数学5.2 任意角的三角函数精品表格教案

这是一份数学5.2 任意角的三角函数精品表格教案，共15页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学方法，教学过程等内容，欢迎下载使用。

1. 理解并掌握任意角三角函数的定义；熟记其在各象限的符号；掌握三角函数线的定义及画法．
2．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．
【教学重点】
任意角三角函数的定义．
【教学难点】
单位圆及三角函数线．
【教学方法】
本节课主要采用启发引导与讲练结合的教学方法．在复习锐角三角函数定义的基础上，定义了任意角的三角函数，讲练结合，使学生牢固掌握．然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导出三角函数在各象限的符号，接着把正弦值、余弦值、正切值转化为单位圆中的有向线段表示，使数与形密切结合起来，以加强学生对三角函数定义的理解．
【教学过程】
同角三角函数的基本关系式
【教学目标】
1. 理解并掌握同角三角函数的基本关系式，会运用公式求值，化简，证明．
2. 通过教学，培养学生用方程（组）解决问题的方法，培养学生分析问题，解决问题的能力．
3. 通过学习，揭示事物间普遍联系的辨证唯物主义思想．
【教学重点】
同角三角函数的基本关系式的推导及应用（求值、化简、恒等式证明）．
【教学难点】
同角三角函数的基本关系式在解题中的灵活运用．
【教学方法】
本节主要采用讲练结合的方法．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用．课堂中，充分发挥学生的主体作用，让学生自主探究问题并解决问题，使学生熟练用方程（组）解决问题的方法．
【教学过程】

5.2.3 诱导公式
【教学目标】
1. 理解并掌握诱导公式，会求任意角的三角函数值与证明简单的三角恒等式；
2. 了解对称变换思想在数学问题中的应用；
3. 通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．
【教学重点】
利用诱导公式进行三角函数式的求值、化简．
【教学难点】
诱导公式(一)、（二）、（三）的推导．
【教学方法】
本节课主要采用启发诱导与讲练结合的教学方法，引导学生借助单位圆和三角函数线，充分利用对称的性质，揭示诱导公式与同角公式之间的联系，然后讲练结合，使学生牢固掌握其应用．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
复习锐角三角函数定义．
师：初中时我们学过锐角三角函数，当时是怎样定义的？
以旧引新．
新
课
新
课
新
课
新
课
任意角的三角函数定义．
已知  是任意角，P(x，y)， P(x，y)是角 的终边与两个半径不同的同心圆的交点．
(r＝ EQ \R(,x2+y2) ， r'＝ EQ \R(,x'2+y'2) )
y
P
r
r′ y
y′
O x′ x x
P’
如图所示：
当角  不变时，对于角  的终边上任意一点P（x，y），不论点 P 在角  的终边上的位置如何，三个比值 EQ \F(x,r) ， EQ \F(y,r) ， EQ \F(y,x) 始终等于定值．因此定义：
角  的余弦cs  ＝ EQ \F(x,r) ；
角  的正弦sin  ＝ EQ \F(y,r) ；
角  的正切tan  ＝ EQ \F(y,x) ．
依照上述定义，对于每一个确定的角 ，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值、正切值与之对应，所以这三个对应关系都是以角  为自变量的函数，分别叫做角  的余弦函数、正弦函数和正切函数．
三角函数求值．
根据三角函数定义，可得计算三角函数值的步骤：
S1 画角：在直角坐标系中，作转角等于α；
S2 找点：在角α的终边上任找一点P，使OP＝1，并量出该点的纵坐标和横坐标；
S3 求值：根据相应三角函数的定义，求该角的三角函数值．
例1 已知角  终边上一点 P(2，－3)，求角 的三个三角函数值．
解 已知点 P（2，－3），则
r＝OP＝ EQ \R(,22＋（－3）2) ＝ EQ \R(,13) ，
由三角函数的定义，得
sin  ＝ EQ \F(y,r) ＝ EQ \F(－3, EQ \R(,13) ) ＝－ EQ \F(3 EQ \R(,13) ,13) ；
cs  ＝ EQ \F(x,r) ＝ EQ \F(2, EQ \R(,13) ) ＝；
tan  ＝ EQ \F(y,x) ＝－ EQ \F(3,2) ；
练习1 教材P138，练习A组第1、4、5题．
例2 试确定三角函数在各象限的符号．
解 由三角函数的定义可知，
sin ＝ EQ \F(y,r) ，角  终边上点的纵坐标 y 的正、负与角  的正弦值同号；
cs ＝ EQ \F(x,r) ，角  终边上点的横坐标 x 的正、负与角  的余弦值同号；
由tan  ＝ EQ \F(y,x) ，则当 x 与 y 同号时，正切值为正，当 x 与 y 异号时，正切值为负．
O
x
y
＋
＋
－
－
sin α
O
x
y
＋
－
＋
－
cs α
O
x
y
＋
－
－
＋
tan α
三角函数在各象限的符号如下图所示：
练习2 确定下列各三角函数值的符号：
(1)sin(－ EQ \F(π,4) )；(2)cs 130；(3)tan EQ \F(4π,3) ．
例3 使用函数型计算器，计算下列三角函数值：
(1)sin， cs372， tan (－86)；
(2) sin1.2， cs EQ \F(3π,4) ， tan EQ \F(5π,6) ．
解 略．
3. 单位圆与三角函数线．
如图，以原点为圆心，半径为1的圆称作单位圆．
O M x
 A(1，0)
1 P(cs ，sin )
y
设角  的终边与单位圆的交点为P(x，y)，过点P作PM垂直于x轴，则 sin ＝y，cs ＝x，
即 P(cs ，sin )．
cs ＝x＝OM；sin ＝y＝MP．
于是我们把规定了方向的线段OM，MP分别称作角的余弦线、正弦线．
练习3（1） 在直角坐标系的单位圆中，分别画出 EQ \F(π,3) 和－ EQ \F(2 π,3) 的正弦线、余弦线．
设单位圆在点A的切线与角的终边或其反向延长线相交于点 T ( T  ) ，则
tan ＝ EQ \F(y,x) ＝ EQ \F(AT,OA) ＝AT ( AT )，
所以AT ( AT )称作角α的正切线．
练习3 （2） 在直角坐标系的单位圆中，分别画出 EQ \F(π,3) 和－ EQ \F(2 π,3) 的正切线．
问题1：当我们把锐角的概念推广为转角后，我们如何定义任意角的三角函数呢？
如左图所示，由相似三角形对应边成比例得， EQ \F(x ,r) ＝ EQ \F(x',r') ， EQ \F(y ,r) ＝ EQ \F(y',r') ， EQ \F(y ,x) ＝ EQ \F(y',x') .
由于点P，P' 在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，
因此， EQ \F(x,r) ＝ EQ \F(x',r') ， EQ \F(y,r) ＝ EQ \F(y',r') ， EQ \F(y,x) ＝ EQ \F(y',x') ，
所以三个比值 EQ \F(x,r) ， EQ \F(y,r) ， EQ \F(y,x) 只依赖于  的大小，与点 P 在  终边上的位置无关．
教师引领学生识记三角函数定义．
依据函数定义说明角  与三角函数值的对应关系．
练习：在直角坐标系中，画出半径为１的圆，求出30°，38°，128°等角的正弦、余弦和正切的值.
在例1中强调：
（１）P为角α的终边上任意一点；
（２）求三角函数值时用到的三个量x，y，r以及三者的关系；
教师可通过教材P138 练习A组第1题中的练习让学生自己总结出三角函数在各象限的符号．
根据三角函数的定义，及各象限内点的坐标的符号得出三角函数在各象限的符号，教师总结口诀，帮助学生记忆：
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，
Ⅲ正切，Ⅳ余弦．
练习2也可以用计算器直接求出三角函数值，然后确定符号．
师：在任意角三角函数的定义中，当角  的终边上一点 P（x，y）的坐标满足r＝ EQ \R(,x2+y2) ＝1时，三角函数的正弦、余弦会变成什么样呢？
看着图示，结合三角函数定义讲解正弦线、余弦线、正切线的由来．
学生自己动手，熟悉正弦线，余弦线的画法．
学生自己动手，熟悉当角在不同象限时正切线的画法．
说明三角函数定义的理论根据．
通过学生自己动手测量,加深学生对三角函数定义的理解,并为学习单位圆做铺垫.
强调这几点为练习B组第1、2、3做铺垫.
通过练习1，熟练已知角的终边上一点求三角函数值的步骤．
由练习中的具体题目到例2的理论分析，由特殊到一般加深学生对三角函数符号的理解.
学生理解正切线难度较大，教师要详细讲解各个象限内的角的正切线的做法.
小
结
回忆本节课所学知识点：
(1)任意角三角函数的定义（代数表示）．
(2)任意角三角函数值的求法（两种方法）．
(3)任意角三角函数值的符号（记住口诀）．
(4)任意角三角函数的几何表示（三角函数线）．
让学生叙述本节所学知识点以及典型例题及解题步骤．
梳理知识脉络．
作
业
教材 P 138，练习A 组，练习B 组．
本节教材内容颇多，教师可根据当堂内容布置相应作业．
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习
导
入
O cs  x
P(cs ，sin )
y
sin 
1
复习三角函数定义、单位圆和三角函数线、勾股定理．
教师提出问题，学生回答．
推出
sin2＋cs2＝1
EQ \F(sin ,cs ) ＝tan 
这两个基本关系式．
新
课
在单位圆中，由三角函数的定义和勾股定理，可得同角三角函数的基本关系式：
sin2 ＋cs2＝1；
EQ \F(sin ,cs ) ＝tan  ．

师讲解：
1．sin2，cs2 的读法、写法．
2．让学生验证30°，45°，60°的正弦，余弦，正切值满足两个关系式．
3．“同角”的概念与角的表达形式无关，如：sin2 β＋cs2 EQ β＝1．
4．同角的意义：一是“角相同”；
二是“任意一个角”．
初步认识和记忆两个关系式，理解“同角”的含义．
应

用
举
例
应

用
举
例
当我们知道一个角的某一三角函数值时，利用这两个关系式和三角函数定义，就可求出这个角的另外几个三角函数值．此外，还可用它们化简三角函数式和证明三角恒等式．
同角三角函数的基本关系式应用之一：
求值．
例1 已知sin ＝ EQ \F(4,5) ，且  是第二象限的
角，求  的余弦和正切值．
解 由 sin2＋cs2＝1，得
cs ＝± EQ \R(,1－sin2) ．
因为 是第二象限角，cs ＜0,
所以 cs ＝－ EQ \R(,1－( EQ \F(4,5))2) ＝－ EQ \F(3,5) ，
tan ＝ EQ \F(sin ,cs ) ＝ EQ \F( EQ \F(4,5) ,－ EQ \F(3,5) ) ＝－ EQ \F(4,3) ．
例2 已知 tan ＝－ EQ EQ \R(,5) ，且  是第二象
限角，求 的正弦和余弦值．
解 由题意得
EQ sin2 ＋cs2 ＝1， ①
EQ \F(sin ,cs ) ＝－ EQ EQ \R(,5) ． ②
由②，得sin ＝－ EQ \R(,5) cs  ，代入①式得
6 cs2＝1，
cs2＝ EQ \F(1,6) ．
因为 是第二象限角，
所以 cs ＝－ EQ \F( EQ \R(,6) ,6) ，代入③式得
sin α＝－ EQ EQ \R(,5) cs α
＝－ EQ EQ \R(,5) ×(－ EQ \F( EQ \R(,6) ,6) )
＝ EQ \F( EQ \R(,30) ,6) ．
同角三角函数的基本关系式应用之二：
化简．
例3 化简： EQ \F(sin θ－cs θ,tan θ－1) ．
解 原式＝ EQ \F(sinθ－cs θ, EQ \F(sin θ,cs θ) －1) ＝ EQ \F(sinθ－cs θ, EQ \F(sin θ－cs θ,cs θ) )
＝csθ．
同角三角函数的基本关系式应用之三：
证明．
例4 求证：
（1） sin4 －cs4 ＝2 sin2－1；
（2） tan2 －sin2＝tan2 sin2；
（3） EQ \F(cs x, 1－sin x) ＝ EQ \F(1＋sin x, cs x) ．
证明：
（1）原式左边＝(sin2＋cs2)(sin2－cs2)
＝sin2－cs2
＝sin2－(1－sin2)
＝2 sin2－1
＝右边．
因此sin4 －cs4 ＝2 sin2 －1．
（2）原式右边＝tan2  (1－cs2 )
＝tan2 －tan2 α cs2 
＝tan2 － EQ \F(sin2 ,cs2 ) cs2 
＝tan2 －sin2 
＝左边．
因此 tan2 －sin2  ＝tan2  sin2 ．
（3）证法1：
因为 EQ \F(cs x,1－sin x)－ EQ \F(1＋sin x, cs x)
＝ EQ \F( cs2 x－(1－sin x)2,(1－sin x)cs x)
＝ EQ \F( cs2 x－cs2 x,(1－sin x)cs x)
＝0．
所以 EQ \F(cs x, 1－sin x) ＝ EQ \F(1＋sin x, cs x) ．
证法2：因为 左边＝ EQ \F(cs x,1－sin x) · EQ \F(cs x,cs x)
＝ EQ \F(cs2 x,(1－sin x)cs x)；
右边＝ EQ \F(1＋sin x, cs x) · EQ \F(1－sin x,1－sin x)
＝ EQ \F(cs2 x,(1－sin x) cs x)．
所以 左边＝右边．
即原等式成立．
例1鼓励学生自己解决，教师只在开方时点拨符号问题．
练习：教材 P141，练习A组第1（2）（3）题．
小结步骤：已知正弦（或余弦）求余弦（或正弦）求正切．
例2可在教师的引导下解决，带领学生详细解方程组．
练习：教材P141，练习A组第1（4）题．
小结步骤：知正切求余弦（或正弦）．
师：求值题目总结
1．注意同角三角函数的基本关系式的变形应用．
2．已知sin ，cs ，tan中的任意一个，可以用方程（组）求出其余的两个．
教师小结化简方法：
把切函数化为弦函数．
练习：教材P142，练习A组第 2题，练习B组第1题．
教师提示：证明恒等式一般从繁到简，从高次到低次．从左向右，或从右向左，或从两头向中间来证明．
可让学生自己先独立探索证明思路，再小组讨论．教师在证明思路和解题格式上给予指导．
由学生完成证明，展示不同证法，分析优劣．
对（3）作分析：
思路1：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零．
思路2：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果．
练习：教材P 142，练习A组第3题，练习B组第2题．
多练几个类似例题的题目，使学生熟练两个基本关系式的应用和用方程求值的方法．
灵活应用公式，加快运算速度．为下面运用公式化简和证明做好知识铺垫．
通过讨论探究，使学生进一步熟练公式的各种变形.培养学生的发散思维，提高综合运用知识分析问题、解决问题的能力．
小
结
1. 同角三角函数的基本关系式
sin2＋cs2＝1，
EQ \F(sin ,cs ) ＝tan ．
2. 求值、化简和证明题目的思路与注意事项．
师生共同总结．
作
业
必做题：
写出同角三角函数的基本关系式，并写出其变形公式．
选做题：
教材P 142，练习B组第3题．
教材课后练习A组已融在新课中．
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
习
导
入
1. 复习三角函数的定义、单位圆与三角函数线．
2. 复习对称点的知识．
1. 教师运用多媒体展示三角函数的定义、单位圆与三角函数线，提问相关问题，学生回答．
2. 师：已知任意角  的终边与单位圆相交于点 P(x，y)，请分别写出点 P 关于 x 轴，y 轴，原点对称的点的坐标．
共同回顾，为新课做准备．
新
课
新
课
新
课
新
课
1．角与＋k·2π（kZ）的三角函数间的关系．
直角坐标系中，与＋k·2π (kZ)的终边相同，由三角函数的定义，它们的三角函数值相等．
公式（一）：
sin(＋k·2π) ＝ sin ；
cs(＋k·2π) ＝ cs  （kZ）；
tan(＋k·2π) ＝ tan ．
例1 求下列各三角函数的值：
(1) sin EQ \F(13 π,2) ；(2) cs EQ \F(19 π,3) ；(3) tan 405．
解 (1)sin EQ \F(13 π,2)＝sin( EQ \F(π,2)＋6 π)
＝sin EQ \F(π,2)＝1；
(2) cs EQ \F(19 π,3)＝cs( EQ \F(π,3)＋6 π)
＝cs EQ \F(π,3) ＝ EQ \F(1,2) ；
(3) tan 405＝tan (45＋360)
＝tan 45＝1．
2. 角 和角－ 的三角函数间的关系．
如图5-17，设单位圆与角和角－的终边的交点分别是点P和点P´．

x
P(x，y)
M
O

P (x，y)
图5-17
容易看出，点 P 与点 P´ 关于 x 轴对称．
已知P(cs ，sin )和
P(cs(－)，sin(－))．
于是，得到
公式（二）：sin（－）＝－sin ；
cs（－）＝ cs ；
tan（－）＝－tan ．
例2 求下列各三角函数的值：
(1) sin (－ EQ \F(π,6) )； (2) cs(－ EQ \F(π,4) )；
(3) tan(－ EQ \F(π,3) )； (4) sin(－ EQ \F(7π,3) )．
解 (1) sin (－ EQ \F(π,6) )＝－sin EQ \F(π,6) ＝－ EQ \F(1,2) ；
(2) cs(－ EQ \F(π,4) )＝ cs EQ \F(π,4) ＝ EQ \F( EQ \R(,2) ,2) ；
(3) tan(－ EQ \F(π,3) )＝－tan EQ \F(π,3) ＝－ EQ \R(,3) ；
(4) sin(－ EQ \F(7π,3) )＝－sin EQ \F(7π,3)
＝－sin( EQ \F(π,3) ＋2π )＝－sin EQ \F(π,3) ＝－ EQ \F( EQ \R(,3) ,2) ．
3.角 与 ±π的三角函数间的关系．
如图5-18，角  与  ±π 的终边与单位圆分别相交于点 P 与点P´，容易看出，点P 与点 P´ 关于原点对称，它们的坐标互为相反数 P( x，y)，P´(－x，－y)，
Ｐ(x，y)
x
y
O

+
P (-x,-y)
-
图5-18
所以得到公式（三）
sin ( ±  ) ＝－sin ；
cs ( ±  ) ＝－cs ；
tan ( ±  ) ＝ tan ．
4.角 与π－ 的三角函数间的关系．
Ｐ
P´
x
y
O


图5-19

如图5-19，角 与π－ 和单位圆分别交于点P与点P´，由P´与点P关于y轴对称，可以得到 与π－ 之间的三角函数关系：
sin(－)＝sin ；
cs(－)＝－cs ．
即 互为补角的两个角正弦值相等，余弦值互为相反数．
例如：sin EQ \F(5π,6) ＝ sin EQ \F(π,6) ＝ EQ \F(1,2) ；
cs EQ \F(3π,4) ＝－cs EQ \F(π,4) ＝－ EQ \F( EQ \R(,2) ,2) ．
例3 求下列各三角函数的值：
(1) sin EQ \F(4π,3) ； (2) cs(－ EQ \F(8π,3) )；
(3) tan(－ EQ \F(10π,3) )； (4) sin 930．
解 略．
例4 求下列各三角函数的值：
(1) sin(－ EQ \F(55π,6) )； (2) cs EQ \F(11π,4) ；
(3) tan(－ EQ \F(14π,3) )； (4) sin870．
解 (1)sin(－ EQ \F(55π,6) )＝－sin( EQ \F(π,6) ＋ 9π )
＝－(－sin EQ \F(π,6) )＝ EQ \F(1,2) ；
(2)cs EQ \F(11π,4) ＝cs(－ EQ \F(π,4) ＋ 3π )＝cs(π－ EQ \F(π,4) )＝－cs EQ \F(π,4) ＝－ EQ \F( EQ \R(,2) ,2) ；
(3)tan(－ EQ \F(14π,3) )＝ tan( EQ \F(π,3) －5π )
＝ tan EQ \F(π,3) ＝ EQ \R(,3) ；
(4)sin870＝sin(－30＋5×180)
＝sin(180－30)＝sin30＝ EQ \F(1,2) ．
例5 化简：
EQ \F(sin(2π－α)tan(α +π)tan(－α－π),cs(π－α)tan(3π－α))
解 EQ \F(sin(2π－α) tan(α +π) tan(－α－π),cs(π－α) tan(3π－α))
＝ EQ \F(sin(－α) tanα tan(－α), －csα tan(－α))
＝ EQ \F(－sinα tanα, －csα)
＝tan2．
师生共同探讨得出公式（一）的结构特征：等号两边是同名函数，且符号都为正．
例1由学生试着完成．
教师在例1结束后小结公式(一)的作用：把任意角的三角函数转化为0~360º之间角的三角函数．
练习：教材P146，练习A组第1（1）（2）题，第2（1）（2）题，第3（1）（2）题．
观察图5-17，教师引导学生回答，点 P´ 与点 P 的位置关系怎样？它们的坐标之间有什么关系？推出诱导公式（二）．
学生独立完成，并交流解题心得．
例2结束后教师小结诱导公式(二)的作用：把任意负角的三角函数转化为正角三角函数．
练习：教材P146，练习A组第1（3）（4）题，第2（3）（4）题，第3（3）（4）题．
教师引导学生观察图5-18，并回答，点 P´ 与点 P 的位置关系怎样？它们的坐标之间有什么关系？推出诱导公式（三）．
学生独立完成，并交流解题心得．
教师在例3结束后小结诱导公式(三)的作用：把任意负角的三角函数转化为正角的三角函数．
教师总结解题步骤：先用诱导公式(二)把负角的三角函数化为正角的三角函数，然后再用诱导公式(三)把它们化为锐角的三角函数来求．进一步强化学生运用公式的灵活性．
解题关键是找出题中各角与锐角的关系，转化为求锐角的三角函数值．
教师对例5小结：化简时，综合应用诱导公式(一)、(二)、(三)，适当地改变角的结构，使之符合诱导公式中角的形式，是解决问题的关键．
体会诱导公式(一)的作用．
熟练应用公式(一)求值．
熟练应用公式（二）求值．
教师用语言叙述公式，更利于学生理解掌握公式特征．
利用例3，熟练运用公式(三)求三角函数值．
利用例4，学会综合运用诱导公式求任意角的三角函数值．
利用例5，学会综合运用各组诱导公式化简较复杂的三角代数式．
小
结
任意负角的三角函数
任意正角的三角函数
0到2π内的三角函数
锐 角
三角函数
公式（一）
公式（二）
公式（三）
求任意角的三角函数值的步骤：
师生共同总结、交流．
让学生养成自己归纳、总结的习惯，重视数学思想方法的应用．
作
业
必做题：教材 P 146，练习 B组．