人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第1课时教学设计

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5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质第1课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性(教师独具内容)课程标准：1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．教学重点：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性．教学难点：周期函数、最小正周期的意义.【知识导学】知识点一　　　函数的周期性(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．(3)记f(x)＝sinx，则由sin(2kπ＋x)＝sinx(k∈Z)，得f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期都为2π.知识点二　正弦函数、余弦函数的奇偶性正弦函数y＝sinx(x∈R)是奇函数，图象关于原点对称；余弦函数y＝cosx(x∈R)是偶函数，图象关于y轴对称．【新知拓展】(1)周期函数的定义是对定义域中的每一个x来说的，只有个别的x的值满足f(x＋T)＝f(x)不能说T是f(x)的周期．(2)从等式“f(x＋T )＝f(x)”来看，应强调的是自变量x本身加的非零常数T才是周期．例如，f(2x＋T)＝f＝f(2x)，则是f(2x)的周期，但不一定是f(x)的周期．(3)如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z，k≠0)也一定是函数f(x)的周期．(4)周期函数的定义域不一定是R，但一定是无限集．(5)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如函数y＝0(x∈R)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为sin＝sin，所以是正弦函数y＝sinx的一个周期．(　　)(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．(　　)(3)函数y＝3sin2x是奇函数．(　　)(4)函数y＝－cosx是偶函数．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√2．做一做(1)函数f(x)＝2sin是(　　)A．T＝2π的奇函数   B．T＝2π的偶函数C．T＝π的奇函数   D．T＝π的偶函数(2)函数y＝3sin的最小正周期为________．(3)若函数y＝sinx在[a，b]上是奇函数，则a＋b＝________.答案　(1)B　(2)π　(3)0 
题型一  正弦函数、余弦函数的周期性 例1　求下列函数的周期．(1)y＝3sin；(2)y＝|cosx|；(3)y＝3cos；(4)y＝sin.[解]　(1)解法一：y＝3sin＝3sin＝3sin，令y＝f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，∴y＝3sin的周期为4.解法二：ω＝，∴T＝＝＝4.(2)y＝|cosx|的图象如下图所示．∴周期T＝π.(3)解法一：y＝3cos＝3cos.∵3cos＝3cos＝3cos，令y＝f(x)，则f＝f(x)，∴y＝3cos的周期为.解法二：∵|ω|＝3，∴T＝＝.(4)解法一：y＝sin＝sin＝sin，令y＝f(x)，则f(x＋π)＝f(x)，∴y＝sin的周期为π.解法二：∵ω＝2，∴T＝＝＝π. 金版点睛求三角函数周期的方法求三角函数的周期，通常有三种方法．方法一：定义法，即利用周期函数的定义求解；方法二：公式法，对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝；方法三：观察法(图象法)．注意：求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为1. 　求下列函数的最小正周期．(1)y＝sin；(2)f(x)＝2sin；(3)f(x)＝cos；(4)f(x)＝|sinx|.解　(1)∵sin＝sin，∴sin＝sin，∴y＝sin的周期是π.(2)解法一：∵2sin＝2sin＝2sin，∴f(x＋4π)＝f(x)，∴f(x)＝2sin的周期是4π.解法二：∵ω＝，∴T＝＝4π.(3)f(x)＝cos＝cos.∵cos＝cos＝cos，∴f(x＋π)＝f(x)，∴T＝π.(4)f(x)＝|sinx|的图象如图所示．∴周期T＝π.题型二   正弦函数、余弦函数的奇偶性例2　判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝sin2x；(2)f(x)＝sin；(3)f(x)＝sin|x|；(4)f(x)＝＋.[解]　(1)∀x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，所以f(x)＝sin2x是奇函数．(2)∀x∈R，f(x)＝sin＝－cos，所以f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)，所以函数f(x)＝sin是偶函数．(3)∀x∈R，f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，所以函数f(x)＝sin|x|是偶函数．(4)由得cosx＝1，所以x＝2kπ(k∈Z)，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．[条件探究]　将本例(1)改为f(x)＝cos2x，(2)改为f(x)＝cos，再判断函数的奇偶性．解　(1)∵∀x∈R，f(－x)＝cos(－2x)＝cos2x＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)∵∀x∈R，f(x)＝cos＝sin，∴f(－x)＝sin＝－sin＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．  金版点睛判断函数奇偶性应把握好的两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f(x)与f(－x)的关系．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．  　(1)判断函数f(x)＝cos(2π－x)－x3sinx的奇偶性；(2)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数，求φ的一个值．解　(1)函数的定义域为R，关于原点对称，又f(x)＝cosx－x3sinx，∴f(－x)＝cos(－x)－(－x)3sin(－x)＝cosx－x3sinx＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．(2)解法一：根据y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数，∴要使f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，只要φ的终边在y轴上即可．把f(x)＝sin(2x＋φ)变为f(x)＝cos2x或f(x)＝－cos2x.∴可取φ＝＋kπ(k∈Z)．∴当k＝－1时，φ＝－.解法二：∵f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数，∴该函数关于直线x＝0对称．又∵f(x)的对称轴满足2x＋φ＝＋kπ(k∈Z)，∴当x＝0时满足2x＋φ＝＋kπ(k∈Z)．∴φ＝＋kπ(k∈Z)．∴当k＝－1时，φ＝－.题型三  函数周期性与奇偶性的应用例3　定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，求f的值．[解]　∵f(x)的最小正周期是π，∴f＝f＝f.∵f(x)是R上的偶函数，∴f＝f＝sin＝.∴f＝.[条件探究]　若本例条件改为：函数f(x)为偶函数且f＝－f(x)，f＝1，求f的值．解　因为f(x)满足f＝－f(x)，所以f(x＋π)＝－f＝f(x)．故函数f(x)的周期为π.由函数f(x)是偶函数以及f＝1，可得f＝f＝f＝1. 金版点睛化归思想在周期函数中的应用(1)利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可．(2)如果一个函数是周期函数，先研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质．(3)周期性实质上是由终边相同的角所具有的周期性所决定的．  　若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f＝1，求f的值．解　∵函数f(x)是偶函数，∴f＝f.又函数f(x)的周期是，∴f＝f＝f＝1.即f＝1. 1．函数y＝sin(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是(　　)A．0  B.  C.  D．π答案　C解析　由题意，得sin(－φ)＝±1，即sinφ＝±1.因为φ∈[0，π]，所以φ＝.故选C.2．函数y＝sin2x是(　　)A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为的偶函数D．周期为的奇函数答案　A解析　显然函数y＝sin2x是奇函数，其最小正周期为T＝＝π，故选A.3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(　　)答案　B解析　∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，排除A，C.又∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，故选B.4．若函数y＝sin的最小正周期是，则ω＝________.答案　±3解析　＝，∴|ω|＝3，∴ω＝±3.5．函数f(x)＝的奇偶性为________．答案　非奇非偶函数解析　由题意，知f(x)的定义域为x≠＋2kπ，k∈Z}，不关于原点对称．∴f(x)为非奇非偶函数．