数学九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试单元测试课后复习题

这是一份数学九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试单元测试课后复习题，共17页。试卷主要包含了下列方程中，是一元二次方程的是，方程，一元二次方程x2＝2x的解为，定义运算等内容，欢迎下载使用。
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．4（x+2）＝25B．2x2+3x﹣1＝0C．2x+y＝22D．
2．方程（x+1）2＝9的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣4B．x1＝﹣2，x2＝4
C．x1＝4，x2＝2D．x1＝﹣2，x2＝﹣4
3．一元二次方程x2＝2x的解为（ ）
A．﹣2B．2C．0或﹣2D．0或2
4．若a是x2﹣2x﹣7＝0的一个根，则a2﹣2a+1的值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．下列关于x的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣4x+4＝0B．x2﹣mx+4＝0C．x2﹣4x﹣m＝0D．x2﹣4x﹣m2＝0
6．如图，把一块长为50cm，宽为40cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为800cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A．（50﹣2x）（40﹣x）＝800B．（50﹣x）（40﹣x）＝800
C．（50﹣x）（40﹣2x）＝800D．（50﹣2x）（40﹣2x）＝800
7．某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ）
A．19%B．20%C．21%D．22%
8．定义运算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若关于x的方程a※x＝0有实数根，则a的取值范围为（ ）
A．﹣1≤a≤0B．﹣1≤a＜0C．a≥0或a≤﹣1D．a＞0或a≤﹣1
9．已知x2+3x﹣1＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
其中正确的（ ）
A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|+5x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为 ．
12．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为 ．
13．已知一元二次方程x2+3x+（a2+1）＝0有一个根为x＝﹣1，则a的值为 ．
14．三角形两边的长分别为2和7，第三边的长是方程x2﹣10x+16＝0的根，则该三角形的周长为 ．
15．德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有 人感染德尔塔病毒？
16．已知实数a、b满足（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，则a2+b2＝ ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（12分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣5x+6＝0；
（2）x2+3x＝0；
（3）3x2+x＝3x+1．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根：
（2）若该方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝﹣2k+3．求k的值．
19．（6分）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．
（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增加20%，则该工厂在四月份能生产多少个“冰墩墩”？
（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
20．（6分）金华市区某超市以原价为40元/瓶的价格对外销售某种洗手液，为了减少库存，决定降价销售，经过两次降价后，售价为32.4元/瓶．
（1）求平均每次降价的百分率．
（2）金华市区某学校为确保疫情复学后工作安全、卫生、健康、有序，学校决定购买一批洗手液（超过200瓶）．该超市对购买量大的客户有优惠措施，在32.4元/瓶的基础上推出方案一：每瓶打九折；方案二：不超过200瓶的部分不打折，超过200瓶的部分打八折．学校应该选择哪一种方案更省钱？请说明理由．
21．（7分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
22．（7分）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，所以；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以．
所以原方程的根为，，，．
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：
（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；
（2）x4+x2﹣12＝0．
23．（8分）阅读以下文字并解决问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+6x﹣27，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在x2+6x﹣27中间先加上一项9，使它与x2+6x的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变． 即：x2+6x﹣27＝（x2+6x+9）﹣9﹣27＝（x+3）2﹣62＝（x+3+6）（x+3﹣6）＝（x+9）（x﹣3），像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．
（1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy﹣5y2
（2）如果a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13＝0，求a+b+c的值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．4（x+2）＝25B．2x2+3x﹣1＝0C．2x+y＝22D．
【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程）解决此题．
【解答】解：A．根据一元二次方程额定义，4（x+2）＝25不符合定义，故A不符合题意．
B．根据一元二次方程的定义，2x2+3x﹣1＝0是一元二次方程，故B符合题意．
C．根据一元二次方程的定义，2x+y＝22有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故C不符合题意．
D．根据一元二次方程的定义，不符合题意，故D不符合题意．
故选：B．
2．方程（x+1）2＝9的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣4B．x1＝﹣2，x2＝4
C．x1＝4，x2＝2D．x1＝﹣2，x2＝﹣4
【分析】把方程两边开方得到x+1＝±3，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
所以x1＝2，x2＝﹣4．
故选：A．
3．一元二次方程x2＝2x的解为（ ）
A．﹣2B．2C．0或﹣2D．0或2
【分析】将方程右边化为0，左边因式分解，即可解得答案．
【解答】解：x2＝2x，
∴x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x＝0或x＝2，
故选：D．
4．若a是x2﹣2x﹣7＝0的一个根，则a2﹣2a+1的值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a2﹣3a＝2022，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：∵a是x2﹣2x﹣7＝0的一个根，
∴a2﹣2a﹣7＝0，
∴a2﹣2a＝7，
∴a2﹣2a+1＝7+1＝8．
故选：D．
5．下列关于x的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣4x+4＝0B．x2﹣mx+4＝0C．x2﹣4x﹣m＝0D．x2﹣4x﹣m2＝0
【分析】先求出Δ的值，再比较出其与0的大小即可求解．
【解答】解：A、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，该方程有两个相等的实数根，不符合题意；
B、Δ＝（﹣m）2﹣4×1×4＝m2﹣16，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）2＝16+4m2＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意．
故选：D．
6．如图，把一块长为50cm，宽为40cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为800cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A．（50﹣2x）（40﹣x）＝800B．（50﹣x）（40﹣x）＝800
C．（50﹣x）（40﹣2x）＝800D．（50﹣2x）（40﹣2x）＝800
【分析】由题意易得该无盖纸盒的底面长为（50﹣2x）cm，宽为（40﹣2x）cm，然后问题可求解．
【解答】解：设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（50﹣2x）cm，宽为（40﹣2x）cm的长方形，
由题意可列方程为（50﹣2x）（40﹣2x）＝800；
故选：D．
7．某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ）
A．19%B．20%C．21%D．22%
【分析】首先设每年增长率为x，绿地面积为1，依题意得第一年的绿地面积为：1+x，则第二年的绿地面积为：（1+x）（1+x）；接下来根据题意列出方程（1+x）（1+x）＝1+44%；再解上面的方程即可得出答案．
【解答】解：设每年增长率为x，绿地面积为1，
依题意得第一年的绿地面积为：1+x，则第二年的绿地面积为：（1+x）（1+x），
则（1+x）（1+x）＝1+44%，
解得x＝20% （负值已舍），
故选：B．
8．定义运算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若关于x的方程a※x＝0有实数根，则a的取值范围为（ ）
A．﹣1≤a≤0B．﹣1≤a＜0C．a≥0或a≤﹣1D．a＞0或a≤﹣1
【分析】根据新定义运算法则列出关于x的方程，根据根的判别式进行判断即可．
【解答】解：由题意可知：a※x＝ax2﹣2ax﹣1＝0，
当a＝0时，原来方程变形为﹣1＝0，方程无解；
当a≠0时，
∵关于x的方程a※x＝0有实数根，
∴Δ＝4a2+4a＝4a（a+1）≥0，
解得a≤﹣1或a＞0．
故选：D．
9．已知x2+3x﹣1＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣即可求解．
【解答】解：∵x2+3x﹣1＝0的两个根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣3．
故选：D．
10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
其中正确的（ ）
A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0＝或x0＝
∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣
∴
故④正确．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|+5x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，（3）是整式方程，据此即可求解．
【解答】解：根据题意得，|m﹣1|＝2且m﹣3≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为 ﹣3 ．
【分析】先根据等式的性质把方程转化成一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义和不含一次项得出m﹣3≠0且m2﹣9＝0，再求出m即可．
【解答】解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，
（m﹣3）x2+m2x﹣9x﹣5＝0，
（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，
∵一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，
∴m﹣3≠0且m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
13．已知一元二次方程x2+3x+（a2+1）＝0有一个根为x＝﹣1，则a的值为 ±1 ．
【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出a的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：（﹣1）2+3×（﹣1）+（a2+1）＝0，
解得a＝±1，
故答案为：±1．
14．三角形两边的长分别为2和7，第三边的长是方程x2﹣10x+16＝0的根，则该三角形的周长为 17 ．
【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系判断能否组成三角形，最后求出三角形的周长即可．
【解答】解：∵x2﹣10x+16＝0，
∴（x﹣2）（x﹣8）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣8＝0，
解得x1＝2，x2＝8．
当第三边为2时，2+2＜7，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，舍去；
当第三边为8时，2+7＞8，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是2+7+8＝17．
故答案为：17．
15．德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有 1728 人感染德尔塔病毒？
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据“经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，再利用经过第三轮传染后感染了德尔塔病毒的人数＝经过第二轮传染后感染了德尔塔病毒的人数+每轮传染中平均一个人传染的人数×经过第二轮传染后感染了德尔塔病毒的人数，即可求出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得：
1+x+x（1+x）＝144，
整理得：x2+2x﹣143＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．
144+11×144＝1728（人）．
答：经过三轮传染后，一共有1728人感染德尔塔病毒．
故答案为：1728．
16．已知实数a、b满足（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，则a2+b2＝ 2 ．
【分析】设a2+b2＝x，则原方程化为x2﹣x﹣2＝0，求出x的值，再求出a2+b2的值即可．
【解答】解：（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，
设a2+b2＝x，则原方程化为x2﹣x﹣2＝0，
解得：x＝2或﹣1，
当x＝2时，a2+b2＝2，
当x＝﹣1时，a2+b2＝﹣1，
∵不论a、b为何值，a2+b2都不能为负数，
∴此时不符合题意，舍去，
即a2+b2＝2，
故答案为：2．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（12分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣5x+6＝0；
（2）x2+3x＝0；
（3）3x2+x＝3x+1．
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣5x+6＝0．
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3；
（2）∵x2+3x＝0，
∴x（x+3）＝0，
∴x＝0或x+3＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣3；
（3）∵3x2+x＝3x+1，
∴x（3x+1）﹣（3x+1）＝0，
（3x+1）（x﹣1）＝0，
3x+1＝0或x﹣1＝0，
x1＝﹣，x2＝1．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根：
（2）若该方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝﹣2k+3．求k的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k﹣2）＝4k2+9＞0，据此可得答案；
（2）先根据根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k﹣2，由x1﹣x2＝﹣2k+3知（x1﹣x2）2＝4k2﹣12k+9，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝4k2﹣12k+9，从而列出关于k的方程，解之可得答案．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k﹣2）
＝4k2+4k+1﹣4k+8
＝4k2+9＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k﹣2，
∵x1﹣x2＝﹣2k+3，
∴（x1﹣x2）2＝4k2﹣12k+9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4k2﹣12k+9，
∴（2k+1）2﹣4（k﹣2）＝4k2﹣12k+9，
解得k＝0．
19．（6分）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．
（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增加20%，则该工厂在四月份能生产多少个“冰墩墩”？
（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
【分析】（1）利用该工厂在四月份生产“冰墩墩”的数量＝该工厂在二月份生产“冰墩墩”的数量×（1+20%）2，即可求出结论；
（2）设每个“冰墩墩”降价x元，则每个盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+5x）个，利用该商店每天销售“冰墩墩”获得的利润＝每个的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）500×（1+20%）2＝500×1.44＝720（个）．
答：该工厂在四月份能生产720个“冰墩墩”．
（2）设每个“冰墩墩”降价x元，则每个盈利（40﹣x）元，平均每天可售出20+×10＝（20+5x）个，
依题意得：（40﹣x）（20+5x）＝1440，
整理得：x2﹣36x+128＝0，
解得：x1＝4，x2＝32（不符合题意，舍去）
答：每个“冰墩墩”应降价4元．
20．（6分）金华市区某超市以原价为40元/瓶的价格对外销售某种洗手液，为了减少库存，决定降价销售，经过两次降价后，售价为32.4元/瓶．
（1）求平均每次降价的百分率．
（2）金华市区某学校为确保疫情复学后工作安全、卫生、健康、有序，学校决定购买一批洗手液（超过200瓶）．该超市对购买量大的客户有优惠措施，在32.4元/瓶的基础上推出方案一：每瓶打九折；方案二：不超过200瓶的部分不打折，超过200瓶的部分打八折．学校应该选择哪一种方案更省钱？请说明理由．
【分析】（1）设平均每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设学校购买y（y＞200）瓶洗手液，则选择方案一所需费用为29.16y元，选择方案二所需费用为（25.92y+1296）元，分29.16y＜25.92y+1296，29.16y＝25.92y+1296及29.16y＞25.92y+1296三种情况，求出y的取值范围或y的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：40（1﹣x）2＝32.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．
答：平均每次降价的百分率为10%．
（2）设学校购买y（y＞200）瓶洗手液，则选择方案一所需费用为32.4×0.9y＝29.16y元，选择方案二所需费用为32.4×200+32.4×0.8（y﹣200）＝（25.92y+1296）元，
当29.16y＜25.92y+1296时，y＜400，
∴当200＜y＜400时，学校选择方案一更省钱；
当29.16y＝25.92y+1296时，y＝400，
∴当y＝400时，学校选择两种方案所需费用相同；
当29.16y＞25.92y+1296时，y＞400，
∴当y＞400时，学校选择方案二更省钱．
答：当购买数量超过200瓶且不足400瓶时，学校选择方案一更省钱；当购买数量等于400瓶时，学校选择两种方案所需费用相同；当购买数量超过400瓶时，学校选择方案二更省钱．
21．（7分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）把x＝1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状；
（2）根据判别式的意义得Δ＝（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
（3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2﹣x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形，理由如下：
把x＝1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形，理由如下：
根据题意得Δ＝（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2﹣x＝0，解得x1＝0，x2＝1．
22．（7分）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，所以；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以．
所以原方程的根为，，，．
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：
（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；
（2）x4+x2﹣12＝0．
【分析】（1）设x2﹣x＝a，原方程可化为a2﹣4a+4＝0，求出a的值，再代入x2﹣x＝a求出x即可；
（2）设x2＝y，原方程化为y2+y﹣12＝0，求出y，再把y的值代入x2＝y求出x即可．
【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，
设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0，
解此方程得：a1＝a2＝2，
当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1，
所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1；
（2）x4+x2﹣12＝0，
设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0，
因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣4，
当y＝3时，x2＝3，解得：x＝；
当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根，
所以原方程的解是x1＝，x2＝﹣．
23．（8分）阅读以下文字并解决问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+6x﹣27，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在x2+6x﹣27中间先加上一项9，使它与x2+6x的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变． 即：x2+6x﹣27＝（x2+6x+9）﹣9﹣27＝（x+3）2﹣62＝（x+3+6）（x+3﹣6）＝（x+9）（x﹣3），像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．
（1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy﹣5y2
（2）如果a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13＝0，求a+b+c的值．
【分析】（1）将前两项配方后即可得到（x+2y）2﹣（3y）2，然后利用平方差公式因式分解即可；
（2）由a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13＝0，可得（a﹣b）2+（b﹣3）2+（c﹣2）2＝0，求得a、b、c后即可得出答案．
【解答】解：（1）x2+4xy﹣5y2
＝（x2+4xy+4y2）﹣4y2﹣5y2
＝（x+2y）2﹣（3y）2
＝（x+2y+3y）（x+2y﹣3y）
＝（x+5y）（x﹣y）；
（2）∵a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13＝0
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣6b+9）+（c2﹣4c+4）＝0，
（a﹣b）2+（b﹣3）2+（c﹣2）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（b﹣3）2＝0，（c﹣2）2＝0，
a＝b＝3，c＝2，
∴a+b+c＝8．