初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆综合与测试单元测试同步测试题

第二十四章 圆

【满分：120】

一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.如图，OA，OB是的两条半径，点C在上，若，则的度数为(   )

A. B. C. D.

2.下列说法中，不正确的是(   )

A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

B.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合

C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个

D.圆的每一条直径都是它的对称轴

3.如图，AB为的直径，弦于点E，已知，，则的直径为(   )

A.8 B.10 C.15 D.20

4.如图，中，，，，D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是(   )

A.相切 B.相交 C.相离 D.无法确定

5.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是(   )

A. B. C. D.不能确定

6.如图，四边形ABCD内接于，点I是的内心，，点E在AD的延长线上，则的度数是(   )

A.56° B.62° C.68° D.78°

7.如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为(   )

A.3 B.4 C.6 D.8

8.如图，的周长等于，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是(   )

A. B. C. D.

9.如图，AB是的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为(   )

A. B. C. D.

10.如图，在半径为的中，弦AB与CD交于点E，，，，则CD的长是(   )

A. B. C. D.

二、填空题（每小题4分，共20分）

11.图①是由若干个相同的图形（图②）组成的美丽图案的一部分，图②中，图形的相关数据：半径cm，.则图②的周长为____________cm（结果保留π）.

12.如图，的两条相交弦AC,BD，，，连接AB，则的面积是___________.
 

13.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出cm，则此光盘的直径是____________cm.

14.如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径MN上一动点，若的直径为2，则的最小值是____________.

15.如图，过正六边形ABCDEF的顶点D作一条直线于点D，分别延长AB，AF交直线l于点M，N，则__________；若正六边形ABCDEF的面积为6，则的面积为____________.

三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）

16.（8分）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道需确定管道圆形截面的圆心和半径，如图是水平放置的破裂管道的截面.请用无刻度的直尺和圆规作图，确定圆心O的位置（保留作图痕迹）.

17.（8分）如图，扇形OAB中，，C、D是的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F，求证：.

18.（10分）如图，在中，弦，点C在上（C与A，B不重合），连接CA，CB，过点O分别作，，垂足分别是D，E.

（1）求线段DE的长.

（2）点O到AB的距离为3，求的半径.

19.（10分）车辆转弯时，能顺利通过直角弯道的标准是：车辆可以行驶到和路边界的夹角是45°的位置（如图①中②的位置）.例如，图②是某巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，当CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能顺利通过.

（1）试说明长8m，宽3m的消防车能否通过图②中的直角弯道.

（2）为了能使长8m，宽3m的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（分别是以点O为圆心，以OM和ON的长为半径的弧），具体方案如图③，其中，请你求出ON的最小值.

20.（12分）如图，中，，CO平分交AB于O点，以OA为半径的与AC相切于点A，D为AC上一点且.

（1）求证：BC所在直线与相切；

（2）若，，求的半径.

21.（12分）如图(1)，中，，，点P为BC上一点，，是的外接圆.

(1)求的直径；

(2)如图(2)，将绕点B逆时针旋转至，使边与相切，交于点M，求此时的旋转角度及弧的长度.

答案以及解析

1.答案：B

解析：OA，OB是的两条半径，点C在上，，.故选：B.

2.答案：D

解析：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以A选项不符合题意；圆是一个特殊的中心对称图形，圆绕着它的圆心旋转任意角度都能与自身重合，所以B选项不符合题意；圆的对称轴是过圆心的直线，这样的直线有无数条，对称中心只有一个，是圆心，所以C选项不符合题意；直径是线段而不是直线，不能说直径是圆的对称轴，所以D选项符合题意.故选D.

3.答案：D

解析：如图，连接OC.AB为的直径，弦于点E, .设的半径为r，则.，即，解得，的直径为.故选D.

4.答案：B

解析：如图，过点A作于点M，交DE于点N.，，，.，E分别是AC，AB的中点，，，.以DE为直径的圆的半径为1.25，，以DE为直径的圆与BC的位置关系是相交.

5.答案：A

解析：如图，连接BC，过点O作于点D交半圆O于点E，

，

为的中位线，

，.

把半圆沿AC折叠，恰好经过点O，

，，连接EC，

则四边形OBCE是平行四边形，

又，

是菱形，，.故选A.

6.答案：C

解析：点I是的内心，AI，CI分别平分，，，.四边形ABCD是的内接四边形，，故选C.

7.答案：C

解析：，.，.若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值.如图，连接OM，交于点，当点P位于位置时，OP取得最小值.过点M作轴于点Q，则，，.又，，.故选C.

8.答案：C

解析：如图，连接OA，OB，作于点G.的周长等于，的半径为.六边形ABCDEF是的内接正六边形，.，，，，它的内接正六边形ABCDEF的面积是.

9.答案：C

解析：连接OE，OC，BC，

由旋转知，，，，，，，即为等腰直角三角形，，，，故选：C.

10.答案：C

解析：过点O作于点F，于点G，连接OB，OD，OE，如图所示，

则，，.在中，，，是等腰直角三角形，，.，，.在中，，.故选C.

11.答案：

解析：由题图①得的长的长的长.cm，，题图②的周长为（cm）.故答案为.

12.答案：

解析：,,,为等边三角形. ,易得的半径为2, 的面积是.

13.答案：

解析：设光盘的圆心为O，连接OA，OB，OC.由题可得.AB和AC与相切，AO平分，，，，.cm，cm.由勾股定理得cm，光盘的直径是cm.故答案为.

14.答案：

解析：作点B关于MN的对称点，连接交MN于点P，连接BP，由三角形两边之和大于第三边，即可得出此时最小，连接，根据点A是半圆上一个三等分点、点B是的中点，即可得出，再利用勾股定理即可求出的值，此题得解.

15.答案：30°；16

解析：如图，连接BE，CF交于点O.六边形ABCDEF是正六边形，.，，.六边形ABCDEF是正六边形，面积为6，点O在AD上，，的面积为1，，.，，.

16.答案：如图，作线段AB的垂直平分线CD与弧AB交于点C，连接AC，作线段AC的垂直平分线与CD交于点O.点O即为圆心.

17.答案：证明：连接AC，BD，

，，.

C，D是的三等分点，

，且，

，，

又，

，同理可证，.

18.答案：（1）OD经过圆心O，，，

同理，DE是的中位线，.

，.

（2）如图，过点O作，垂足为H，连接OA.

由题意可得.OH经过圆心O，

.

，.

在中，，

即圆O的半径为5.

19.答案：解：（1）如图①，作，垂足为点H，则，

，且，

，，

，

即GF的长度未达到车身宽度，

消防车不能通过该直角弯道.

（2）如图②，若C，D分别与，M重合，则为等腰直角三角形，

，，

，

，

点C，D在上，

设ON的最小值为x m，连接OC，

在中，，，，

由勾股定理得，，即，解得.

答：ON的最小值为4.5m.

20.答案：（1）见解析

（2）

解析：（1）过O作于E，如图所示.

与AC相切于点A，

.

平分，，

，所在直线与相切.

（2），，.

，BC是的切线，.

在和中，

，

，，，

.

设，则.

在中，由勾股定理得，

解得，即的半径为.

21.答案：(1)

(2)

解析：(1)连接OP，OB，OP交AB于H，如图(1).

，，.，，，，.

在中，，.

，为等边三角形，

，的直径为.

(2)连接OB，OM，OA，如图(2).

与相切，，.

由(1)易知，，，.，，.

绕点B逆时针旋转至，

，即旋转角度为120°.

，，为等边三角形，，.，

弧的长度为.