苏科版九年级上册1.3 一元二次方程的根与系数的关系达标测试

随堂测试

1.3一元二次方程的根与系数的关系

1．已知方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别是x1，x2，则x12x2+x1x22的值为（　　）

A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6

2.一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是(　　)

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

3.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有实数根，则实数m的取值范围是(　　)

A．m＜1      B．m≤1       C．m＞1        D．m≥1

4.已知a是实数，则一元二次方程x2+ax﹣4=0的根的情况是（　　    ）

　 A.没有实数根                      B.有两个相等的实数根

　 C.有两个不相等的实数根            D.根据a的值来确定

5．关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1＝0有实数根，则下列结论正确的是（　　）

A．当k＝时，方程的两根互为相反数 

B．当k＝0时，方程的根是x＝﹣1 

C．若方程有实数根，则k≠0且k≤ 

D．若方程有实数根，则k≤

6．一元二次方程的两个根为，则的值是（    ）

A．10 B．9 C．8 D．7

7．若x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则x1+x2﹣x1•x2的值是（　　）

A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1

8．一元二次方程的两根为、，则的值是（   ）

A．4 B．-4 C．3 D．-3

9．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围是（　　）

A．k＞﹣2 B．k＞2 C．﹣2＜k≤0 D．0≤k＜2

10．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为x1，x2．则x12+2x2﹣2x1x2的值为　 　．

11．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　     　．

12．若关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+2＝0的一个根是﹣1，则另一个根是　   　．

13．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程　          　．

14．已知α，β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两实根，则α3+8β+6的值为　   　．

15．已知矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，则矩形的面积是　 　．

16．设a，b分别是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是　     　．

17．α是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，α+β＝2，则β2﹣2β的值是　 　．

18．已知方程x2+5x﹣6＝0的解是x1＝1，x2＝﹣6，则方程（2x+3）2+5（2x+3）﹣6＝0的解是　                　．

19．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x＝4m﹣3有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）设方程的两实根分别为x1与x2若x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，求m的值．

20．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根．

（ⅰ）求实数k的取值范围；

（ⅱ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值．

21．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．

（1）求证：这个方程总有两个实数根；

（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．

（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．

22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．

（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2；

①求代数式﹣4x1x2的最大值；

②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．

参考答案

1．C．

2.D.

3.B.

4.C．

5．D．

6.D．

7．C

8．C

9．C．

10．7．

11．2032．

12．﹣2．

13．x2﹣6x+6＝0．

14．30．

15．4．

16．2021．

17．4．

18．x1＝﹣1，x2＝﹣．

19．解：（1）方程化为x2+（6﹣2m）x+m2﹣4m+3＝0，

根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝（6﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣4m+3）＝﹣8m+24≥0，

解得m≤3；

（2）由根与系数的关系得x1+x2＝2m﹣6，x1x2＝m2﹣4m+3，

∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，

∴x1x2﹣（x1+x2）2+2x1x2＝﹣7，

即3x1x2﹣（x1+x2）2＝﹣7，

∴3（m2﹣4m+3）﹣（2m﹣6）2＝﹣7，

整理得m2﹣12m+20＝0，解得m1＝2，m2＝10，

∵m≤3，

∴m＝10应舍去，

∴m＝2．

20．解：（i）∵方程有实数根，

∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，

解得：k≤；

（ii）当k＝2时，方程化为x2+3x+1＝0，

∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，

∵x1，x2是方程的解，

∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，

∴x12+3x1＝﹣1，x22+3x2＝﹣1，

∴原式＝（﹣1﹣x1﹣1）（﹣1+x2+3）

＝﹣（x1+2）（x2+2）

＝﹣[x1x2+2（x1+x2）+4]

＝﹣（1﹣6+4）

＝1．

21．解：（1）△＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）

＝4k2﹣12k+9

＝（2k﹣3）2，

∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，

故这个方程总有两个实数根；

（2）由求根公式得x＝，

∴x1＝2k﹣1，x2＝2．

∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，

设b＝2k﹣1，c＝2，

当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k＝，

此时三角形周长为4+4+2＝10；

当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，

故此种情况不存在．

综上所述，△ABC周长为10．

（3）∵方程的两个实数根之差等于3，

∴，

解得：k＝0或3．

22．解：（1）△＝（2m+4）2﹣4（m2+4m）＝16，16＞0，

∴此方程总有两个不相等的实数根．

（2）①﹣4x1x2＝（x1+x2）2﹣6x1x2，

∵x1+x2＝＝2m+4，x1x2＝m2+4m，

∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24，

∴当m＝﹣2时﹣4x1x2的最大值为24．

②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0，

解得m＝2或m＝6，

当m＝2时，原方程化简为x2﹣8x+12＝0，

解得x＝2或x＝6，

三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，

三角形边长为2，2，6时不存在．

当m＝6时，原方程化简为x2﹣16x+60，

解得x＝6或x＝10．

三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，

三角形三边长为10，10，6时，三角形周长为26．

∴等腰三角形周长为14或22或26．