠COH=120°-∠KOC，∴∠AOK=∠COH，又∠OAK=∠OCH=60°，OA=OC，∴△AOK≌△COH，由△AOK≌△COH，得S五边形OKBCH=S四边形ABCO=2S△OBC，∴S阴影=S正六边形ABCDEF-S五边形OKBCH′=6S△OBC-2S△OBC=4S△OBC.S五边形OKBCH：S阴影=      .                                                     即重叠部分面积与阴影部分面积之比为： .   【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算  自主学习8】【变式2】 已知：正十边形的半径是R，求证：它的边长为.             【答案】证明：作∠OAB的平分线AM交OB于M，则∠O=∠OAM=36°，∠AMB=∠B=72°，      ∴OM=MA=AB，则△ABM∽△OAB得：用R，a10分别表示OA，AB，BM，代入以上比例式整理得a102+ Ra10-R2=0,解关于a10的一元二次方程得（负值已舍去）.    类型二、正多边形与圆综合运用2．如图所示，AB是半圆的直径，AB＝2r，C、D为半圆的三等分点，求阴影部分的面积．   【思路点拨】图中阴影部分是一个不规则图形，可利用C、D是半圆的三等分点，得到，从而有∠CDA＝∠DAB，进而CD∥AB，故有△ACD与△OCD的面积相等，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积．【答案与解析】解：连接OC、OD、CD．∵  ，∴  ∠CDA＝∠DAB．∴  CD∥AB，∴  ．∴  ．又∵  ∠COD＝∠AOB＝60°，∴  ． 【总结升华】本题容易误认为阴影部分是扇形，对扇形的定义、图形理解不准确，此阴影部分为不规则图形，应利用等积转化法转化为规则图形——扇形． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是(    )         A．    B．    C．    D．【答案】连接AD，则AD⊥BC，阴影部分面积．故．答案：B    3．有一个两直角边分别为15cm和20cm的直角三角形，若绕一边旋转一周，可得到几种几何体？你能分别求出其全面积吗？【思路点拨】可将直角三角形绕边长为15cm的直角边旋转一周，所得几何体是底面半径为20cm，锥高为15cm的圆锥体；绕边长为20cm的直角边旋转一周，可得底面半径为15cm，锥高为20cm的圆锥体；绕斜边旋转一周，可得两个圆锥的组合体，按这三种情况分别计算全面积即可．【答案与解析】解：三种．由图①可知，以AC＝15cm为轴旋转一周，则其全面积 ．由图②可知，以BC＝20为轴旋转一周，则其全面积 ．如图③所示，以AB为轴旋转一周，得一个圆锥组合体，其全面积S是上下两个锥体的侧面积之和．作CD⊥AB于D，则，∴ ，即底面半径为12cm．∴  S＝π×12×20+π×12×15＝240π+180π＝420π(cm2)．【总结升华】利用面积公式计算时，要仔细分析题意，找准已知量和未知量，特别注意全面考虑问题，分情况逐一计算，防止漏解． 4．如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6cm的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少？【思路点拨】小猫所经过的路程要最短，应该求圆锥侧面展开后两点B、P之间的线段长度.【答案与解析】解：设圆锥底面半径为r，母线长为l，展开后圆心角度数为n°，则底面圆的周长为2πr，侧面展开图的弧长为，∴  ．∵  轴截面△ABC为等边三角形，∴  AB＝BC，即．∴  r＝3．∴  ．∴  n＝180，即其侧面展开图为半圆，如图所示，则△ABP为直角三角形，BP为最短路线．在Rt△ABP中，．答：小猫所经过的最短路程为．【总结升华】 将所求问题转化为平面上两点之间线段最短的问题，充分利用圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长沟通空间元素与平面元素之间的关系． 5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O为对角线BD的中点，分别以OB，OD为直径作⊙O1，⊙O2．(1)求⊙O1的半径；    (2)求图中阴影部分的面积．【思路点拨】连接O1E，求出一个小弓形的面积再乘以4即可.【答案与解析】解：(1)在正方形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝90°，∴  ．∴  ⊙O1的半径为，即⊙O1的半径为．(2)连接O1E，∵  BD为正方形ABCD的对角线，∴  ∠ABO＝45°．∵  O1E＝O1B，∴  ∠BEO1＝∠EBO2＝45°．∴  ∠BO1E＝90°．∴  ．根据图形的对称性得  S1＝S2＝S3＝S4，∴  ．【总结升华】求阴影部分面积时，一般要将阴影部分面积转化为几个规则图形的面积求差或和.举一反三：【变式】已知：如图所示，水平地面上有一面积为30πcm2的扇形AOB，半径OA＝6cm，且OA与地面垂直．在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，求O点移动的距离．【答案】解：观察图形可知O点移动距离即为扇形滚动距离，而扇形滚动距离为优弧的弧长．∵ ，∴ ．    答：O点移动的距离为10π cm． 6．如图，已知在⊙O中，，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°．(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请你出这个圆锥的底面圆的半径．【思路点拨】   （1）阴影部分是一个扇形，扇形圆心角∠BOD＝2∠BOC＝2×2×30°＝120°，只需通过解直角三角形求出OB的长，即可利用扇形面积求出阴影部分面积．（2）扇形弧长是圆锥的底面周长，由条件求出的长l，利用可求出半径r的长．【答案与解析】  解：(1)过O作OE⊥AB于E，则．在Rt△AEO中，∠BAC＝30°，．∴  ． 又∵  OA＝OB，∴  ∠ABO＝30°．∴  ∠BOC＝60°．∵  AC⊥BD，∴  ．∴  ∠COD＝∠BOC＝60°．∴  ∠BOD＝120°．∴  ．(2)设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，∴  ．∴  ．【总结升华】用扇形围成圆锥，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥的底面周长.  中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题
1. 将一个底面半径为5 cm，母线长为12 cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是（    ）度．A.60       B.90     C.120     D.1502．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为，，则圆锥的底面积是（   ）平方米．  A.9π      B.16π    C. 25π     D.36π3．某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2m长为半径的扇形区域内（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（   ）    A．6πm2     B．5πm2     C．4πm2    D．3πcm24．如图所示，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．6π     B．5π     C．4π     D．3π5．如图所示，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形ABC，将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为 （    ）    A．     B．     C．     D．6．已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是(   )    A．0，1，2，3    B．0，1，2，4    C．0，1，2，3，4    D．0，1，2，3，4，5 二、填空题7．若一个圆锥的侧面积是18π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是________．8．如图，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的面积为________． 9．如图是一条水平铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽为1.6米，则这条管道中此时水最深为__________米． 10．将半径为10cm，弧长为12π的扇形围成圆锥(接缝忽略不计)，那么圆锥的母线与圆锥高的夹角的余弦值是________． 11．如图所示是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA＝2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为________cm．  12．如图，扇形OAB，∠AOB＝90°，⊙P与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB切于点C，则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是________．  三、解答题13．如图所示，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE＝，∠DPA＝45°．(1)求⊙O的半径；(2)求图中阴影部分的面积． 14. 如图AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积(结果保留π)． 15．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q．(1)求证：P是△ACQ的外心；(2)若，CF＝8，求CQ的长；(3)求证：(FP+PQ)2＝FP·FG． 16. 如图，△ABC内接于⊙O，且∠B＝60°．过点C作圆的切线与直径AD的延长线交于点E，AF⊥，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G．(1)求证：△ACF≌△ACG；(2)若AF＝ ，求图中阴影部分的面积．                                                                 【答案与解析】一、选择题
1.【答案】D；【解析】圆锥的底面周长为，所以它的侧面展开图的圆心角是．2.【答案】D；【解析】因为，AO＝8，所以BO＝6，所以圆锥的底面积是．3.【答案】A；【解析】五个扇形的半径都为2cm，设其圆心角分别为，，，，，则无法直接利用扇形面积公式求解，可以整体考虑，边形形内角和＝(5-2)×180°＝540°，∴  ．4.【答案】A；【解析】如果分别求SⅠ和SⅢ得阴影面积则很复杂，由旋转前后图形全等，易得SⅠ＝SⅡ，∴ ．5.【答案】B；【解析】要求围成的圆锥的底面圆半径，只要求出扇形ABC中BC的弧长，该弧长即为围成的圆锥的底面圆的周长，再根据周长即可以求出半径．∵ 直径为2，∠BAC＝60°∴ AC＝，∴ BC的弧长为，设底面圆的半径为r，则由解得．6.【答案】C；【解析】∵  32+42＝52，∴  这个三角形是直角三角形，且其内切圆半径．           则这个三角形的边与半径为1的圆的公共点个数有如下情况：共有0，1，2，3，4五种情况． 二、填空题7．【答案】3；【解析】设圆锥的母线长为R，侧面展开图半圆弧长为，圆锥底面积半径为r，则有：．∴  R2＝36，R＝6．又．∴  ，∴  2πr＝6π，r＝3．8．【答案】；【解析】设⊙O与BC切于D点，连接OD，OC．在Rt△ODC中，．∠OCD＝30°．∴  ．∴  ，则．9．【答案】0.4；  【解析】如图，过O作OC⊥AB于C，并延长并于D．          在Rt△OBC中，，．          ∴  ．          ∴  CD＝OD-OC＝1-0.6＝0.4(米)．10．【答案】；【解析】如图，因为2πR＝12π，所以R＝6．由勾股定理，得．所以．11．【答案】；【解析】底圆周长为2πr＝10π，设圆锥侧面展开图的扇形所对圆心角为n°，有，即，∴  n＝180°，如图所示，FA＝2，OA＝8，在Rt△OEA中由勾股定理可得EA即为所求最短距离．∴ ．  12．【答案】 ；  【解析】连接OC，PE，PF，则四边形OEPF是正方形．设PE＝r，则OP＝，OC＝．∴  ．∴  ::． 三、解答题13.【答案与解析】   （1）∵  直径AB⊥DE，∴  ．∵  DE平分半径OA，∴  ．在Rt△OCE中，∵  ∠CEO＝30°．∴  OE＝2．即⊙O的半径为2．   （2）连OF，在Rt△DCP中，∵  ∠DPC＝45°．∠D＝90°-45°＝45°∴  ∠EOF＝2∠D＝90°．∵  ．∴  ． 14.【答案与解析】    解：(1)直线CD与⊙O相切．如图，连接OD．∵  OA＝OD，∠DAB＝45°，∴  ∠ODA＝45°．∴  ∠AOD＝90°．∵  CD∥AB，∴  ∠ODC＝∠AOD＝90°，即OD⊥CD．又∵  点D在⊙O上，∴  直线CD与⊙O相切．(2)∵  BC∥AD，CD∥AB，∴  四边形ABCD是平行四边形．∴  CD＝AB＝2．∴  ．∴  图中阴影部分的面积等于． 15.【答案与解析】    (1)证明：∵  C是的中点，∴  ．∴  ∠CAD＝∠ABC．∵  AB是⊙O的直径，∴  ∠ACB＝90°．∴  ∠CAD+∠AQC＝90°．又  CE⊥AB，∴  ∠ABC+∠PCQ＝90°．∴  ∠AQC＝∠PCQ．∴  在△PCQ中，有PC＝PQ．∵  CE⊥直径AB，∴  ．∴  ．∴  ∠CAD＝∠ACE．∴  在△APC中，有PA＝PC．∴  PA＝PC＝PQ．∴  P是△ACQ的外心．    (2)解：∵  CE⊥直径AB于F，∴  在Rt△BCF中，由，CF＝8，得  ．∴  由勾股定理，得．∵  AB是⊙O直径，∴  在Rt△ACB中，由，，得  ．易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴  AC2＝CQ·BC．∴  ．(3)证明：∵  AB是⊙O直径，∴  ∠ACB＝90°．∴  ∠DAB+∠ABD＝90°．又CF⊥AB，∴  ∠ABG+∠G＝90°．∴  ∠DAB＝∠G．∴  Rt△AFP∽Rt△GFB．∴  ，即AF·BF＝FP·FG．易知Rt△ACF∽Rt△CBF，∴  FC2＝AF·BF(或由射影定理得)∴  FC2＝FP·FG．由(1)，知PC＝PQ，∴  FP+PQ＝FP+PC＝FC．∴  (FP+PQ)2＝FP·FG． 16.【答案与解析】    (1)证明：如图，连接CD，OC，则∠ADC＝∠B＝60°．   ∵  AC⊥CD，CG⊥AD，∴  ∠ACG＝∠ADC＝60°．由于∠ODC＝60°，OC＝OD，∴  △OCD为正三角形，得∠DCO＝60°．由，得∠ECD＝30°，∴  ∠ECG＝30°+30°＝60°．进而∠ACF＝180°-2×60°＝60°，∴  △ACF≌△ACG．(2)解：在Rt△ACF中，∠ACF＝60°，AF＝，得CF＝4．在Rt△OCG中，∠COG＝60°，CG＝CF＝4，得．在Rt△CEO中，．于是．