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浙教版八年级上册第2章 特殊三角形2.2 等腰三角形优质教案设计
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这是一份浙教版八年级上册第2章 特殊三角形2.2 等腰三角形优质教案设计，共55页。教案主要包含了简称：等角对等边等内容，欢迎下载使用。
2.4 等腰三角形判定定理
知识点梳理
等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
题型梳理
题型一 边、角证明等腰三角形
1．如图，在ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F，FD∥AC交BC于点D．求证：△AEF是等腰三角形．
2．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
3．如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF．求证：△ABC为等腰三角形．
4．在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于F．
（1）若∠BAC＝120°，求∠BAD的度数．
（2）求证：△ADF是等腰三角形．
5．已知：如图，AB＝AC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形．
6．已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：△ABC是等腰三角形．
题型二 构造等腰三角形（作圆、作中垂线）
1．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
2．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
3．如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（ ）
A．7个 B．6个 C．4个 D．3个
4．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
5．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的点C有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
6．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
7．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，若C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为一腰的等腰三角形时，点C的个数是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．7
9．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，则以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，等腰△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有（ ）
A．12个 B．11个 C．10个 D．9个
11．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有 个．
12．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有 个．（在图上作出点P的位置）
13．如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x+2，点P是边OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的取值范围是 ．
14．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有 个．
15．已知点A（2，m），点P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，则m＝ ．
16．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 个．
17．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），若点P在坐标轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P有 个．
题型三 等腰三角形与动点题型
1．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝ s时，△POQ是等腰三角形．
2．如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜4）．当t＝ 时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形．
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘米，BC＝6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）求出发2秒后，PQ的长；
（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．
4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
题型四 角平分线+垂直=构造等腰三角形
1．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
2．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2
3．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2
4．如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．22 D．4
6．如图，在△ABC中，AD平分∠CAB交BC于点E．若∠BDA＝90°，E是AD中点，DE＝2，AB＝5，则AC的长为（ ）
A．1 B．43 C．32 D．53
7．如图，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于E，BC＝6，AC＝4，△ABC的面积是9，则△AEC的面积是 ．
8．如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是 ．
9．如图，△PBC的面积为4cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△ABC的面积为 cm2．
10．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，求线段DE的长．
答案与解析
题型一 边、角证明等腰三角形
1．如图，在ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F，FD∥AC交BC于点D．求证：△AEF是等腰三角形．
【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠C，再根据EP⊥BC，从而得出∠E＝∠PED，再根据对顶角相等得出∠E＝∠AFE，最后根据等角对等边即可得出答案．
【解答】证明：∵FD∥AC
∴∠PFD＝∠E，∠FDB＝∠C，
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠E+∠C＝90°，
∠B+∠BFP＝90°，
∴∠E＝∠BFP，
∵∠BFP＝∠AFE，
∴∠E＝∠AFE，
∴AE＝AF即△AEF是等腰三角形．
2．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．
（2）根据等腰三角形的判定解答即可．
【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，
∴DF＝EF，
∵BD＝CE，
∴BF＝CF，
∴AB＝AC．
（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，
∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，
3．如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF．求证：△ABC为等腰三角形．
【分析】欲证明AB＝AC，只要证明∠ABC＝∠ACB即可；
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BE=CFBD=CD
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠EBD＝∠FCD，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴∠DBC+∠EBD＝∠DCB+∠FCD，
即∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
4．在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于F．
（1）若∠BAC＝120°，求∠BAD的度数．
（2）求证：△ADF是等腰三角形．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°；
（2）根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB，从而可推出AD＝DF．
【解答】（1）解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°；
（2）证明：∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE，
∴∠DAF＝∠F，
∴AD＝DF，
∴△ADF是等腰三角形．
5．已知：如图，AB＝AC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形．
【分析】要证明△DBE是等腰三角形，主要利用等腰三角形的判定定理和性质定理，而DE∥AC，容易得到角的关系．
【解答】证明：∵DE∥AC，
∴∠C＝∠DEB．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∴∠B＝∠DEB．
∴△DBE是等腰三角形．
6．已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：△ABC是等腰三角形．
【分析】由∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据三角形外角的性质，易证得∠B＝∠C，然后由等角对等边，证得：△ABC是等腰三角形．
【解答】证明：∵∠B＝∠3﹣∠1，∠C＝∠4﹣∠2，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形．
题型二 构造等腰三角形（作圆、作中垂线）
1．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，作线段AB的垂直平分线，即可得出点C的位置．
【解答】解：如图所示，以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3、C8、C7即为点C的位置；
以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C6、C4、C5即为点C的位置；
作线段AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点．
故以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个．
故选：B．
2．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
【解答】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；
∴这样的顶点C有8个．
故选：A．
3．如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（ ）
A．7个 B．6个 C．4个 D．3个
【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，作线段AB的垂直平分线，即可得出第三个顶点的位置．
【解答】解：如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7即为第三个顶点的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线未经过网格中的格点．
故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7个．
故选：A．
4．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
5．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的点C有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【分析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．
【解答】解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；
②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．
所以符合条件的点C共有9个．
故选：D．
6．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有6个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：D．
7．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论．
【解答】解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA＝AP；
第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB＝PB；
第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝PB；
第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB＝PA；
第5个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝AP；
第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA＝∠PAB；
∴符合条件的点P有6个点．
故选：B．
8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，若C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为一腰的等腰三角形时，点C的个数是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．7
【分析】根据AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，
【解答】解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
9．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，则以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由勾股定理求出AB=32+12=10，分三种情况讨论：①当A为顶角顶点时；②当B为顶角顶点时；③当C为顶角顶点时；即可得出结果．
【解答】解：由勾股定理得：AB=32+12=10，
分三种情况：如图所示：
①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有1个；
②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有2个；
③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有1个；
综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1+2+1＝4（个）；
故选：C．
10．如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，等腰△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有（ ）
A．12个 B．11个 C．10个 D．9个
【分析】分别以A、B、C为顶点，分类三种情况：当AC＝BC时；当AB＝AC时；当AB＝BC，画出图形得出答案即可．
【解答】解：如图：
符合条件的点C一共有10个．
故选：C．
11．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有 9 个．
【分析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．
【解答】解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；
②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．
所以符合条件的点C共有9个．
12．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有 6 个．（在图上作出点P的位置）
【分析】本题是开放性试题，根据题意，画出图形结合求解．
【解答】解：如图，第1个点在AC上，作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，则有PA＝PB；
第2个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP＝AB，交AC延长线上于点P；
第3个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP＝AB，在上边于CA延长线上交于点P；
第4个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP＝BA，与AC的延长线交于点P；
第5个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP＝BA，与BC在左边交于点P；
第6个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP＝AB，与BC在右边交于点P；
故符合条件的点P有6个点．
故答案为：6．
13．如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x+2，点P是边OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的取值范围是 22-2≤x≤2或x＝22或x=3-1 ．
【分析】考虑四种特殊位置，求出x的值即可解决问题；
【解答】解：如图1中，当△P2MN是等边三角形时满足条件，作P2H⊥OA于H．
在Rt△P2HN中，P2H=3NH=3，
∵∠O＝∠HP2O＝45°，
∴OH＝HP2=3，
∴x＝OM＝OH﹣MH=3-1．
如图2中，当⊙M与OB相切于P1，MP1＝MN＝2时，x＝OM＝22，此时满足条件；
如图3中，如图当⊙M经过点O时，x＝OM＝2，此时满足条件的点P有2个．
如图4中，当⊙N与OB相切于P1时，x＝OM＝22-2，
观察图3和图4可知：当22-2＜x≤2时，满足条件，
综上所述，满足条件的x的值为：22-2＜x≤2或x＝22或x=3-1，
故答案为22-2＜x≤2或x＝22或x=3-1．
14．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有 8 个．
【分析】分AB为腰和底两种情况进行讨论，画出图形，即可找出点C的个数．
【解答】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；
∴这样的顶点C有8个．
故答案为：8．
15．已知点A（2，m），点P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，则m＝ 0或±233 ．
【分析】由于当OP＝OA时，这样的P点一定有2个，易得PO＝PA不存在，AP＝AO也不存在，这时才满足符合条件的点P恰好有2个，从而得到m＝0，当当OA与x轴的正半轴的夹角为30°时，这样的P点一定有2个，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到m的值．
【解答】解：当OP＝OA时，这样的P点一定有2个，
所以PO＝PA不存在，
AP＝AO也不存在，
所以A点在x轴上，此时m＝0．
当OA与x轴的正半轴的夹角为30°时，这样的P点一定有2个，
此时|m|=33×2，即m＝±233
故答案为0或±233．
16．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 8 个．
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
【解答】解：如图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故答案为：8．
17．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），若点P在坐标轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P有 8 个．
【分析】连接AB，AB边可能是底边，也可能是腰，得到的等腰三角形共有8个．
【解答】解：如图所示：
①以B为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有2点，交x轴有1点（点A除外），此时共3个点；
②以A为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有1点（点B除外），交x轴有2点，此时共3个点，
③以AB为底的三角形有2个，点P在AB的垂直平分线上，分别交x轴、y轴各1个点，此时共2个点；
3+3+2＝8，
因此，满足条件的点P有8个，
故答案为：8．
题型三 等腰三角形与动点题型
1．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝ 4或12 s时，△POQ是等腰三角形．
【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．
【解答】解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，
设t时后△POQ是等腰三角形，
有OP＝OC﹣CP＝OQ，
即12﹣2t＝t，
解得，t＝4s；
（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，
当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴OP＝OQ，
即2（t﹣6）＝t，
解得，t＝12s
故答案为4s或12s．
2．如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜4）．当t＝ 83或3 时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形．
【分析】连接PB，过点Q作QE⊥CD，分两种情况：①PQ＝PB，根据“HL”可得△PEQ≌△PCB，再利用PD+PC＝8列出方程可得t；②PQ＝QB，根据勾股定理列方程可得解．
【解答】解：连接PB，过点Q作QE⊥CD，
若△PQB是以PQ为腰的等腰三角形，则有两种情况：
①当PQ＝PB时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝EQ，
∴△PEQ≌△PCB（HL），
∴PE＝PC．
由题意得：PD＝2t，AQ＝t，
四边形ADEQ是矩形，
∴PE＝2t﹣t＝t，PC＝t，
∵PD+PC＝8，
∴2t+t＝8，解得t=83．
②当PQ＝QB时，
PQ＝QB＝8﹣t，
Rt△PQE中，PQ＝8﹣t，PE＝t，EQ＝4，
∴（8﹣t）2＝t2+42，解得t＝3．
故答案为：83或3．
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘米，BC＝6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）求出发2秒后，PQ的长；
（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．
【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t；
②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12，易求得t；
③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，
BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，
∵∠B＝90°，
PQ=BQ2+BP2=213（cm）；
（2）解：分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1所示：
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝5，
∴BC+CQ＝11，
∴t＝11÷2＝5.5秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示：
则BC+CQ＝12
∴t＝12÷2＝6秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE=AB⋅BCAC=6×810=4.8（cm）
∴CE=BC2-BE2=3.6cm，
∴CQ＝2CE＝7.2cm，
∴BC+CQ＝13.2cm，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
【分析】（1）利用勾股定理AC＝8cm和PB＝210cm，所以求出了三角形的周长．
（2）利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案．
（3）利用分类讨论的思想和周长的定义求出了答案．
【解答】
解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm
∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．
∵∠C＝90°，
∴有勾股定理得PB＝210cm
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+210=（16+210）cm；
（2）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
若P在AB边上时，有两种情况：
①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，
所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；
②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，
根据勾股定理求得BP＝7.2cm，
所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，
∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；
③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC
∴PA＝PB＝5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．
∴t＝6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形；
（3）当P点在AC上，Q在AB上，则AP＝8﹣t，AQ＝16﹣2t，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴8﹣t+16﹣2t＝12，
∴t＝4；
当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣8，AQ＝2t﹣16，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t﹣8+2t﹣16＝12，
∴t＝12，
∴当t为4或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
【分析】（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．
（2）因为AB与CB，由勾股定理得AC＝4 因为AB为5cm，所以必须使AC＝CB，或CB＝AB，所以必须使AC或AB等于3，有两种情况，△BCP为等腰三角形．
（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，t+2t﹣3＝6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，t﹣4+2t﹣8＝6．
【解答】解：（1）如图1，由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP＝2，
∵∠C＝90°，
∴PB=22+32=13（cm），
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝2+5+13=（7+13）cm．
（2）①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm，
此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，有三种情况：
i）如图3，若使BP＝CB＝3cm，此时AP＝2cm，P运动的路程为2+4＝6cm，
所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
ii）如图4，若CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，
作CD⊥AB于点D，
在Rt△PCD中，PD=PC2-CD2=32-2.42=1.8（cm），
所以BP＝2PD＝3.6cm，
所以P运动的路程为9﹣3.6＝5.4cm，
则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；
ⅲ）如图5，若BP＝CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5＝6.5cm
则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；
综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形
（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t+2t﹣3＝3，
∴t＝2；
如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t﹣4+2t﹣8＝6，
∴t＝6，
∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
题型四 角平分线+垂直=构造等腰三角形
1．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC=12S△ABC；
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，
∠ABP=∠EBPBP=BP∠APB=∠EPB，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC=12S△ABC=12×12＝6，
故选：C．
2．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2
【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC=12S△ABC，代入求出即可．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，∠ABP=∠EBPPB=PB∠APB=∠EPB，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC=12S△ABC=12×9cm2＝4.5cm2，
故选：C．
3．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠BPE＝90°，
在△APB和△EPB中
∠APB=∠EPBBP=BP∠ABP=∠EBP，
∴△APB≌△EPB（ASA），
∴S△APB＝S△EPB，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE=12S△ABC＝4cm2，
故选：C．
4．如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】延长BD交AC于E，如图，利用CD平分∠ACB，BD⊥CD先判断△BCE为等腰三角形得到DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，再证明EA＝EB＝2，然后计算AE+CE即可．
【解答】解：延长BD交AC于E，如图，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴△BCE为等腰三角形，
∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，
∵∠A＝∠ABD，
∴EA＝EB＝2，
∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．
故选：A．
5．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．22 D．4
【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据AC＝5，BC＝3，即可推出BD的长度．
【解答】解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A＝∠ABD，
∴BE＝AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∴∠EBC＝∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC＝CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD＝BE，
∵AC＝5，BC＝3，
∴CE＝3，
∴AE＝AC﹣EC＝5﹣3＝2，
∴BE＝2，
∴BD＝1．
故选：A．
6．如图，在△ABC中，AD平分∠CAB交BC于点E．若∠BDA＝90°，E是AD中点，DE＝2，AB＝5，则AC的长为（ ）
A．1 B．43 C．32 D．53
【分析】延长AC、BD交于点F，过点D作DG∥AF交BC于G，证明△DGE≌△ACE（AAS），得出DG＝AC，证出∠F＝∠ABD，得出AF＝AB＝5，BD＝FD，证明DG是△BCF的中位线，得出CF＝2DG，得出AF＝AC+CF＝3DG＝3AC，即可得出答案．
【解答】解：延长AC、BD交于点F，过点D作DG∥AF交BC于G，如图所示：
则∠DGE＝∠ACE，
∵E是AD中点，
∴DE＝AE，
在△DGE和△ACE中，∠DGE=∠ACE∠DEG=∠AECDE=AE，
∴△DGE≌△ACE（AAS），
∴DG＝AC，
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD＝∠FAD，
∵∠BDA＝90°，
∴AD⊥BF，∠FDA＝90°，
∴∠F＝∠ABD，
∴AF＝AB＝5，
∴BD＝FD，
∵DG∥AF，
∴DG是△BCF的中位线，
∴CF＝2DG，
∴AF＝AC+CF＝3DG＝3AC，
∴AC＝DG=13AF=53；
故选：D．
7．如图，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于E，BC＝6，AC＝4，△ABC的面积是9，则△AEC的面积是 3 ．
【分析】延长AE交BC于F，根据全等三角形的性质得到CF＝AC＝4，得到BF＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：延长AE交BC于F，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠FCE，
∵AE⊥CD于E，
∴∠AEC＝∠CEF＝90°，
∵CE＝CE，
∴△ACE≌△FCE（ASA），
∴CF＝AC＝4，
∵BC＝6，
∴BF＝2，
∵△ABC的面积是9，
∴S△ACF＝9×23=6，
∴△AEC的面积=12S△ACF＝3，
故答案为：3．
8．如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是 12cm2 ．
【分析】延长AP交BC于点E，由角平分线的定义可知∠ABP＝∠EBP，结合BP＝BP以及∠APB＝∠EPB＝90°即可证出△ABP≌△EBP（ASA），进而可得出AP＝EP，根据三角形的面积即可得出S△APC＝SEPC，再根据S△PBC＝S△BPE+SEPC=12S△ABC即可得出结论．
【解答】解：延长AP交BC于点E，如图所示．
∵AP垂直∠B的平分线BP于点P，
∴∠ABP＝∠EBP．
在△ABP和△EBP中，∠ABP=∠EBPBP=BP∠APB=∠EPB=90°，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝EP．
∵△APC和△EPC等底同高，
∴S△APC＝S△EPC，
∴S△PBC＝S△BPE+S△EPC=12S△ABC=12cm2．
故答案为：12cm2．
9．如图，△PBC的面积为4cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△ABC的面积为 8 cm2．
【分析】延长AP交BC于点Q，则由条件可知S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，则阴影部分面积为△ABC的一半，可得出答案．
【解答】解：如图，延长AP交BC于点Q，
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P，
∴AP＝QP，
∴S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，
∴S△ABC＝2S阴影＝8（cm2），
故答案为：8．
10．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，求线段DE的长．
【分析】求出∠CAD＝∠BAD＝∠EDA，推出AE＝DE，求出∠ABD＝∠EDB，推出BE＝DE，求出AE＝BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∵AB＝5，
∴DE＝BE＝AE=12AB＝2.5．
2.4 等腰三角形判定定理
知识点梳理
等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
题型梳理
题型一 边、角证明等腰三角形
1．如图，在ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F，FD∥AC交BC于点D．求证：△AEF是等腰三角形．
2．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
3．如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF．求证：△ABC为等腰三角形．
4．在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于F．
（1）若∠BAC＝120°，求∠BAD的度数．
（2）求证：△ADF是等腰三角形．
5．已知：如图，AB＝AC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形．
6．已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：△ABC是等腰三角形．
题型二 构造等腰三角形（作圆、作中垂线）
1．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
2．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
3．如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（ ）
A．7个 B．6个 C．4个 D．3个
4．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
5．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的点C有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
6．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
7．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，若C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为一腰的等腰三角形时，点C的个数是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．7
9．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，则以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，等腰△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有（ ）
A．12个 B．11个 C．10个 D．9个
11．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有 个．
12．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有 个．（在图上作出点P的位置）
13．如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x+2，点P是边OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的取值范围是 ．
14．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有 个．
15．已知点A（2，m），点P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，则m＝ ．
16．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 个．
17．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），若点P在坐标轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P有 个．
题型三 等腰三角形与动点题型
1．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝ s时，△POQ是等腰三角形．
2．如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜4）．当t＝ 时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形．
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘米，BC＝6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）求出发2秒后，PQ的长；
（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．
4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
题型四 角平分线+垂直=构造等腰三角形
1．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
2．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2
3．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2
4．如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．22 D．4
6．如图，在△ABC中，AD平分∠CAB交BC于点E．若∠BDA＝90°，E是AD中点，DE＝2，AB＝5，则AC的长为（ ）
A．1 B．43 C．32 D．53
7．如图，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于E，BC＝6，AC＝4，△ABC的面积是9，则△AEC的面积是 ．
8．如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是 ．
9．如图，△PBC的面积为4cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△ABC的面积为 cm2．
10．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，求线段DE的长．
答案与解析
题型一 边、角证明等腰三角形
1．如图，在ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F，FD∥AC交BC于点D．求证：△AEF是等腰三角形．
【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠C，再根据EP⊥BC，从而得出∠E＝∠PED，再根据对顶角相等得出∠E＝∠AFE，最后根据等角对等边即可得出答案．
【解答】证明：∵FD∥AC
∴∠PFD＝∠E，∠FDB＝∠C，
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠E+∠C＝90°，
∠B+∠BFP＝90°，
∴∠E＝∠BFP，
∵∠BFP＝∠AFE，
∴∠E＝∠AFE，
∴AE＝AF即△AEF是等腰三角形．
2．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．
（2）根据等腰三角形的判定解答即可．
【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，
∴DF＝EF，
∵BD＝CE，
∴BF＝CF，
∴AB＝AC．
（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，
∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，
3．如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF．求证：△ABC为等腰三角形．
【分析】欲证明AB＝AC，只要证明∠ABC＝∠ACB即可；
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BE=CFBD=CD
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠EBD＝∠FCD，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴∠DBC+∠EBD＝∠DCB+∠FCD，
即∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
4．在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于F．
（1）若∠BAC＝120°，求∠BAD的度数．
（2）求证：△ADF是等腰三角形．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°；
（2）根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB，从而可推出AD＝DF．
【解答】（1）解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°；
（2）证明：∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE，
∴∠DAF＝∠F，
∴AD＝DF，
∴△ADF是等腰三角形．
5．已知：如图，AB＝AC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形．
【分析】要证明△DBE是等腰三角形，主要利用等腰三角形的判定定理和性质定理，而DE∥AC，容易得到角的关系．
【解答】证明：∵DE∥AC，
∴∠C＝∠DEB．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∴∠B＝∠DEB．
∴△DBE是等腰三角形．
6．已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：△ABC是等腰三角形．
【分析】由∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据三角形外角的性质，易证得∠B＝∠C，然后由等角对等边，证得：△ABC是等腰三角形．
【解答】证明：∵∠B＝∠3﹣∠1，∠C＝∠4﹣∠2，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形．
题型二 构造等腰三角形（作圆、作中垂线）
1．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，作线段AB的垂直平分线，即可得出点C的位置．
【解答】解：如图所示，以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3、C8、C7即为点C的位置；
以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C6、C4、C5即为点C的位置；
作线段AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点．
故以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个．
故选：B．
2．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
【解答】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；
∴这样的顶点C有8个．
故选：A．
3．如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（ ）
A．7个 B．6个 C．4个 D．3个
【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，作线段AB的垂直平分线，即可得出第三个顶点的位置．
【解答】解：如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7即为第三个顶点的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线未经过网格中的格点．
故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7个．
故选：A．
4．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
5．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的点C有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【分析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．
【解答】解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；
②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．
所以符合条件的点C共有9个．
故选：D．
6．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有6个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：D．
7．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论．
【解答】解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA＝AP；
第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB＝PB；
第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝PB；
第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB＝PA；
第5个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝AP；
第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA＝∠PAB；
∴符合条件的点P有6个点．
故选：B．
8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，若C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为一腰的等腰三角形时，点C的个数是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．7
【分析】根据AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，
【解答】解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
9．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，则以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由勾股定理求出AB=32+12=10，分三种情况讨论：①当A为顶角顶点时；②当B为顶角顶点时；③当C为顶角顶点时；即可得出结果．
【解答】解：由勾股定理得：AB=32+12=10，
分三种情况：如图所示：
①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有1个；
②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有2个；
③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有1个；
综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1+2+1＝4（个）；
故选：C．
10．如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，等腰△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有（ ）
A．12个 B．11个 C．10个 D．9个
【分析】分别以A、B、C为顶点，分类三种情况：当AC＝BC时；当AB＝AC时；当AB＝BC，画出图形得出答案即可．
【解答】解：如图：
符合条件的点C一共有10个．
故选：C．
11．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有 9 个．
【分析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．
【解答】解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；
②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．
所以符合条件的点C共有9个．
12．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有 6 个．（在图上作出点P的位置）
【分析】本题是开放性试题，根据题意，画出图形结合求解．
【解答】解：如图，第1个点在AC上，作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，则有PA＝PB；
第2个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP＝AB，交AC延长线上于点P；
第3个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP＝AB，在上边于CA延长线上交于点P；
第4个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP＝BA，与AC的延长线交于点P；
第5个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP＝BA，与BC在左边交于点P；
第6个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP＝AB，与BC在右边交于点P；
故符合条件的点P有6个点．
故答案为：6．
13．如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x+2，点P是边OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的取值范围是 22-2≤x≤2或x＝22或x=3-1 ．
【分析】考虑四种特殊位置，求出x的值即可解决问题；
【解答】解：如图1中，当△P2MN是等边三角形时满足条件，作P2H⊥OA于H．
在Rt△P2HN中，P2H=3NH=3，
∵∠O＝∠HP2O＝45°，
∴OH＝HP2=3，
∴x＝OM＝OH﹣MH=3-1．
如图2中，当⊙M与OB相切于P1，MP1＝MN＝2时，x＝OM＝22，此时满足条件；
如图3中，如图当⊙M经过点O时，x＝OM＝2，此时满足条件的点P有2个．
如图4中，当⊙N与OB相切于P1时，x＝OM＝22-2，
观察图3和图4可知：当22-2＜x≤2时，满足条件，
综上所述，满足条件的x的值为：22-2＜x≤2或x＝22或x=3-1，
故答案为22-2＜x≤2或x＝22或x=3-1．
14．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有 8 个．
【分析】分AB为腰和底两种情况进行讨论，画出图形，即可找出点C的个数．
【解答】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；
∴这样的顶点C有8个．
故答案为：8．
15．已知点A（2，m），点P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，则m＝ 0或±233 ．
【分析】由于当OP＝OA时，这样的P点一定有2个，易得PO＝PA不存在，AP＝AO也不存在，这时才满足符合条件的点P恰好有2个，从而得到m＝0，当当OA与x轴的正半轴的夹角为30°时，这样的P点一定有2个，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到m的值．
【解答】解：当OP＝OA时，这样的P点一定有2个，
所以PO＝PA不存在，
AP＝AO也不存在，
所以A点在x轴上，此时m＝0．
当OA与x轴的正半轴的夹角为30°时，这样的P点一定有2个，
此时|m|=33×2，即m＝±233
故答案为0或±233．
16．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 8 个．
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
【解答】解：如图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故答案为：8．
17．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），若点P在坐标轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P有 8 个．
【分析】连接AB，AB边可能是底边，也可能是腰，得到的等腰三角形共有8个．
【解答】解：如图所示：
①以B为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有2点，交x轴有1点（点A除外），此时共3个点；
②以A为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有1点（点B除外），交x轴有2点，此时共3个点，
③以AB为底的三角形有2个，点P在AB的垂直平分线上，分别交x轴、y轴各1个点，此时共2个点；
3+3+2＝8，
因此，满足条件的点P有8个，
故答案为：8．
题型三 等腰三角形与动点题型
1．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝ 4或12 s时，△POQ是等腰三角形．
【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．
【解答】解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，
设t时后△POQ是等腰三角形，
有OP＝OC﹣CP＝OQ，
即12﹣2t＝t，
解得，t＝4s；
（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，
当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴OP＝OQ，
即2（t﹣6）＝t，
解得，t＝12s
故答案为4s或12s．
2．如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜4）．当t＝ 83或3 时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形．
【分析】连接PB，过点Q作QE⊥CD，分两种情况：①PQ＝PB，根据“HL”可得△PEQ≌△PCB，再利用PD+PC＝8列出方程可得t；②PQ＝QB，根据勾股定理列方程可得解．
【解答】解：连接PB，过点Q作QE⊥CD，
若△PQB是以PQ为腰的等腰三角形，则有两种情况：
①当PQ＝PB时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝EQ，
∴△PEQ≌△PCB（HL），
∴PE＝PC．
由题意得：PD＝2t，AQ＝t，
四边形ADEQ是矩形，
∴PE＝2t﹣t＝t，PC＝t，
∵PD+PC＝8，
∴2t+t＝8，解得t=83．
②当PQ＝QB时，
PQ＝QB＝8﹣t，
Rt△PQE中，PQ＝8﹣t，PE＝t，EQ＝4，
∴（8﹣t）2＝t2+42，解得t＝3．
故答案为：83或3．
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘米，BC＝6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）求出发2秒后，PQ的长；
（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．
【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t；
②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12，易求得t；
③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，
BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，
∵∠B＝90°，
PQ=BQ2+BP2=213（cm）；
（2）解：分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1所示：
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝5，
∴BC+CQ＝11，
∴t＝11÷2＝5.5秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示：
则BC+CQ＝12
∴t＝12÷2＝6秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE=AB⋅BCAC=6×810=4.8（cm）
∴CE=BC2-BE2=3.6cm，
∴CQ＝2CE＝7.2cm，
∴BC+CQ＝13.2cm，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
【分析】（1）利用勾股定理AC＝8cm和PB＝210cm，所以求出了三角形的周长．
（2）利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案．
（3）利用分类讨论的思想和周长的定义求出了答案．
【解答】
解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm
∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．
∵∠C＝90°，
∴有勾股定理得PB＝210cm
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+210=（16+210）cm；
（2）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
若P在AB边上时，有两种情况：
①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，
所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；
②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，
根据勾股定理求得BP＝7.2cm，
所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，
∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；
③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC
∴PA＝PB＝5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．
∴t＝6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形；
（3）当P点在AC上，Q在AB上，则AP＝8﹣t，AQ＝16﹣2t，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴8﹣t+16﹣2t＝12，
∴t＝4；
当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣8，AQ＝2t﹣16，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t﹣8+2t﹣16＝12，
∴t＝12，
∴当t为4或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
【分析】（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．
（2）因为AB与CB，由勾股定理得AC＝4 因为AB为5cm，所以必须使AC＝CB，或CB＝AB，所以必须使AC或AB等于3，有两种情况，△BCP为等腰三角形．
（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，t+2t﹣3＝6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，t﹣4+2t﹣8＝6．
【解答】解：（1）如图1，由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP＝2，
∵∠C＝90°，
∴PB=22+32=13（cm），
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝2+5+13=（7+13）cm．
（2）①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm，
此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，有三种情况：
i）如图3，若使BP＝CB＝3cm，此时AP＝2cm，P运动的路程为2+4＝6cm，
所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
ii）如图4，若CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，
作CD⊥AB于点D，
在Rt△PCD中，PD=PC2-CD2=32-2.42=1.8（cm），
所以BP＝2PD＝3.6cm，
所以P运动的路程为9﹣3.6＝5.4cm，
则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；
ⅲ）如图5，若BP＝CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5＝6.5cm
则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；
综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形
（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t+2t﹣3＝3，
∴t＝2；
如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t﹣4+2t﹣8＝6，
∴t＝6，
∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
题型四 角平分线+垂直=构造等腰三角形
1．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC=12S△ABC；
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，
∠ABP=∠EBPBP=BP∠APB=∠EPB，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC=12S△ABC=12×12＝6，
故选：C．
2．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2
【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC=12S△ABC，代入求出即可．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，∠ABP=∠EBPPB=PB∠APB=∠EPB，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC=12S△ABC=12×9cm2＝4.5cm2，
故选：C．
3．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠BPE＝90°，
在△APB和△EPB中
∠APB=∠EPBBP=BP∠ABP=∠EBP，
∴△APB≌△EPB（ASA），
∴S△APB＝S△EPB，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE=12S△ABC＝4cm2，
故选：C．
4．如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】延长BD交AC于E，如图，利用CD平分∠ACB，BD⊥CD先判断△BCE为等腰三角形得到DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，再证明EA＝EB＝2，然后计算AE+CE即可．
【解答】解：延长BD交AC于E，如图，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴△BCE为等腰三角形，
∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，
∵∠A＝∠ABD，
∴EA＝EB＝2，
∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．
故选：A．
5．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．22 D．4
【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据AC＝5，BC＝3，即可推出BD的长度．
【解答】解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A＝∠ABD，
∴BE＝AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∴∠EBC＝∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC＝CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD＝BE，
∵AC＝5，BC＝3，
∴CE＝3，
∴AE＝AC﹣EC＝5﹣3＝2，
∴BE＝2，
∴BD＝1．
故选：A．
6．如图，在△ABC中，AD平分∠CAB交BC于点E．若∠BDA＝90°，E是AD中点，DE＝2，AB＝5，则AC的长为（ ）
A．1 B．43 C．32 D．53
【分析】延长AC、BD交于点F，过点D作DG∥AF交BC于G，证明△DGE≌△ACE（AAS），得出DG＝AC，证出∠F＝∠ABD，得出AF＝AB＝5，BD＝FD，证明DG是△BCF的中位线，得出CF＝2DG，得出AF＝AC+CF＝3DG＝3AC，即可得出答案．
【解答】解：延长AC、BD交于点F，过点D作DG∥AF交BC于G，如图所示：
则∠DGE＝∠ACE，
∵E是AD中点，
∴DE＝AE，
在△DGE和△ACE中，∠DGE=∠ACE∠DEG=∠AECDE=AE，
∴△DGE≌△ACE（AAS），
∴DG＝AC，
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD＝∠FAD，
∵∠BDA＝90°，
∴AD⊥BF，∠FDA＝90°，
∴∠F＝∠ABD，
∴AF＝AB＝5，
∴BD＝FD，
∵DG∥AF，
∴DG是△BCF的中位线，
∴CF＝2DG，
∴AF＝AC+CF＝3DG＝3AC，
∴AC＝DG=13AF=53；
故选：D．
7．如图，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于E，BC＝6，AC＝4，△ABC的面积是9，则△AEC的面积是 3 ．
【分析】延长AE交BC于F，根据全等三角形的性质得到CF＝AC＝4，得到BF＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：延长AE交BC于F，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠FCE，
∵AE⊥CD于E，
∴∠AEC＝∠CEF＝90°，
∵CE＝CE，
∴△ACE≌△FCE（ASA），
∴CF＝AC＝4，
∵BC＝6，
∴BF＝2，
∵△ABC的面积是9，
∴S△ACF＝9×23=6，
∴△AEC的面积=12S△ACF＝3，
故答案为：3．
8．如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是 12cm2 ．
【分析】延长AP交BC于点E，由角平分线的定义可知∠ABP＝∠EBP，结合BP＝BP以及∠APB＝∠EPB＝90°即可证出△ABP≌△EBP（ASA），进而可得出AP＝EP，根据三角形的面积即可得出S△APC＝SEPC，再根据S△PBC＝S△BPE+SEPC=12S△ABC即可得出结论．
【解答】解：延长AP交BC于点E，如图所示．
∵AP垂直∠B的平分线BP于点P，
∴∠ABP＝∠EBP．
在△ABP和△EBP中，∠ABP=∠EBPBP=BP∠APB=∠EPB=90°，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝EP．
∵△APC和△EPC等底同高，
∴S△APC＝S△EPC，
∴S△PBC＝S△BPE+S△EPC=12S△ABC=12cm2．
故答案为：12cm2．
9．如图，△PBC的面积为4cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△ABC的面积为 8 cm2．
【分析】延长AP交BC于点Q，则由条件可知S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，则阴影部分面积为△ABC的一半，可得出答案．
【解答】解：如图，延长AP交BC于点Q，
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P，
∴AP＝QP，
∴S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，
∴S△ABC＝2S阴影＝8（cm2），
故答案为：8．
10．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，求线段DE的长．
【分析】求出∠CAD＝∠BAD＝∠EDA，推出AE＝DE，求出∠ABD＝∠EDB，推出BE＝DE，求出AE＝BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∵AB＝5，
∴DE＝BE＝AE=12AB＝2.5．
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