人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线教案及反思

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线教案及反思，共6页。
1．顶点在坐标原点，准线方程为y＝1的抛物线的标准方程是( )
A．x2＝－2y B．x2＝－4y
C．x2＝2y D．x2＝4y
答案 B
解析 抛物线的准线为y＝1，故其焦点在y轴负半轴上，且eq \f(p,2)＝1，
所以抛物线的标准方程为x2＝－4y.
2．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,5)＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )
A.eq \f(3\r(14),14) B.eq \f(3\r(2),4) C.eq \f(3,2) D.eq \f(4,3)
答案 C
解析 根据右焦点坐标为(3,0)，知c＝3，则a2＋5＝9，
所以a＝2，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2).
3．已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的eq \r(2)倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1 D.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1
答案 B
解析 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,2a＋2b＝\r(2)×2c，,a2＋b2＝c2，))解得a＝2，b＝2.易知双曲线的焦点在y轴上，
所以双曲线的标准方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,4)＝1.
4．已知双曲线的一个焦点是抛物线y2＝36x的焦点，且双曲线的虚轴长为4，则此双曲线的标准方程是( )
A.eq \f(x2,77)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(y2,77)－eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(x2,65)－eq \f(y2,16)＝1 D.eq \f(y2,65)－eq \f(x2,16)＝1
答案 A
解析 因为抛物线y2＝36x的焦点坐标是(9,0)，所以c＝9.由于双曲线的虚轴长为4，所以2b＝4，即b＝2，所以a2＝c2－b2＝81－4＝77，故此双曲线的标准方程是eq \f(x2,77)－eq \f(y2,4)＝1.
5．若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|＝2eq \r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)
答案 A
解析 由题意得，线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，则焦点到直线AB的距离为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).
6．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为________．
答案 －eq \f(1,8)
解析 将y＝ax2化为x2＝eq \f(1,a)y，由于准线方程为y＝2，所以抛物线开口向下，eq \f(1,a)＜0，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,4a)))＝2，所以a＝－eq \f(1,8).
7．已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为________．
答案 9
解析 抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，
如图，设点P在准线上的射影是点M，
根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.
∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝eq \r(82＋7－12)－1＝10－1＝9.
当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，
则|PA|＋|PQ|的最小值为9.
8．设P是抛物线y2＝2x上任意一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离的最小值为________，点P的坐标为________．
答案 eq \f(5\r(2),4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析 方法一 设P(x0，y0)是y2＝2x上任意一点，
则点P到直线x－y＋3＝0的距离
d＝eq \f(|x0－y0＋3|,\r(2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),2)－y0＋3)),\r(2))＝eq \f(|y0－12＋5|,2\r(2))，
当y0＝1时，dmin＝eq \f(5\r(2),4)，点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
方法二 设与抛物线相切且与直线x－y＋3＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋m＝0，,y2＝2x，))
得y2－2y＋2m＝0，
因为Δ＝(－2)2－4×2m＝0，
所以m＝eq \f(1,2).
所以平行直线的方程为x－y＋eq \f(1,2)＝0，
此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，
则dmin＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3－\f(1,2))),\r(2))＝eq \f(5\r(2),4)，点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
9．已知双曲线的渐近线方程是y＝±eq \f(2,3)x，焦距为2eq \r(26)，求双曲线的标准方程．
解 当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a\\al(2,1))－eq \f(y2,b\\al(2,1))＝1(a1>0，b1>0)，
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b1,a1)＝\f(2,3)，,c\\al(2,1)＝a\\al(2,1)＋b\\al(2,1)＝26，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a\\al(2,1)＝18，,b\\al(2,1)＝8，))
此时双曲线的标准方程为eq \f(x2,18)－eq \f(y2,8)＝1.
当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为
eq \f(y2,a\\al(2,2))－eq \f(x2,b\\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)，
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a2,b2)＝\f(2,3)，,c\\al(2,2)＝a\\al(2,2)＋b\\al(2,2)＝26，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a\\al(2,2)＝8，,b\\al(2,2)＝18，))
此时双曲线的标准方程为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,18)＝1.
综上，所求双曲线的标准方程为
eq \f(x2,18)－eq \f(y2,8)＝1或eq \f(y2,8)－eq \f(x2,18)＝1.
10．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线l：y＝x－1与抛物线C交于A，B两点，求弦长|AB|.
解 (1)由题意，得eq \f(p,2)＝1，
所以p＝2，抛物线C的标准方程是y2＝4x.
(2)易知直线l：y＝x－1过抛物线的焦点．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝x－1，))可得x2－6x＋1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，
所以|AB|＝x1＋x2＋2＝8.
11．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A.eq \r(6) B.eq \r(5) C.eq \f(\r(6),2) D.eq \f(\r(5),2)
答案 D
解析 由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为
y＝－eq \f(b,a)x，∴－2＝－eq \f(b,a)·4，∴a＝2b.
方法一 设b＝k(k>0)，则a＝2k，c＝eq \r(5)k，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5)k,2k)＝eq \f(\r(5),2).
方法二 e2＝eq \f(b2,a2)＋1＝eq \f(1,4)＋1＝eq \f(5,4)，故e＝eq \f(\r(5),2).
12．已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )
A.eq \r(5) B．4eq \r(2) C．3 D．5
答案 A
解析 由题意得抛物线的焦点为(3,0)，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以b2＝9－4＝5，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(5),2)x，即eq \r(5)x－2y＝0，所以所求距离为d＝eq \f(|3\r(5)|,\r(5＋4))＝eq \r(5).
13．已知点P为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 设△PF1F2的内切圆的半径为R，由，
得eq \f(1,2)×|PF1|×R－eq \f(1,2)×|PF2|×R＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)×|F1F2|×R，即eq \f(1,2)×2a×R＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)×2c×R，所以eq \f(c,a)＝4.
14．已知点A(4,0)，抛物线C：x2＝12y的焦点为F，射线FA与抛物线和它的准线分别相交于点M和N，则|FM|∶|MN|等于( )
A．2∶3 B．3∶4
C．3∶5 D．4∶5
答案 C
解析 抛物线焦点为F(0,3)，
又A(4,0)，所以FA的方程为3x＋4y－12＝0，
设M(xM，yM)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝12y，,3x＋4y－12＝0，))
可得xM＝3(负值舍去)，所以yM＝eq \f(3,4)，
所以|FM|＝eq \f(3,4)＋3＝eq \f(15,4)，
当y＝－3时，代入3x＋4y－12＝0，
x＝8，即N(8，－3)，
|MN|＝eq \r(8－32＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3－\f(3,4)))2)＝eq \f(25,4)，
所以eq \f(|FM|,|MN|)＝eq \f(3,5).
15．如图，已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，P是双曲线右支上的一点，F2P的延长线与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝1，则双曲线的离心率是( )
A．3 B．2 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
答案 B
解析 记△APF1的内切圆在边AF1，AP上的切点分别为N，M，则|AN|＝|AM|，|NF1|＝|QF1|，|PM|＝|PQ|.又|AF1|＝|AF2|，所以|NF1|＝|AF1|－|AN|＝|AF2|－|AM|＝|MF2|，所以|QF1|＝|MF2|.则|PF1|－|PF2|＝(|PQ|＋|QF1|)－(|MF2|－|PM|)＝|PQ|＋|PM|＝2|PQ|＝2，即2a＝2，则a＝1.由|F1F2|＝4＝2c，得c＝2，所以双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝2.故选B.
16．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(1,2)．过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.
(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)设O为原点，eq \(QM,\s\up6(→))＝λeq \(QO,\s\up6(→))，eq \(QN,\s\up6(→))＝μeq \(QO,\s\up6(→))，求证：eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)为定值．
(1)解 因为抛物线y2＝2px经过点P(1,2)，
所以4＝2p，解得p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x.
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x,y＝kx＋1))得k2x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2k－4))x＋1＝0.
依题意Δ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2k－4))2－4×k2×1>0，
解得k