2022嘉兴、舟山高一下学期期末数学试题含答案

这是一份2022嘉兴、舟山高一下学期期末数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】A
3. 在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，，，则实数b的值等于（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
4. 如图所示，某三角形的直观图是斜边长等于2的等腰直角三角形，则原三角形的面积等于（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】C
5. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
【答案】B
6. 袋中装有6个形状大小相同的小球，其中有1个是编号为1的红球，2个编号分别是1和2的黄球，3个编号分别是1，2，3的蓝球，从中随机摸一个球，则以下事件相互独立的是（ ）
A. “摸到红球”与“摸到编号是1的球”B. “摸到黄球”与“摸到编号是2的球”
C. “摸到蓝球”与“摸到编号是1的球”D. “摸到蓝球”与“摸到编号是2的球”
【答案】D
7. 已知平面向量与的夹角为，则的最大值为（ ）
A. B. 2C. 4D. 8
【答案】C
8. 如图，在矩形ABCD中，，，现将沿着对角线BD翻折成，并且满足，则直线与平面BCD所成最大角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 如图，在平行六面体中，AC和BD的交点为O，设，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
10. 在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
11. 如图，在正四面体ABCD中，M，N分别是线段AB，CD（不含端点）上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 对任意点M，N，都有MN与AD异面
B. 存在点M，N，使得MN与BC垂直
C. 对任意点M，存在点N，使得与，共面
D. 对任意点M，存在点N，使得MN与AD，BC所成的角相等
【答案】ACD
12. 已知平面向量，，满足，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 对任意，B. 对任意，的最小值为
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若复数（i为虚数单位），则______．
【答案】
14. 为迎接创卫考核，现从高二（11）班随机选取两名学生参加调查问卷．已知选中的两名学生都是男生的概率是，选中的两名学生都是女生的概率是，则选中的两名学生是一男一女的概率是______．
【答案】
15. 《九章算术商功》：“斜解立方，得两佛堵．斜解整堵，其一为阳马，一为鳖臑．”其中，阳马是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．如图，在阳马中，侧棱PA垂直于底面ABCD，且，则该阳马的外接球的表面积等于______．
【答案】
16. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______．
【答案】##-0.125
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知平面向量，满足，，．
（1）求的值；
（2）设在上的投影向量为，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
小问1详解】
由，即，
解得；
【小问2详解】
在上的投影向量为，
故.
18. 如图，正三棱柱的每条棱长都等于2，M，N分别是，的中点．
（1）求证：平面ABC；
（2）求三棱锥的体积．
【小问1详解】
证明：如图所示：
取AB中点O，连结MO，CO，
因为M，O分别是，BA的中点，
所以，，
又N是中点，，，
所以，，
所以四边形MNCO是平行四边形，
∴，
又平面ABC，平面ABC，
∴平面ABC；
【小问2详解】
因为的面积为，
点到平面的距离为，
所以三棱锥的体积为．
19. 在中，内角，，对应的边分别为，，，请在①；②；③这三个条件中任选一个，完成下列问题：
（1）求角；
（2）若，的周长为，求的面积．
【答案】（1）任选一条件，都有
（2）
【小问1详解】
选①：因为，
由正弦定理得，
即，，
化简得：，
又，即，故；
选②：由，
结合余弦定理得，
整理得，
故，；
选③：因为，
由正弦定理得，
即，，
化简得，
又，所以，即，
所以；
【小问2详解】
因为，且，得，，
又，
即，解得，
.
20. 作为嘉兴新型的公共交通出行工具，水上巴士自2020年9月份开通运行至今，已安全有序运营21个月．据了解，嘉兴市水上巴士目前开通的3条航线：环城河线、杭州塘线和苏州塘线，航线平均里程6.5公里，兼顾通勤和观光功能的水上巴士，提升了不少市民和游客的出行感受．其中杭州塘线——梅湾街码头航线始发站是金都景苑码头，第二站为船文化博物馆码头，第三站为月河码头，终点站为梅湾街码头．某天甲、乙、丙3人同时从始发站金都景苑码头上船，在后三站每人随机选择一站下船游览．
（1）求甲比乙先下船的概率；
（2）求甲、乙、丙在不同的码头下船游览的概率．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
由题意知甲乙两人在后三站每站下船的概率皆为 ，
设甲，乙在第i站下船分别记为事件和，
记事件“甲比乙先下船”为事件C，
则，
．
【小问2详解】
用1，2，3分别代表船文化博物馆码头，月河码头，梅湾街码头，
用，代表甲乙丙分别在哪个码头下船，
所有的下船游览方案为：
{（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（2，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3）}，
甲、乙、丙在不同的码头下船的方案有：（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），（3，1，2），（3，2，1），
故甲、乙、丙在不同的码头下船游览的概率为．
21. 如图，在四棱锥中，底面ABCD直角梯形，，，平面平面PBC，，．
（1）求证：；
（2）若PD与平面PBC所成的角为，求二面角的余弦值．
【小问1详解】
取PB中点M，连接
∵，∴，
又平面平面PBC，AM在平面PAB中，平面平面，∴平面PBC．
而平面PBC，∴，又，∴，
又∵，∴平面PAB，
又∵平面PAB，∴．
【小问2详解】
取PC中点N，连MN，DN，则，，
又，，所以，，
所以四边形AMND是平行四边形，则．
又平面PBC．∴平面PBC，
则是PD与平面PBC所成的角，，
又，直角梯形中，则，
直角中，，所以是等边三角形．
取中点O，取中点Q，连接
以O为原点，分别以OA、OQ、OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，
则，， ，．
，
设平面PCD的一个法向量为，
则，令，则，，则．
同理，设平面BPD的一个法向量为，
由，
则，令，则，，则．
则．
则二面角的余弦值为．
22. 在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若M是BC的中点，且满足．
（1）求的最小值；
（2）若的面积为S，且满足，求的值．
【答案】（1）
（2）或
【小问1详解】
，得
从而，即，
，当且仅当时取等号．
∴的最小值为
【小问2详解】
由于，从而，
又则，即，
将代入，得，
即，从而，
又，则，
解得或．