湘教版（2019）3.2 复数的四则运算公开课教案及反思

湘教版必修第二册3章《复数》章末综合检测及详细解析

(时间：120分钟，满分：150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z＝(m2－m－6)＋(m2＋2m－8)i(i为虚数单位)，若z<6，则实数m＝(　　)

A．2      B．2或－4       C．4       D．－2或4

2．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋y的值为(　　)

A．1      B.         C.      D．2

3．已知i为虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数a等于(　　)

A．－         B.        C．－2         D．2

4．在复平面上，一个正方形的三个顶点按顺序分别对应的复数是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为(　　)

A.3＋i     B.3－I       C.1－3i      D.－1＋3i

5．设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)

A．(x＋1)2＋y2＝1    B．(x－1)2＋y2＝1

C．x2＋(y－1)2＝1    D．x2＋(y＋1)2＝1

6．已知复数z满足z·i2 020＝1＋i2 019(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部是(　　)

A．－1        B．1       C．－i        D．i

7．已知复数z＝－＋i，则＋|z|＝(　　)

A．－－i      B．－＋i      C.＋i       D.－i

8．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．当x＝π时，eiπ＋1＝0.根据欧拉公式可知，e4i对应的点在复平面内位于(　　)

A．第一象限      B．第二象限      C．第三象限       D．第四象限

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知z1与z2是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是(　　)

A．z<|z2|2     B．z1z2＝|z1z2|      C．z1＋z2∈R         D.∈R

10．已知i为虚数单位，复数z＝，则下列结论正确的是(　　)

A．z的共轭复数为－I      B．z的虚部为

C．|z|＝                 D．z在复平面内对应的点在第一象限

11．设复数z满足＝i，则下列说法错误的是(　　)

A．z为纯虚数                                 B．z的虚部为－i

C．在复平面内，z对应的点位于第二象限         D．|z|＝

12．已知集合M＝{m|m＝in，n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是(　　)

A．(1－i)(1＋i)      B．         C．         D．(1－i)2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知复数z＝(m2－2)＋(m－1)i对应的点位于第二象限，则实数m的范围为______．

14．若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝________.

15．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b的值为________．

16．复数z1＝1－2i，|z2|＝3，则|z2－z1|的最大值是________，最小值是________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分) 已知z，ω为复数，(1＋3i)z为实数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.

18．(本小题满分12分)已知复数z满足|3＋4i|＋z＝1＋3i.

(1)求；

(2)求的值．

19．(本小题满分12分)已知复数z＝(1＋i)2＋，其中i为虚数单位．

(1)求复数z及|z|；

(2)若z2＋a＋b＝2＋3i，求实数a，b的值．

20．(本小题满分12分).已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.

(1)求复数z；

(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．

21．(本小题满分12分)已知复数z1＝a＋i，z2＝1－i，a∈R.

(1)当a＝1时，求z1·2的值；

(2)若z1－z2是纯虚数，求a的值；

(3)若在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围．

22．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2，z在复平面内对应的点位于第一象限．

(1)求z；

(2)若z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求cos ∠ABC.

答案

一、单项选择题：

1．选A.解析：因为z<6，所以z∈R，则解得所以m＝2，故选A.

2．选D.   解析：　依据复数相等的条件，得x＝y＝1，故x＋y＝2.故选D.

3．选D.  解析：　(1＋ai)(2＋i)＝2－a＋(2a＋1)i，

因为它为纯虚数，所以解得a＝2.故选D.

4．选D. 解析：在复平面内通过已知三个点易知第四个顶点对应的复数为－1＋3i.

5．选C.解析： z＝x＋yi，z－i＝x＋(y－1)i，|z－i|＝＝1，则x2＋(y－1)2＝1.故选C.

6．选A.解析：因为i4＝1，所以i2 020＝i4×505＝1，i2 019＝i4×504＋3＝－i，则z·i2 020＝1＋i2 019化为z＝1－i，所以z的虚部为－1.故选A.

7．选D.解析：　因为z＝－＋i，所以＋|z|＝－－i＋ ＝－i.故选D.

8．选C.解析：因为e4i＝cos 4＋isin 4，π<4<，所以cos 4<0，sin 4<0，故e4i对应的点在复平面中位于第三象限．

二、多项选择题：

9．选BC.　解析： z1与z2是共轭虚数，设z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R)．

z<|z2|2；z＝a2－b2＋2abi，复数不能比较大小，因此A不正确；z1z2＝|z1z2|＝a2＋b2，B正确；z1＋z2＝2a∈R，C正确；＝＝＝＋i不一定是实数，因此D不一定正确．故选B、C.

10．选CD.解析：因为z＝＝＝＋i，

所以z的共轭复数为－i，z的虚部为，|z|＝＝，

z在复平面内对应的点为，在第一象限．故选C、D.

11．选ABC.解析：　∵z＋1＝zi，设z＝a＋bi，则(a＋1)＋bi＝－b＋ai，

∴解得

∴z＝－－i.

∴|z|＝，复数z的虚部为－.故选A、B、C.

12．选BC.解析：根据题意，M＝{m|m＝in，n∈N}中，n＝4k(k∈N)时，in＝1；n＝4k＋1(k∈N)时，in＝i；n＝4k＋2(k∈N)时，in＝－1；n＝4k＋3(k∈N)时，in＝－i，所以M＝{－1，1，i，－i}．

选项A中，(1－i)(1＋i)＝2∉M；

选项B中，＝＝－i∈M；

选项C中，＝＝i∈M；

选项D中，(1－i)2＝－2i∉M.故选B、C.

三、填空题：

13. 答案：(1，)

 解析：∵复数z＝(m2－2)＋(m－1)i对应的点(m2－2，m－1)位于第二象限，

∴m2－2＜0，且 m－1＞0，

∴1＜m＜.

14．答案：1

解析：因为(3－4i)z＝4＋3i，所以z＝＝＝＝i.

则|z|＝1.

15．答案：－4

解析：因为＋＝，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以解得所以a－b＝－4.

16．答案：3＋　3－

解析：设z2＝x＋yi(x，y∈R)，作出圆x2＋y2＝9，如图所示，z1＝1－2i表示点P(1，－2)，则|z2－z1|表示点P到圆上的点的距离，当圆上的点与点O，P共线时，取得最值，则最大值为3＋，最小值为3－.

四、解答题：

17．解：设ω＝x＋yi(x，y∈R)，

由ω＝，得z＝ω(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i)．

依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)＝(－x－7y)＋(7x－y)i，

∴7x－y＝0.①

又|ω|＝5，∴x2＋y2＝50.②

由①②得或

∴ω＝1＋7i或ω＝－1－7i.

18．解：(1)因为|3＋4i|＝5，

所以z＝1＋3i－5＝－4＋3i，所以＝－4－3i.

(2)＝＝2.

19．解：(1)z＝(1＋i)2＋＝2i＋i(1＋i)＝－1＋3i，

|z|＝＝.

(2)由z2＋a＋b＝2＋3i得，

(－1＋3i)2＋a(－1－3i)＋b＝2＋3i，

即(－8－a＋b)＋(－6－3a)i＝2＋3i，

所以解得

20．解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，

由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，

解得a＝b＝1或a＝b＝－1，

所以z＝1＋i或z＝－1－i.

(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，

所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.

当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，

所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，

所以S△ABC＝1.

21．解：(1)当a＝1时，z1·2＝(1＋i)(1＋i)＝1＋2i＋i2＝2i.

(2)由题意z1－z2＝(a－1)＋2i为纯虚数，则a－1＝0，所以a＝1.

(3)＝＝＝＝＋i，

该复数在复平面内对应的点为，

则由题意得

解得－1<a<1.

故a的取值范围是(－1，1).

22．解：(1)令z＝x＋yi(x，y∈R).

因为|z|＝，所以x2＋y2＝2.　①

又z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi的虚部为2，

所以2xy＝2，即xy＝1.　②

由①②，解得或所以z＝1＋i或z＝－1－i.又复数z在复平面内对应的点位于第一象限，所以z＝1＋i.

(2)因为z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1＋i－2i＝1－i，

所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，

所以＝(1，－1)，＝(1，－3)，

所以cos ∠ABC＝＝＝＝.