高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.1 实数指数幂和幂函数优质课教学设计

 第四章  幂函数、指数函数、对数函数

 第二课时　无理数指数幂

教学设计

一、目标展示

二、情境导入

牛顿(Newton 1643—1727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史上的贡献吗？他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…，所以可将，，，…写成a，a，a，…，将，，，…写成a－1，a－2，a－3，…”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程．

[问题]　你能归纳出指数幂的运算性质吗？

三、合作探究

知识点一　有理指数幂的基本不等式

1．(1)对任意的有理数r和数a，若a>1，则ar>1；若a<1，则ar<1；

(2)对任意的负有理数r和正数a，若a>1，则ar1；若a<1，则ar1.

2．(1)对任意的正数a>1和两有理数r>s，有＝ar－s1，即aras；

(2)对任意的正数a<1和两有理数r>s，有＝ar－s1，即aras.

知识点二　无理数指数幂及实数指数幂

1．无理数指数幂

无理数指数幂au(a>0，u是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

在幂au表达式中，a叫作底数，u叫作指数，由此u可取任意实数．

2．实数指数幂的基本不等式

(1)对任意的正数u和正数a，若a>1，则au1；若a<1，则au1；

(2)对任意的负数u和正数a，若a1，则au<1；若a1.则au>1.

3．实数指数幂的运算性质

四、精讲点拨

[例1]　(链接教科书第98页例6)化简(式中各字母均为正数)：

(1)(xy)；

(2)4x·3x (－y)·y；

(3) .

[例2]　已知a＋a＝，求下列各式的值：

(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.

[例3]　设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小．

五、达标检测

1．若a2x＝－1，则等于(　　)

A．2－1　　　　　　　 B．2－2

C．2＋1  D．＋1

2．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，求x的值．

六、课堂小结

1.实数指数幂的化简与求值；

2.幂运算基本不等式的应用;

课后作业

教后反思