浙教版八年级上册2.2 等腰三角形一等奖教学设计

这是一份浙教版八年级上册2.2 等腰三角形一等奖教学设计，共32页。教案主要包含了简称：等边对等角，三线合一等内容，欢迎下载使用。

等腰三角形的概念及性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
题型梳理
题型一 等腰三角形与边
1．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）
A．12B．16C．20D．16或20
2．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ）
A．12B．9C．12或9D．9或7
3．已知实数x，y满足|x-4|+y-8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16B．20
C．16D．以上答案均不对
4．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17B．15C．13D．13或17
5．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．8或10B．8C．10D．6或12
6．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为 ．
8．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ．
9．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AB上移动，则CP的最小值是 ．
题型二 等腰三角形与角
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．60°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（ ）
A．40°B．36°C．30°D．25°
3．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（ ）
A．20°B．35°C．40°D．70°
4．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为（ ）
A．36°B．60°C．72°D．108°
5．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，则∠DEC等于（ ）
A．7.5°B．10°C．15°D．18°
6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为 ．
7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
8．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ ．
9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30度，则它的底角的度数为 ．
10．如图△ABC中，AB＝AC，点E、D、F分别是边AB、BC、AC边上的点，且BE＝CD，CF＝BD．若∠EDF＝50°，则∠A的度数为 ．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝ 度．
12．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则此三角形顶角度数为 ．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE．若∠B＝55°，∠BAD＝50°，则∠EDC＝ °．
14．等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为 ．
15．等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角是 ．
16．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．
（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
、
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数．
18．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
题型三 “钢架结构”题型
1．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60°B．65°C．75°D．80°
2．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是 ．
3．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB＝10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管 根．
4．如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2…按此规律下去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠An+1BnBn+1＝θn，则：
（1）θ1＝ ；
（2）θn＝ ．
5．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（ ）
A．（12）n•75°B．（12）n﹣1•65°
C．（12）n﹣1•75°D．（12）n•85°
答案与解析
题型一 等腰三角形与边
1．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）
A．12B．16C．20D．16或20
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长＝8+8+4＝20．
故选：C．
2．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ）
A．12B．9C．12或9D．9或7
【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形三边关系得出其周长即可．
【解答】解：∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5，
∴当腰长为2，则2+2＜5，此时不成立，
当腰长为5时，则它的周长为：5+5+2＝12．
故选：A．
3．已知实数x，y满足|x-4|+y-8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16B．20
C．16D．以上答案均不对
【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意得
x-4=0y-8=0，
解得x=4y=8，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8＝20．
故选：B．
4．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17B．15C．13D．13或17
【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．
【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7＝17．
故这个等腰三角形的周长是17．
故选：A．
5．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．8或10B．8C．10D．6或12
【分析】分2是腰长与底边长两种情况讨论求解．
【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长＝2+4+4＝10，
综上所述，它的周长是10．
故选：C．
6．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 10 ．
【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，把三条边的长度加起来就是它的周长．
【解答】解：因为2+2＝4，
所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，
周长：4+4+2＝10，
答：它的周长是10，
故答案为：10
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为 9 ．
【分析】利用等腰三角形的性质和题目的已知条件证得△BAD≌△CAE后即可求得CE的长．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BAD和△CAE中，
∠BAD=∠CAEAB=AC∠B=∠C，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE＝9，
故答案为：9．
8．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 15 ．
【分析】分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．
【解答】解：当腰为3时，3+3＝6，
∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6＝9＞6，
∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长＝3+6+6＝15．
故答案为：15．
9．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AB上移动，则CP的最小值是 4.8 ．
【分析】作BC边上的高AF，利用等腰三角形的三线合一的性质求BF＝3，利用勾股定理求得AF的长，利用面积相等即可求得AB边上的高CP的长．
【解答】解：如图，作AF⊥BC于点F，作CP⊥AB于点P，
根据题意得此时CP的值最小；
解：作BC边上的高AF，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BF＝CF＝3，
∴由勾股定理得：AF＝4，
∴S△ABC=12AB•PC=12BC•AF=12×5CP=12×6×4
得：CP＝4.8
故答案为4.8．
题型二 等腰三角形与角
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．60°
【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC＝70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
【解答】解：AB＝AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，
∵∠BAD＝35°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，
∴∠C=12（180°﹣70°）＝55°．
故选：C．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（ ）
A．40°B．36°C．30°D．25°
【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
设∠B＝α，
则∠BDA＝∠BAD＝2α，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠B＝36°，
故选：B．
3．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（ ）
A．20°B．35°C．40°D．70°
【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB=12（180°﹣∠CAB）＝70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=12∠ACB＝35°．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，
∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB=12（180°﹣∠CAB）＝70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=12∠ACB＝35°．
故选：B．
4．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为（ ）
A．36°B．60°C．72°D．108°
【分析】根据∠A＝36°，AB＝AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．
【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝36°，
∴∠1＝∠A+∠ABD＝72°，
故选：C．
5．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，则∠DEC等于（ ）
A．7.5°B．10°C．15°D．18°
【分析】根据等腰三角形性质求出∠C＝∠B，根据三角形的外角性质求出∠B＝∠C＝∠AED+α﹣30°，根据∠AED＝∠ADE＝∠C+α，得出等式∠AED＝∠AED+α﹣30°+α，求出即可．
【解答】解：∵AC＝AB，
∴∠B＝∠C，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠B+30°＝∠AED+α，
∴∠B＝∠C＝∠AED+α﹣30°，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝∠C+α，
即∠AED＝∠AED+α﹣30°+α，
∴2α＝30°，
∴α＝15°，
∠DEC＝α＝15°，
故选：C．
6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为 60°或120° ．
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
【解答】解：当高在三角形内部时，顶角是60°；
当高在三角形外部时，顶角是120°．
故答案为：60°或120°．
7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为 63°或27° ．
【分析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数．
【解答】解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．
①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，
底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；
②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，
此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．
所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．
故答案为：63°或27°．
8．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ 85或14 ．
【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．
【解答】解：
①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：180°-80°2=50°
∴特征值k=80°50°=85
②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°
∴特征值k=20°80°=14
综上所述，特征值k为85或14
故答案为85或14
9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30度，则它的底角的度数为 30°或60° ．
【分析】由于此高不能确定是在三角形的内部，还是在三角形的外部，所以要分锐角三角形和钝角三角形两种情况求解．
【解答】解：分两种情况：
①在左图中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABD＝30°，
∴∠A＝60°，
∴∠C＝∠ABC=12（180°﹣∠A）＝60°；
②在右图中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABD＝30°，
∴∠DAB＝60°，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠ABC=12（180°﹣∠BAC）＝30°．
故答案为：30°或60°．
10．如图△ABC中，AB＝AC，点E、D、F分别是边AB、BC、AC边上的点，且BE＝CD，CF＝BD．若∠EDF＝50°，则∠A的度数为 80° ．
【分析】由SAS可得△EBD≌△DCF，得出∠BDE＝∠CFD，再由角之间的转化，从而可求解∠A的大小．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE与△CDF中，
BD=CF∠B=∠CBE=CD，
∴△EBD≌△DCF（SAS）．
∴∠BDE＝∠CFD，
∵∠EDF＝50°，
∴∠BDE+∠CDF＝∠CDF+∠CFD＝130°，
∴∠C＝50°
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
故答案为：80°．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝ 36 度．
【分析】已知有许多线段相等，根据等边对等角及三角形外角的性质得到许多角相等，再利用三角形内角和列式求解即可．
【解答】解：设∠A＝x
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x，∠BDC＝2x
∵BD＝BC
∴∠C＝∠BDC＝2x，∠DBC＝x
∵在BDC中x+2x+2x＝180°
∴x＝36°
∴∠A＝36°．
故填36．
12．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则此三角形顶角度数为 54°或126° ．
【分析】根据等腰三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：当△ABC是锐角三角形时，
∠ACD＝36°，∠ADC＝90°，
∴∠A＝54°，
当△ABC是钝角三角形时，
∴∠ACD＝36°，∠ADC＝90°，
∴∠BAC＝∠ADC+∠ACD＝126°
故答案为：54°或126°
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE．若∠B＝55°，∠BAD＝50°，则∠EDC＝ 25 °．
【分析】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ADC和∠AED，然后求出∠EDC与∠BAD的关系，再代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
在△ABD中，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC＝∠B+∠BAD﹣∠EDC，
在△CDE中，∠AED＝∠EDC+∠C，
∴∠B+∠BAD﹣∠EDC＝∠EDC+∠C，
∴∠EDC=12∠BAD，
∵∠BAD＝50°，
∴∠EDC=12×50°＝25°．
14．等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为 35°或20° ．
【分析】题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，
①当∠A＝70°时，
则∠ABC＝∠C＝55°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC＝90°﹣55°＝35°；
②当∠C＝70°时，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC＝90°﹣70°＝20°；
故答案为：35°或20°．
15．等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角是 50°或65° ．
【分析】等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角是50°，则这个角可能是底角也可能是顶角．要分两种情况讨论．
【解答】解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；
当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°．
故答案是：50°或65°．
16．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．
（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝110°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得到∠E＝75°﹣18°＝57°，于是得到结论；
（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β，①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，根据题意列方程组即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，
∴∠BAC＝110°，
∵∠BAD＝80°，
∴∠DAE＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；
（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，
∴∠E＝75°﹣18°＝57°，
∴∠ADE＝∠AED＝57°，
∴∠ADC＝39°，
∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，
∴∠BAD＝36°；
（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴y°=x°+α(1)y°=x°-α+β(2)，
（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，
∴x°=y°+α(1)x°+α=y°+β(2)，
（2）﹣（1）得α＝β﹣α，
∴2α＝β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴x°-α+y°+β=180°(1)y°+x°+α=180°(2)，
（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠C＝50°，进而得到∠BAC＝80°，由∠BAD＝55°，得到∠DAE＝25°，由DE⊥AD，进而求出结论．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠BAD＝55°，
∴∠DAE＝25°，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝115°．
18．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
【分析】根据三角形的内角和定理与∠C＝∠ABC＝2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．
【解答】解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．
题型三 “钢架结构”题型
1．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60°B．65°C．75°D．80°
【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：D．
2．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是 12° ．
【分析】设∠A＝x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP7P8，∠AP8P7，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：设∠A＝x，
∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，
∴∠A＝∠AP2P1＝∠AP13P14＝x，
∴∠P2P1P3＝∠P13P14P12＝2x，
∴∠P3P2P4＝∠P12P13P11＝3x，
…，
∠P7P6P8＝∠P8P9P7＝7x，
∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x，
在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7＝180°，
即x+7x+7x＝180°，
解得x＝12°，
即∠A＝12°．
故答案为：12°．
3．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB＝10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管 8 根．
【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．
【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB＝10°，
∴∠GEF＝∠FGE＝20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，
即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．
故答案为：8．
4．如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2…按此规律下去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠An+1BnBn+1＝θn，则：
（1）θ1＝ 180°+α2 ；
（2）θn＝ (2n-1)⋅180°+α2n ．
【分析】设∠A1B1O＝x，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得α+2x＝180°，x＝180°﹣θ1，即可求得θ1=180°+α2；同理求得θ2=180°+θ12；即可发现其中的规律，按照此规律即可求得答案．
【解答】解：（1）设∠A1B1O＝x，
则α+2x＝180°，x＝180°﹣θ1，
∴θ1=180°+α2；
（2）设∠A2B2B1＝y，
则θ2+y＝180°①，θ1+2y＝180°②，
①×2﹣②得：2θ2﹣θ1＝180°，
∴θ2=180°+θ12；
…
θn=(2n-1)⋅180°+α2n．
故答案为：（1）180°+α2；（2）θn=(2n-1)⋅180°+α2n．
5．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（ ）
A．（12）n•75°B．（12）n﹣1•65°
C．（12）n﹣1•75°D．（12）n•85°
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的底角度数．
【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C=180°-∠B2=75°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×75°；
同理可得，
∠EA3A2＝（12）2×75°，∠FA4A3＝（12）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（12）n﹣1×75°．
故选：C．