2021学年2.6 正多边形与圆当堂检测题

随堂测试

2.6正多边形与圆

一、单选题

1．正五边形的中心角等于（　　）

A．18° B．36° C．54° D．72°

2．如图，四边形内接于⊙O ，，那么等于（    ）

A．110° B．135° C．55° D．125°

3．如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是（ ）．

A． B． C． D．

4．一个正八边形中最长的对角线等于a，最短的对角线等b，则这个正八边形的面积为（　　）

A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．a+b D．ab

5．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论正确的有（　　）

①弦AB的长等于圆内接正六边形的边长；

②弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长；

③＝；    

④∠BAC＝30°．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．如图所示，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为(　　)

A．8 B．9 C．10 D．11

7．如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（     ）

A． B． C． D．

8．正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，则这个多边形的内角和为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

9．如果正n边形的中心角是40°，那么n=_______.

10．点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形中心，则∠MON＝____________．

11．如图，四边形是平行四边形，经过点A，C，D与交于点E，连接，若，则_____________．

12．如图，五边形为的内接正五边形，则________．

13．如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝_____．

14．如图，、、、为一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则__．

15．如图，⊙O与正六边形的边分别交于点，点在上，则圆周角的大小为_______度．

三、解答题

16．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD，BC相交于点M，延长AB，DC相交于点N，∠M=40°，∠N=20°，求∠A的度数.

17．画一个半径为的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星．

18．如图，要拧开一个边长的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要多少？

19．如图，正方形的边长为，剪去四个角后成为一个正八边形．求这个正八边形的边长和面积．

20．如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标．

21．如图，正六边形ABCDEF在正三角形网格内，点O为正六边形的中心，仅用无刻度的直尺完成以下作图．

（1）在图1中，过点O作AC的平行线；

（2）在图2中，过点E作AC的平行线．

22．如图，在网格纸中，、都是格点，以为圆心，为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法）

（1）在圆①中画圆的一个内接正六边形；

（2）在图②中画圆的一个内接正八边形.

23．已如：⊙O与⊙O上的一点A

（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）

（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．

24．如图，四边形内接于，，，垂足为．

（1）若，求的度数；

（2）求证：．

参考答案

1．D

2．D

3．B

4．D

5．C

6．D

7．B

8．A

9．9

10．45°

11．

12．36°

13．9

14．30°

15．120

16．∠A=60°.

17．

根据分析画图如下：

18．

解：如图所示，由题意得：六边形为正六边形，

六边形的六条边相等，每个内角为

过点A作AG⊥BF，垂足为点G，

因为∠BAF＝120°，

所以∠BAG＝60°，

所以∠ABG＝30°，

在Rt△ABG中，AB＝12mm，∠AGB＝90°，∠ABG＝30°，

所以AG＝AB＝×12＝6(mm)，

由勾股定理得BG＝＝＝6(mm)，

即b＝BF＝2BG＝2×6＝12 (mm).

答：扳手张开的开口b至少要12mm．

19．

解：由正方形剪去四个角后成为一个正八边形，可知减去的每个角所组成的三角形为等腰直角三角形，设剪去的小直角三角形的两直角边均为xcm，

由题意可知(4－2x)2＝x2＋x2，

解得x1＝4＋2（舍去），x2＝4－2，

所以4－2x＝4－2×(4－2)＝4－4，

即这个正八边形的边长是(4－4)cm．

S正八边形＝S正方形－4S小三角形

＝42－4×·x·x

＝16－2(4－2)2

＝16－2(24－16)

＝32－32(cm2) ．

答：这个正八边形的边长是(4－4)cm，面积是(32－32)cm2．

20．

解：过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，

∵OE=OD，∠EOD=，

∴△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°，

∵OE＝2cm，∠OGE＝90°，

∴OG＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm，

点E的坐标为（1，），

又由题意知点D的坐标为（2，0），

由图形的对称性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F（－1，）．

故这个正六边形ABCDEF各个顶点的坐标分别为A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）．

21．

（1）如图所示（答案不唯一）：

（2）如图所示（答案不唯一）：

22．

（1）设AO的延长线与圆交于点D，

根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即OB=AB，故在图中找到AO的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F；同理：在图中找到OD的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，如图①，正六边形即为所求．

（2）圆的内接八边形的中心角为360°÷8=45°，而正方形的对角线与边的夹角也为45°

∴在如②图所示的正方形OMNP中，连接对角线ON并延长，交圆于点B，此时∠AON=45°；∵∠NOP=45°，

∴OP的延长线与圆的交点即为点C

同理，即可确定点D、E、F、G、H的位置，顺次连接，

如图②，正八边形即为所求．

23．

解:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作；

（2）四边形BCEF为矩形．理由如下：

连接BE，如图，

∵六边形ABCDEF为正六边形，

∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，

∴，

∴，

∴，

∴BE为直径，

∴∠BFE=∠BCE=90°，

同理可得∠FBC=∠CEF=90°，

∴四边形BCEF为矩形．

24．

（1）解：，，

，

四边形是的内接四边形，

，

（2）证明：，

，

，

，

，

，

，

；